What is Present Value of Annuity?
▾
Анюитетът е финансов договор, съгласно който се извършват поредица от плащания на редовни интервали за определен период или за цял живот. Настоящата стойност на анюитета е текущият еднократен еквивалент на всички тези бъдещи плащания – сумата пари днес, която, ако бъде инвестирана при даден процент на дисконтиране, би произвела точно потока от плащания, обещан от анюитета. Разбирането на настоящата стойност е фундаментално за застрахователното, пенсионното и финансовото планиране, тъй като позволява смислено сравнение между еднократна сума, получена днес, и поток от бъдещи плащания или между два различни потока на плащания. Концепцията за настояща стойност въплъщава времевата стойност на парите - един долар, получен днес, струва повече от долар, получен в бъдеще, защото днешният долар може да бъде инвестиран и да печели възвръщаемост. Формулата за настояща стойност дисконтира всяко бъдещо плащане обратно към настоящето, като използва дисконтов процент, който отразява или алтернативната цена на капитала, или предположението за лихвен процент, използвано от застрахователя или пенсионния фонд. Има два основни вида анюитети от гледна точка на времето: обикновен анюитет (или анюитет с просрочие) прави плащания в края на всеки период, докато дължим анюитет прави плащания в началото. Разликата се отразява на сегашната стойност точно с дисконтовия фактор за един период. В застрахователен и пенсионен контекст изчисленията на настоящата стойност се използват за определяне на ценообразуване на незабавни анюитети с единична премия (SPIA), за оценяване на пенсионни задължения, за изчисляване на структурирани стойности на сетълмент, за ценообразуване на доживотни анюитетни продукти, които включват нива на смъртност, и за определяне на еквивалента на еднократна сума на пенсионни доходи с дефинирани доходи. Актюерите разширяват основната формула, като включват вероятности за оцеляване, създавайки актюерската настояща стойност — претеглената спрямо вероятността настояща стойност, която отчита риска анюитетът да умре, преди да получи всички обещани плащания.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
Изчисляване на анюитетна настояща стойност:
Стъпка 1: Идентифицирайте сумата на плащането (PMT), броя на периодите (n) и дисконтовия процент за период (r).
Стъпка 2: За обикновен анюитет (плащания в края на периода) използвайте формулата: PV = PMT × [1 − (1 + r)^(-n)] / r.
Стъпка 3: За дължим анюитет (плащания в началото на периода), умножете резултата от обикновения анюитет по (1 + r).
Стъпка 4: За нарастващ анюитет с постоянен темп на растеж g, използвайте: PV = PMT / (r − g) × [1 − ((1 + g)/(1 + r))^n].
Стъпка 5: За безсрочност (безкрайни плащания), формулата се опростява до: PV = PMT / r.
Стъпка 6: За доживотен анюитет, включващ смъртност, използвайте актюерската настояща стойност: умножете всяко плащане по вероятността за оцеляване за този период, след което отстъпете до настояща стойност.
Стъпка 7: Проверете резултатите, като потвърдите, че сумата от всички дисконтирани индивидуални плащания е равна на изчислената настояща стойност.
Всяка стъпка се основава на предходната, комбинирайки изчисленията на компонентите в изчерпателен анюитетен резултат на настояща стойност. Формулата улавя математическите зависимости, управляващи поведението на анюитета по настояща стойност.Variable Legend
▾
| Символ | Име | Единица | Описание |
|---|---|---|---|
| PV | Настояща стойност | dollars ($) | Текущата еднократна стойност, еквивалентна на целия бъдещ поток от плащания, дисконтирана с процент r. |
| PMT | Периодично плащане | dollars ($) | Сумата на всяко редовно плащане в анюитетния поток (приема се за постоянна за ниво на анюитет). |
| r | Процент на отстъпка | percent (%/period) | Лихвата или дисконтовия процент за период, използван за преобразуване на бъдещи плащания в настояща стойност; отразява времевата стойност на парите. |
| n | Брой периоди | periods | Общият брой периоди на плащане в анюитетния поток (месеци, години или тримесечия). |
| FV | Бъдеща стойност | dollars ($) | Натрупаната стойност на всички анюитетни плащания в края на периода на плащане, комбинирана по процент r. |
How to Present Value of Annuity
▾
- 1Идентифицирайте сумата на плащането (PMT), броя на периодите (n) и дисконтовия процент за период (r).
- 2За обикновен анюитет (плащания в края на периода) използвайте формулата: PV = PMT × [1 − (1 + r)^(-n)] / r.
- 3За дължим анюитет (плащания в началото на периода), умножете резултата от обикновения анюитет по (1 + r).
- 4За нарастващ анюитет с постоянен темп на растеж g използвайте: PV = PMT / (r − g) × [1 − ((1 + g)/(1 + r))^n].
- 5За безсрочност (безкрайни плащания) формулата се опростява до: PV = PMT / r.
- 6За доживотен анюитет, включващ смъртност, използвайте актюерската настояща стойност: умножете всяко плащане по вероятността за оцеляване за този период, след което отстъпете до настояща стойност.
- 7Проверете резултатите, като потвърдите, че сумата от всички дисконтирани индивидуални плащания е равна на изчислената настояща стойност.
Worked Examples
▾
Ако вашият личен сконтов процент (очакване за възвращаемост на инвестицията) е над 5,05%, вземете еднократната сума; под това, анюитетът е по-ценен
Настоящата стойност от $50 000/година за 20 години при 5% дисконтов процент се равнява на $623 111, което е малко повече от еднократната оферта от $620 000. Решението зависи от способността на победителя да инвестира еднократната сума. Ако победителят може да инвестира при 5,05% или повече, еднократната сума и самоуправляваната инвестиция дават равни или по-добри резултати. Повечето финансови съветници препоръчват на печелившите от лотарията да се консултират с финансов плановик, за да моделират резултатите след облагане с данъци, тъй като държавните данъци се прилагат по различен начин за еднократните суми спрямо анюитетните плащания в много юрисдикции.
Това е настоящата стойност на пенсионното задължение на 65-годишна възраст — полезно за сравнение с оферта за изкупуване на еднократна сума
Преобразувайки месечния дисконтов процент до 4%/12 = 0,3333%/месец за 300 месеца, настоящата стойност от $3,500/месец е приблизително $654,848. Ако пенсионният план предлага еднократно изкупуване, сравняването на тази цифра с офертата бързо разкрива дали изкупуването е справедлива стойност. Офертите за изкупуване на пенсия често се дисконтират спрямо актюерската стойност, което отразява желанието на плана да намали пасивите си. Оферта под $654 848 (като се използва процент на отстъпка от 4%) може да бъде под справедливата стойност, въпреки че подходящият процент на отстъпка е спорен.
Възраст на рентабилност за SPIA: 84,6 години. Анюитетът трябва да е навършил 84+, за да „спечели“ залога срещу застрахователя
Работейки назад от $200 000 премия и $1050/месечно плащане, подразбиращата се вътрешна норма на възвръщаемост на анюитета предполага приблизително 246 месеца (20,5 години) плащания. На 65-годишна възраст очакваната продължителност на живота на мъжа е приблизително 18–19 години (до възраст 83–84), което означава, че подразбиращото се ценообразуване е леко консервативно. Предимството на обединяването на смъртността на анюитета - застрахователят обединява риска от дълголетие на много анюитети - означава, че тези, които живеят над очакваната продължителност на живота, получават повече, отколкото са платили, субсидирано от тези, които умират рано. Тази застрахователна функция за дълголетие е основното предложение за стойност на доживотните анюитети.
Също така: PV на тази бъдеща еднократна сума, намалена с 6% назад 30 години = $87 538 — днешната стойност на тези бъдещи спестявания
Използвайки бъдещата стойност на анюитетна формула с $500/месец, 360 периода и 0,5% месечна ставка, натрупаните спестявания достигат $502 257 след 30 години. Това илюстрира силата на комбинирания растеж върху редовните вноски. Ако днес ви предложат 87 538 долара в замяна на задължението ви за пенсионни спестявания, това ще бъде математически еквивалентната еднократна сума при 6% отстъпка. Изчисленията на настояща и бъдеща стойност позволяват тези директни сравнения между текущи и бъдещи суми.
Real-World Applications
▾
Оценка на пенсията: актюерите изчисляват настоящата стойност на пенсионните задължения с дефинирани доходи за отчитане на финансови отчети, което представлява важна област на приложение за анюитета на настояща стойност в професионален и аналитичен контекст, където точните изчисления на анюитета на настояща стойност директно подпомагат вземането на информирани решения, стратегическото планиране и оптимизирането на ефективността
Индивидите използват анюитета с настояща стойност за планиране, бюджетиране и вземане на лични анюитети с настояща стойност, като позволяват информиран избор, подкрепен от математическа строгост, а не груба оценка, което е особено ценно за важни житейски решения, свързани с настояща стойност
Ценообразуване на застрахователни продукти: застрахователите изчисляват премийните еквиваленти за анюитетни продукти, използвайки настояща стойност на очакваните ползи, представляващи важна област на приложение за анюитета на настояща стойност в професионален и аналитичен контекст, където точните изчисления на анюитета на настояща стойност директно подпомагат вземането на информирани решения, стратегическото планиране и оптимизирането на ефективността
Анализ на лотарийните награди: финансовите плановици изчисляват PV на лотарийни анюитетни плащания спрямо алтернативи на еднократна сума за данъчна оптимизация, представляващи важна област на приложение за анюитета на настояща стойност в професионален и аналитичен контекст, където точните изчисления на анюитета на настояща стойност директно подпомагат вземането на информирани решения, стратегическото планиране и оптимизирането на ефективността
Планиране на доходите след пенсиониране: финансовите съветници изчисляват колко капитал е необходим при пенсиониране за финансиране на конкретен месечен поток от доходи, което представлява важна област на приложение за анюитет на настояща стойност в професионален и аналитичен контекст, където точните изчисления на анюитета на настояща стойност директно подпомагат вземането на информирани решения, стратегическото планиране и оптимизирането на ефективността
Special Cases
▾
{'case': 'Вечност — безкраен поток от плащания', 'description': 'Вечност плаща фиксирана сума завинаги — без дата на падеж. Настоящата стойност се опростява до PV = PMT / r. Перпетуитет от $1000/година при 5% отстъпка днес струва $20 000. Дивидентите по привилегировани акции и някои изплащания на дарителски фондове се моделират като перпетуити.'}
При анюитета на настояща стойност този сценарий изисква допълнително внимание при тълкуването на резултатите от анюитета на настояща стойност. Стандартната формула може да не отчита напълно всички фактори, присъстващи в този ръбов случай, и може да се наложи допълнителен анализ или експертна консултация. Най-добрата професионална практика включва документиране на предположения, извършване на анализи на чувствителността и кръстосано препращане на резултатите с алтернативни методи, когато изчисленията на анюитетната стойност на настоящата стойност попадат в нестандартна територия.
{'case': 'Ценообразуване на анюитет, свързан с живот', 'description': 'За доживотни анюитети, оценени от застрахователни компании, актюерите използват рамката на комутационната функция, базирана на стандартни таблици за смъртност (напр. SOA 2012 Individual Annuity Mortality table), за да изчислят APV, включвайки както дисконтирането на лихвата, така и смъртността. Резултатът е нетната единична премия преди зареждане за разходи и печалба.'}
Настояща стойност от $1000/месечен анюитет по дисконтов процент и срок
▾
| Процент на отстъпка | 10 години | 20 години | 30 години | Живот (65 години мъж, приблизително) |
|---|---|---|---|---|
| 2% | 108 977 долара | 197 928 долара | 270 471 долара | 188 000 долара |
| 4% | 98 771 долара | 165 024 долара | 209 461 долара | 163 000 долара |
| 5% | 94 281 долара | 151 525 долара | 186 282 долара | 152 000 долара |
| 6% | 90 073 долара | 139 581 долара | 166 791 долара | 141 000 долара |
| 8% | 82 421 долара | 119 554 долара | 136 283 долара | 122 000 долара |
Frequently Asked Questions
▾
Каква е разликата между обикновен анюитет и дължим анюитет?
Обикновеният анюитет (наричан още анюитет в просрочие) извършва своите периодични плащания в края на всеки период на плащане. Плащане по ипотека, дължимо в края на месеца, е пример — взимате парите назаем, използвате ги за един месец, след което плащате в края на месеца. Дължимият анюитет извършва плащания в началото на всеки период. Наемът обикновено е дължима рента - плащате в началото на периода на наема. Дължимата рента струва малко повече от еквивалентна обикновена рента, тъй като всяко плащане се получава един период по-рано, което позволява един допълнителен период на комбиниране или инвестиция. Настоящата стойност на дължимия анюитет е равна на настоящата стойност на обикновен анюитет, умножена по (1 + r), където r е сконтовият процент за периода. За повечето финансови изчисления, включващи ипотеки, заеми и застрахователни продукти, обикновеният анюитет е конвенцията по подразбиране, освен ако не е посочено друго.
Какъв дисконтов процент трябва да използвам за анюитетни оценки?
Подходящият сконтов процент зависи от целта на изчислението. За застрахователни и пенсионни актюерски оценки регулаторите обикновено определят стандартизирани дисконтови проценти въз основа на преобладаващата доходност на държавни облигации или облигации с инвестиционен клас - те са били в диапазона от 4-6% исторически, въпреки че са се свили до 2-3% през 2010-те с ниски лихви. За лични финансови решения като сравняване на еднократна пенсионна сума спрямо анюитет, подходящата ставка е вашият алтернативен разход — възвръщаемостта, която бихте могли да постигнете от еднократната сума чрез инвестиции със сравним риск. За консервативните инвеститори 3–5% може да са подходящи; за онези, които се чувстват добре с риска на пазара на акции, може да се прилагат 6–8%. Използването на по-висок дисконтов процент намалява настоящата стойност на анюитета, което прави еднократните суми да изглеждат по-привлекателни. По-ниските ставки увеличават настоящата стойност, благоприятствайки избора на анюитет. Няма единна универсално правилна ставка — тя трябва да отразява конкретните обстоятелства и толерантността към риска на вземащия решение.
Какво е актюерска настояща стойност и как се различава от обикновената PV?
Редовното изчисляване на настояща стойност предполага, че всички планирани плащания определено ще бъдат получени - то отчита времето, но не и риска от смърт или други непредвидени обстоятелства. Актюерската настояща стойност (APV) допълнително включва вероятността за оцеляване (или друго непредвидено събитие) към всяка дата на плащане, претегляйки всяко плащане според вероятността то действително да бъде изплатено. За доживотен анюитет APV използва актюерски таблици на живота — статистически таблици, получени от големи проучвания на смъртността сред населението — за да присвои вероятност за оцеляване за всеки бъдещ период на плащане. APV на доживотен анюитет е по-нисък от обикновения PV на същия поток от плащания, тъй като някои анюитети ще умрат, преди да получат всички плащания. Застрахователите оценяват анюитетите на базата на APV плюс натоварване за печалба и разходи. Разбирането на APV е от съществено значение за справедливо сравнение между доживотна рента и анюитет за определен период или еднократна сума.
Какво е отложен анюитет спрямо незабавен анюитет?
Незабавен анюитет (по-специално незабавен анюитет с единична премия или SPIA) започва да извършва плащания в рамките на един период (обикновено един месец) от плащането на премията. Купувачът плаща еднократна сума и веднага започва да получава периодичен доход - най-често използван от пенсионери, превръщащи натрупаните спестявания в гарантиран доход през целия живот. Отсроченият анюитет натрупва средства по време на фаза на натрупване, като плащанията на дохода започват на бъдеща дата (обикновено пенсиониране). По време на фазата на натрупване средствата растат на база отложени данъци. Отложените анюитети могат да бъдат фиксирани (гарантиран лихвен процент), променливи (инвестирани в пазарни подсметки) или фиксирани индексирани (възвръщаемост, свързана с пазарен индекс с долна гаранция). Отложените анюитети са предимно спестовни средства със застрахователни функции; незабавните анюитети са предимно инструменти за разпределение на дохода.
Как инфлацията влияе върху реалната стойност на анюитетните плащания?
Фиксираните анюитетни плащания губят покупателна способност с течение на времето поради инфлацията. Анюитет от $3000/месец, който днес изглежда щедър, ще купува значително по-малко след 20 години, ако инфлацията е средно 3% годишно — реалната му стойност ще бъде приблизително $1661/месец в днешни долари. Тази инфлационна ерозия е значителен риск за пенсионерите, зависими от фиксиран доход от анюитет. Опциите за смекчаване на инфлационния риск включват: индексирани по инфлация анюитети (плащанията се увеличават с CPI, въпреки че започват по-ниски), годишни корекции на разходите за живот (обикновено фиксирани процентни увеличения от 1–3%), инвестиране в променливи анюитети с капиталови подсметки (възвръщаемостта може да е в крак с инфлацията, но добавя инвестиционен риск) и поддържане на отделен диверсифициран инвестиционен портфейл заедно с по-малък незабавен анюитет. Обезщетенията за социално осигуряване, които са индексирани спрямо инфлацията, осигуряват частична защита от инфлация за повечето пенсионери.
Каква е разликата между фиксиран и променлив анюитет?
Фиксираният анюитет плаща определен, гарантиран лихвен процент по време на фазата на натрупване и осигурява гарантирани плащания на доход по време на фазата на разпределение. Застрахователната компания носи инвестиционния риск. Променливият анюитет позволява натрупаната стойност и бъдещите плащания да варират въз основа на представянето на основните инвестиционни подсметки (подобно на взаимните фондове). Притежателят на полицата носи инвестиционния риск, но също така участва в потенциала за увеличаване. Променливите анюитети обикновено включват гарантирано минимално обезщетение при смърт — ако притежателят на полицата почине, бенефициентите получават поне първоначалната премия (или понякога най-високата достигната стойност на сметката), дори ако резултатите от инвестицията са били отрицателни. Променливите анюитети са по-скъпи от фиксираните, като общите годишни разходи (управление на инвестиции плюс застрахователни такси) често варират 1,5–3,5%, което може значително да намали дългосрочната нетна възвръщаемост в сравнение с директното инвестиране във взаимен фонд.
Кога има финансов смисъл да закупите незабавен анюитет?
Незабавните анюитети имат финансов смисъл при определени обстоятелства. Те са най-подходящи за хора, които: са изправени пред риск от дълголетие (семейна история на дълъг живот), имат ограничени други гарантирани източници на доходи (малки социални осигуровки, липса на пенсия), тревожат се да не надживеят спестяванията си, нямат наследници или цели за планиране на имотите за своите активи и ценят психологическата полза от гарантирания доход пред максимално очакваното натрупване на богатство. Ефектът на обединяване на смъртността на анюитета - където тези, които умират рано, ефективно субсидират тези, които живеят дълго - означава, че дълголетниците получават значително повече общи плащания, отколкото биха получили от самоуправляващи се инвестиции, докато тези, които умират рано, получават по-малко. Анюитетите обикновено са по-малко подходящи за лица със значителни здравословни проблеми, ограничаващи продължителността на живота, такива с големи гарантирани доходи от други източници (социално осигуряване, пенсия) или такива, които дават приоритет на прехвърлянето на богатство към наследници.
Common Mistakes to Avoid
▾
- !Използване на годишен сконтов процент директно с месечни плащания — винаги преобразувайте към съответстващия лихвен процент за периода: месечен процент = годишен процент / 12.
- !Объркване на обикновения анюитет с дължимия анюитет — плащанията в края на периода спрямо началото на периода променят настоящата стойност с дисконтовия фактор за един период.
- !Пренебрегване на инфлацията, когато се оценява доходът от фиксиран анюитет - фиксираните $3000/месец звучат удобно днес, но ще имат значително по-ниска покупателна способност след 20 години при 3% инфлация.
- !Използване на грешен брой периоди — проверете отново дали срокът е в години или месеци и дали процентът съответства на тази единица за период.
- !Сравняване на PV на доживотна рента (която включва смъртност) с определена PV на анюитет (която не го прави) без разпознаване на структурната разлика — натоварването на смъртността е реална икономическа характеристика, а не грешка.
Pro Tip
Настоящата стойност на анюитета намалява с увеличаване на дисконтовия процент. Когато лихвените проценти са ниски, анюитетите изглеждат по-скъпи, тъй като бъдещите плащания се дисконтират по-малко.
Did you know?
Думата „анюитет“ произлиза от латинското „annus“ (година). Един от най-старите записани анюитетни договори датира от римско време — римските войници са получавали анюитети като компенсация за военна служба, ранна форма на пенсия.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
References
Read the full guide on how to use this calculator effectively
Прочети повече →Получавайте седмични съвети по математика
Присъединете се към 12 000+ абонати, които получават съвети за калкулатор всяка седмица.