What is Portfolio Variance & Std Dev?
▾
Дисперсията на портфейла измерва общия риск на комбинация от инвестиции, като отчита не само индивидуалния риск на всеки актив, но и как те се движат един спрямо друг. Когато два актива са склонни да се движат в една и съща посока по едно и също време, комбинирането им не намалява риска. Но когато се движат в противоположни посоки - или дори просто различно - смесването им създава портфолио, което е по-малко променливо от всеки отделен компонент. Това е математическият двигател зад диверсификацията и ето защо притежаването на комбинация от акции, облигации, недвижими имоти и стоки може да намали общия риск на портфейла, без непременно да жертва възвръщаемостта. Тази идея е формализирана от Хари Марковиц в неговата статия от 1952 г. „Избор на портфолио“, която му носи Нобелова награда за икономика през 1990 г. Преди Марковиц инвеститорите се фокусираха почти изцяло върху избора на добри индивидуални ценни книжа. Неговото прозрение беше, че портфейлът като цяло има повече значение от която и да е отделна акция - и че корелацията между активите е ключът към разбирането на комбинирания риск. Неговата рамка, сега наречена Modern Portfolio Theory (MPT), въведе концепцията за ефективната граница: набор от портфейли, които предлагат най-висока възвръщаемост за всяко дадено ниво на риск или най-нисък риск за всяка дадена възвръщаемост. На практика вариацията на портфейла се изчислява, като се използва теглото на всеки актив, неговата индивидуална вариация (или стандартно отклонение) и ковариациите по двойки между всяка комбинация от активи. С два актива това е проста формула; с двадесет актива се нуждаете от ковариационна матрица 20×20. Съвременният софтуер за оптимизация на портфолио обработва тази матрична алгебра автоматично, но разбирането на основната логика - че намаляването на средната корелация по двойки намалява дисперсията на портфейла - е от съществено значение за всеки инвеститор, който изгражда стратегия за множество активи. Вариацията на портфейла също е централна за отчитането на риска в професионалното управление на инвестициите. Факторните модели разлагат дисперсията на портфейла на приноси от пазарен риск, секторни наклони, стилови експозиции и идиосинкратичен риск, което позволява на портфолио мениджърите да разберат точно откъде идва техният риск и дали получават компенсация за него.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
Два актива: σ²_p = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2·w₁·w₂·ρ₁₂·σ₁·σ₂
N-актив: σ²_p = Σᵢ Σⱼ wᵢ·wⱼ·σᵢⱼ (матрична форма: σ²_p = wᵀ·Σ·w)
Стандартно развитие на портфейла (σ_p) = √σ²_p
Ковариация: σᵢⱼ = ρᵢⱼ·σᵢ·σⱼVariable Legend
▾
| Символ | Име | Единица | Описание |
|---|---|---|---|
| wᵢ | Тегло на актива | decimal (0–1) | Пропорция на стойността на портфейла, разпределена към актив i; сумата на всички тегла трябва да е 1 |
| σᵢ | Стандартно отклонение на актива | % per year | Параметърът σᵢ представлява ключов количествен вход при изчисляването на дисперсията на портфейла, измерен в неговата стандартна единица и пряко влияещ върху изчисления резултат чрез математическата формула |
| ρᵢⱼ | Коефициент на корелация | dimensionless (−1 to +1) | Корелация на Пиърсън между възвръщаемостта на активи i и j; −1 = перфектно отрицателно, 0 = некорелирано, +1 = перфектно положително |
| σᵢⱼ | Ковариация | % squared per year | Съвместна променливост на активи i и j; е равно на ρᵢⱼ × σᵢ × σⱼ |
| Σ | Ковариационна матрица | matrix | N×N симетрична матрица на всички двойни ковариации; основният вход за оптимизиране на портфолио |
How to Portfolio Variance & Std Dev
▾
- 1Избройте всеки актив в портфолиото с текущата му пазарна стойност, след което изчислете теглото на всеки актив като неговата стойност, разделена на общата стойност на портфейла.
- 2Съберете годишното стандартно отклонение (волатилност) за всеки актив — обикновено се изчислява от 3–5 години месечна възвръщаемост, след това годишно (умножете месечното σ по √12).
- 3Изградете корелационната матрица по двойки: за всяка двойка активи изчислете корелацията на техните исторически серии на възвръщаемост. Повечето софтуери за портфолио или електронни таблици могат да изчислят това от хронологията на връщанията.
- 4Преобразувайте корелациите в ковариации: σᵢⱼ = ρᵢⱼ × σᵢ × σⱼ за всяка двойка.
- 5За два актива приложете директната формула. За повече активи изчислете wᵀΣw, като използвате матрично умножение — това е вътрешното произведение на тегловния вектор с ковариационната матрица.
- 6Вземете корен квадратен от дисперсията на портфейла, за да получите стандартното отклонение на портфейла (σ_p) — по-интуитивната мярка за риск, изразена в проценти.
- 7Сравнете σ_p със среднопретеглената стойност на отделните σ стойности (Σwᵢσᵢ). Разликата е в ползата от диверсификацията — колко риск сте избегнали чрез комбиниране на активи, вместо да държите всеки поотделно.
Worked Examples
▾
Среднопретеглената стойност σ би била 0,60×18+0,40×6 = 13,2%; портфейлът постига само 10,5% — спестява 2,7% от риска чрез диверсификация.
Отрицателната корелация между акциите и облигациите (облигациите често растат, когато акциите падат) е източникът на намаляване на риска. Ето защо портфейлът 60/40 се превърна в балансирано разпределение по подразбиране за пенсионни фондове и дарения в продължение на десетилетия — той улавя възвръщаемостта на капитала, като същевременно значително намалява нестабилността.
Две акции в един и същи сектор имат много висока корелация; диверсификацията спестява само ~1% от риска спрямо среднопретеглената стойност от 29%.
Когато активите са силно свързани, комбинирането им води до минимална полза от диверсификация. Притежаването на две технологични акции едва се различава от това да държите една технологична акция с два пъти по-голям размер. Истинската диверсификация изисква активи, които реагират по различен начин на икономическите условия - не просто различни имена на компании в един и същи сектор.
Добавянето на злато (почти нулева корелация и с двете) намалява променливостта на портфейла повече от базовата линия 60/40.
Разпределението на златото включва ниската му корелация както с акции, така и с облигации. Въпреки че самото злато е волатилно (15%), тъй като се движи независимо от акциите и облигациите, добавянето му намалява общата вариация на портфейла. Това демонстрира как променливостта на отделен актив има по-малко значение от корелацията му с останалата част от портфейла.
При кризи корелациите между активите нарастват към 1,0, елиминирайки диверсификацията точно когато имате най-голяма нужда от нея.
Това е най-важното ограничение на вариацията на портфейла, изчислена от данни за нормален период: корелациите не са стабилни. По време на финансовата криза от 2008 г. и разпродажбата на COVID през март 2020 г. почти всеки рисков актив падна едновременно, тъй като инвеститорите ликвидираха всичко, за да съберат пари. Моделите, базирани на дългосрочни средни корелации, драстично подценяват риска по време на тези епизоди.
Real-World Applications
▾
Конструиране на ефективни портфейли със средна дисперсия и изчисляване на ефективната граница, представляващи важна област на приложение за дисперсията на портфейла в професионален и аналитичен контекст, където точните изчисления на дисперсията на портфейла директно подпомагат вземането на информирани решения, стратегическото планиране и оптимизирането на ефективността
Декомпозиция и приписване на риска в управлението на институционални фондове, което представлява важна област на приложение за дисперсията на портфейла в професионален и аналитичен контекст, където точните изчисления на дисперсията на портфейла директно подпомагат вземането на информирани решения, стратегическото планиране и оптимизирането на ефективността
Моделиране на регулаторния капитал съгласно Базел III за банки и Платежоспособност II за застрахователи, което представлява важна област на приложение за дисперсията на портфейла в професионален и аналитичен контекст, където точните изчисления на дисперсията на портфейла директно подпомагат вземането на информирани решения, стратегическото планиране и оптимизирането на ефективността
Робо-съветник и алгоритми за изграждане на портфейл с целеви дати, представляващи важна област на приложение за дисперсията на портфейла в професионален и аналитичен контекст, където точните изчисления на дисперсията на портфейла директно подпомагат вземането на информирани решения, стратегическото планиране и оптимизирането на ефективността
Special Cases
▾
Неликвидни активи — рядко ценообразуване
{'title': 'Неликвидни активи — рядко ценообразуване', 'body': "Активите с рядка цена (частен капитал, недвижими имоти) показват изкуствено ниска измерена корелация с публичните пазари, тъй като техните оценки изостават. Този "ефект на изглаждане" подценява истинската вариация и корелации. Моделите, които използват базирана на оценка възвръщаемост за частни активи, значително подценяват истинския портфейлен риск и преувеличаване на ползите от диверсификацията на Dimson (1979) корекция или техники за премахване на връщането помагат за коригиране на това."}
Тлъсти опашки и ненормална възвръщаемост
{'title': 'Дебели опашки и ненормална възвръщаемост', 'body': 'Стандартната вариация на портфейла предполага нормално разпределена възвръщаемост. В действителност възвръщаемостта на активите има дебели опашки - големи движения се случват много по-често, отколкото предвижда нормалното разпределение. По време на кризата от 2008 г., срива на COVID през 2020 г. и разпродажбата на облигациите през 2022 г. възвръщаемостта беше 5–10 събития със стандартно отклонение по стандартите за нормално разпределение. Очакваният дефицит (CVaR) и стрес тестовете допълват дисперсията за улавяне на риска от опашката.'}
Грешка в оценката в ковариационни матрици
{'title': 'Грешка в оценката в ковариационните матрици', 'body': 'Ковариационните матрици, оценени от исторически данни, са шумни, особено за големи портфейли. С 50 актива вие оценявате 1225 ковариации — всяка носи грешка в оценката. Оптимизаторите усилват тези грешки, създавайки нестабилни портфейли с екстремни тегла. Оценителите на свиване (Ledoit-Wolf), факторните модели или стабилните методи за оптимизация намаляват чувствителността към грешка в оценката.'}
Стандартно отклонение на портфейла чрез корелация — 50/50 разделяне, σ₁=20%, σ₂=15%
▾
| Корелация (ρ) | Портфолио σ | Риск спрямо претеглено средно (17,5%) | Тълкуване |
|---|---|---|---|
| −1,0 (перфектен отрицателен) | 2,5% | −15,0% | Максимална диверсификация — възможно е почти нулев риск |
| −0,5 | 10,4% | −7,1% | Силна полза от диверсификацията |
| 0,0 (некорелирано) | 12,5% | −5,0% | Добра диверсификация — независими активи |
| 0.5 | 14,4% | −3,1% | Умерена полза — активи със същата посока |
| 0.8 | 16,5% | −1,0% | Минимална полза — силно корелирана |
| +1.0 (перфектно положително) | 17,5% | 0% | Без диверсификация — идентичен на среднопретеглената стойност |
Frequently Asked Questions
▾
Каква е разликата между дисперсията на портфейла и стандартното отклонение на портфейла?
Дисперсията на портфейла (σ²_p) е мярката на квадрат на риска — единицата е „процент на квадрат“, което не е интуитивно. Стандартното отклонение на портфейла (σ_p = √σ²_p) преобразува това обратно в проценти, които могат да бъдат директно сравнени с възвръщаемостта на активите. Ако вашият портфейл има годишно стандартно отклонение от 12%, това означава, че възвръщаемостта обикновено попада в рамките на ±12% от средната стойност за около две трети от годините (едно стандартно отклонение). И двете измерват едно и също нещо; стандартното отклонение се използва по-често в практиката, тъй като единиците съвпадат с тези на възвръщаемостта.
Защо корелацията е по-важна от индивидуалната променливост за диверсификацията?
Добавянето на променлив актив към вашето портфолио всъщност може да намали общия риск на портфейла, ако този актив има ниска или отрицателна корелация със съществуващите притежания. Например златото има годишна волатилност от 15–20%, сравнима с акциите, но добавянето на 10–15% злато към портфейл от акции и облигации обикновено намалява общата волатилност на портфейла. Математиката прави това прецизно: членът на кръстосаното произведение (2·w₁·w₂·ρ·σ1·σ₂) се изважда, когато ρ е отрицателно, и се добавя, когато ρ е положително. Корелацията е буквално параметърът, който определя дали диверсификацията работи.
Колко актива са необходими за адекватна диверсификация?
Изследване на Evans и Archer (1968) показва, че повечето идиосинкратични (специфични за компанията) рискове се елиминират с около 20-30 произволно избрани акции. Освен това добавянето на повече акции намалява незначително риска. Въпреки това, портфейл от 30 американски акции е диверсифициран само срещу специфичен за компанията риск — той все още е напълно изложен на риск на пазара на акции в САЩ, секторен риск и факторни рискове. Истинската диверсификация изисква пресичане на класове активи (акции, облигации, недвижими имоти, стоки, алтернативи) и география (вътрешни, международни развити, нововъзникващи пазари).
Какво е ковариационна матрица и как да изградя такава?
Ковариационната матрица (Σ) е N×N мрежа, където всеки запис [i,j] показва ковариацията между актив i и актив j. Диагоналните записи са индивидуалните вариации (σᵢ²). Матрицата е симетрична (запис [i,j] = [j,i]), тъй като ковариацията между A и B е равна на ковариацията между B и A. За да изградите такава от исторически данни: съберете месечна възвръщаемост за всички активи, изчислете ковариациите по двойки, като използвате функцията COVAR на Excel или numpy.cov() на Python, след това направете годишно като умножите по 12 (за месечни входове).
Каква е минималната вариация на портфейла?
Портфолиото с минимално отклонение е комбинацията от активи — специфични за теглата на всеки актив — която създава възможно най-ниската вариация на портфейла във всички възможни комбинации на разпределение. Той се намира в най-лявата точка на ефективната граница. Това не е непременно оптималното портфолио (той жертва очакваната възвръщаемост), но представлява максималната постижима полза от диверсификация, като се имат предвид наличните активи. За случай с два актива минималното тегло на вариация за актив 1 е: w₁ = (σ₁² − σ₁₂) / (σ₁² + σ₂² − 2σ₁₂), където σ₁₂ е ковариацията.
Как ливъриджът влияе на дисперсията на портфейла?
Ливъриджът увеличава дисперсията на портфейла чрез квадрата на коефициента на ливъридж. Ако заемете 50% от стойността на портфейла, за да инвестирате (1,5 × ливъридж), дисперсията на портфейла се увеличава с коефициент 1,5² = 2,25, а стандартното отклонение се увеличава с 1,5 ×. Това означава, че годишно стандартно отклонение от 12% при 1× става 18% при 1,5×. Ливъриджът не може да бъде диверсифициран - той мащабира всички компоненти пропорционално. Ето защо фондовете с висок ливъридж (напр. 2× и 3× ETF) имат драстично по-висока волатилност от базовите им индекси.
Каква е разликата между дисперсията на портфейла в MPT и риска на факторния модел?
MPT изчислява общата дисперсия на портфейла от необработената история на възвръщаемостта. Факторните модели (CAPM, Fama-French, Barra) разлагат дисперсията на портфейла на систематични компоненти (пазарен риск, риск от размера, риск от стойността, риск от инерция) и идиосинкратичен компонент. Дисперсията на факторния модел дава по-добра представа за това защо имате риска, който имате – пазарна бета ли е, концентрация на сектора или факторни наклони? За управлението на портфолио декомпозицията на факторния риск е по-приложима; за прецизно изчисляване на дисперсията подходът на ковариационната матрица е по-точен.
Common Mistakes to Avoid
▾
- !Използване на стандартни отклонения на активите в проценти (напр. 20), а не десетични знаци (0,20) — формулата изисква десетични знаци и смесването им води до безсмислени резултати.
- !Пренебрегването на корелацията и простото осредняване на стандартните отклонения на активите - това надценява риска на портфейла и пропуска цялата точка на диверсификация.
- !Ако приемем, че историческите корелации са стабилни - корелациите се променят драматично между нормалните и кризисните режими. Винаги провеждайте стрес тестове с повишени допускания за корелация.
- !Използване на месечна възвръщаемост без годишно — умножете месечната вариация по 12, за да получите годишна вариация, или умножете месечната σ по √12, за да получите годишна σ.
- !Третиране на портфейл от акции в същия сектор като диверсифициран – секторните акции имат корелации над 0,7 и осигуряват минимално намаляване на дисперсията.
Pro Tip
Извършете две изчисления на дисперсията на портфейла: едно с използване на дългосрочни средни корелации (нормален период) и едно с използване на корелации на кризисен период (да приемем, че всички корелации на рискови активи скочат до 0,80+). Разликата между тези две числа е вашият „кредит за диверсификация“ — количеството намаление на риска, което може да изчезне при истинска криза. Оразмерете бюджета си за риск консервативно спрямо сценария за корелация на кризата.
Did you know?
Съобщава се, че Хари Марковиц е разработил своята рамка за отклонение на портфейла като докторант през 50-те години на миналия век, докато е чел „Теория на инвестиционната стойност“ на Джон Бър Уилямс в университетска библиотека. Неговото прозрение - че инвеститорите трябва да се интересуват от портфейли, а не от отделни акции - дойде един следобед. В речта на неговия носител на Нобелова награда се отбелязва, че Милтън Фридман първоначално е предположил, че работата не е икономика. Десетилетия по-късно ковариационната матрица на Марковиц е вградена във всеки институционален инвестиционен процес в света.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
References
Получавайте седмични съвети по математика
Присъединете се към 12 000+ абонати, които получават съвети за калкулатор всяка седмица.