Стандартното отклонение е най-широко използваната мярка за разпространение в статистиката. Той ви казва колко са разпределените стойности около средната стойност. Това ръководство го обяснява от първите принципи с работещи примери.
Какво ви казва стандартното отклонение
Средната стойност ви казва центъра на набор от данни. Стандартното отклонение ви казва колко далеч стойностите обикновено се отклоняват от този център.
Ниско стандартно отклонение → стойности, групирани плътно около средната стойност Високо стандартно отклонение → стойностите са широко разпространени от средната стойност
Две изпитни класове средно по 70%, но:
- Клас A: резултати от 68, 69, 70, 71, 72 — SD ≈ 1,4 (много последователен)
- Клас B: резултати от 40, 55, 70, 85, 100 — SD ≈ 22,4 (силно променлив)
Същата средна стойност, много различни разпределения.
Формулата
Има две версии в зависимост от това дали имате пълната популация или извадка.
Стандартно отклонение на популацията (σ)
Използвайте, когато имате данни за всеки член на групата.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
Примерно стандартно отклонение (s)
Използвайте, когато вашите данни са извадка от по-голяма популация (най-честият случай).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
Знаменателят е n − 1 (не n), за да се коригира отклонението, което идва от оценката на параметър на популацията от извадка. Това се нарича корекция на Бесел.
Изчисление стъпка по стъпка
Набор от данни: Резултати от тестове за 6 ученици: 72, 85, 68, 91, 74, 80
Стъпка 1: Намерете средната стойност
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
Стъпка 2: Намерете всяко отклонение от средната стойност
| резултат | Отклонение (x − x̄) | Квадратно отклонение |
|---|---|---|
| 72 | −6,33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −10,33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | −4,33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
Стъпка 3: Сумирайте отклоненията на квадрат
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
Стъпка 4: Разделяне на n − 1 (проба)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
Стъпка 5: Извадете корен квадратен
s = √(74.67) = 8.64
Стандартното отклонение е 8,64 точки. Типичният резултат на ученика е с около 8–9 точки от средния клас.
Правилото 68-95-99.7
За нормално разпределени данни (камбанообразна крива) стандартното отклонение има предвидима връзка с разпространението:
- 68% от стойностите попадат в рамките на 1 SD от средната стойност
- 95% от стойностите попадат в рамките на 2 SD от средната стойност
- 99,7% от стойностите попадат в рамките на 3 SD от средната стойност
Приложено към нашия пример (средно = 78,33, SD = 8,64):
- 68% от резултатите: 78,33 ± 8,64 → 69,7 до 86,97
- 95% от резултатите: 78,33 ± 17,28 → 61,05 до 95,61
- 99,7% от резултатите: 78,33 ± 25,92 → 52,41 до 104,25
Дисперсия срещу стандартно отклонение
Дисперсията е стандартното отклонение на квадрат: s² = 74,67 в нашия пример.
Защо да използвате стандартно отклонение вместо дисперсия?
- Стандартното отклонение е в същите единици като вашите данни (точки, долари, метри)
- Дисперсията е в единици на квадрат — по-трудно за практическа интерпретация
- "The average score deviated by 8.64 points" is meaningful; „дисперсията беше 74,67 точки²“ не е
Употреби в реалния свят
Финанси: Акция с дневна възвръщаемост средно 0,05% и SD от 1,2% е много по-рискова от тази със същата средна възвръщаемост и SD от 0,3%. Стандартното отклонение е в основата на измерването на волатилността.
Производство: Болтове, произвеждащи фабрично с целеви диаметър от 10 mm и SD от 0,02 mm, са много по-последователни от такива с SD от 0,5 mm. Контролът на качеството разчита на SD.
Медицина: Клиничните изпитвания съобщават за SD заедно със средствата, за да покажат колко последователно е действало лечението при пациенти.
Времето: „Средна температура 18°C с SD 4°C“ ви казва много повече от средната само по себе си — знаете какво да опаковате.
Z-резултати
Z-резултат преобразува всяка стойност в единици за стандартно отклонение, което позволява сравнение между различни набори от данни:
z = /x - x̄s
Студент с резултат 91 в нашия пример:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
Този резултат е 1,47 стандартни отклонения над средната стойност — по-добър от около 93% от класа.
Изчислете стандартното отклонение сега
Нашият статистически калкулатор изчислява стандартно отклонение, дисперсия, средна стойност, медиана, режим и други от всеки въведен от вас набор от данни. Поставете вашите числа и незабавно получете пълни резултати.