Линейните уравнения са в основата на алгебрата и се появяват в математиката, науката, инженерството и ежедневното решаване на проблеми. Да се ​​научите да решавате систематично линейни уравнения ви дава умения да се справяте с по-сложни математически проблеми и приложения от реалния свят.

Какво е линейно уравнение?

Линейното уравнение съдържа променливи, повдигнати само на първа степен. Стандартната форма е ax + b = c, където a, b и c са числа, а x е променливата, за която решавате.

Examples of linear equations:
2x + 5 = 13
3x - 7 = 8
x + 4 = 10
5x = 20

Основна стратегия за решаване

Целта е да се изолира променливата (x) от едната страна на уравнението. Използвайте обратни операции: ако се добавя число, извадете го; ако е умножено, разделете го.

Златното правило: Каквото и да правите с едната страна на уравнението, направете същото и с другата страна, за да го поддържате балансирано.

Примери стъпка по стъпка

Пример 1: Просто линейно уравнение

Problem: 2x + 5 = 13
Step 1: Subtract 5 from both sides
        2x + 5 - 5 = 13 - 5
        2x = 8
Step 2: Divide both sides by 2
        2x ÷ 2 = 8 ÷ 2
        x = 4

Check: 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13 ✓

Пример 2: Уравнение с изваждане

Problem: 3x - 7 = 8
Step 1: Add 7 to both sides
        3x - 7 + 7 = 8 + 7
        3x = 15
Step 2: Divide both sides by 3
        3x ÷ 3 = 15 ÷ 3
        x = 5

Check: 3(5) - 7 = 15 - 7 = 8 ✓

Пример 3: Променливи от двете страни

Problem: 5x + 3 = 2x + 12
Step 1: Subtract 2x from both sides
        5x - 2x + 3 = 2x - 2x + 12
        3x + 3 = 12
Step 2: Subtract 3 from both sides
        3x + 3 - 3 = 12 - 3
        3x = 9
Step 3: Divide both sides by 3
        x = 3

Check: 5(3) + 3 = 15 + 3 = 18; 2(3) + 12 = 6 + 12 = 18 ✓

Често срещани типове линейни уравнения

форма Пример Решение
брадва = b 4x = 20 х = 5
ax + b = c 3x + 5 = 14 х = 3
брадва - b = c 2x - 8 = 6 х = 7
ax + b = cx + d 5x + 2 = 2x + 8 х = 2
a(x + b) = c 3(x + 2) = 15 х = 3

Уравнения с дроби

Пример:

Problem: (x + 3)/2 = 5
Step 1: Multiply both sides by 2
        2 × (x + 3)/2 = 2 × 5
        x + 3 = 10
Step 2: Subtract 3 from both sides
        x + 3 - 3 = 10 - 3
        x = 7

Уравнения с десетични знаци

Пример:

Problem: 0.5x + 1.2 = 3.7
Step 1: Subtract 1.2 from both sides
        0.5x = 3.7 - 1.2
        0.5x = 2.5
Step 2: Divide by 0.5 (or multiply by 2)
        x = 2.5 ÷ 0.5
        x = 5

Отрицателни числа и знаци

Пример:

Problem: -3x + 4 = 16
Step 1: Subtract 4 from both sides
        -3x = 16 - 4
        -3x = 12
Step 2: Divide by -3 (remember: dividing by negative flips nothing for x)
        x = 12 ÷ (-3)
        x = -4

Check: -3(-4) + 4 = 12 + 4 = 16 ✓

Разпределителна собственост

Когато умножавате през скоби, разпределете към всеки член:

a(b + c) = ab + ac

Example: 2(x + 3) = 10
         2x + 6 = 10
         2x = 4
         x = 2

Приложения от реалния свят

Линейните уравнения решават практически задачи:

Пример: Изчисляване на заплатата

You earn $15 per hour plus a $50 weekly bonus.
If you earn $200 in a week, how many hours did you work?

15h + 50 = 200
15h = 150
h = 10 hours

Пример: Проблем с разстоянието

You drive 60 mph. After 2 hours, you're 30 miles behind schedule.
What distance were you supposed to travel?

60(2) = 120 miles traveled
120 + 30 = 150 miles planned

Съвети за успех

  1. Първо опростете двете страни (комбинирайте подобни термини)
  2. Вземете променливи от едната страна, числа от другата
  3. Използвайте обратни операции в обратен ред на операциите
  4. Винаги проверявайте отговора си, като замените обратно
  5. Внимавайте с отрицателните знаци и разпределителното свойство

Няма решение срещу всички числа

Някои уравнения нямат решение (променливата се отменя до false), докато други са верни за всички стойности на x.

No solution: 2x + 3 = 2x + 5 (simplifies to 3 = 5, false)
All solutions: 2(x + 1) = 2x + 2 (simplifies to identity)

Използвайте нашия Решател на линейни уравнения, за да решавате незабавно уравнения и да проверявате работата си.