স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি হল পরিসংখ্যানে বিস্তারের সর্বাধিক ব্যবহৃত পরিমাপ। এটি আপনাকে বলে যে একটি সাধারণ মান গড় থেকে কত দূরে বসে - আপনার ডেটা শক্তভাবে ক্লাস্টার করা বা ব্যাপকভাবে বিক্ষিপ্ত কিনা। একবার আপনি একবার হাতে গণনার মাধ্যমে কাজ করেছেন, ধারণাটি স্বজ্ঞাত হয়ে ওঠে।

স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন আপনাকে কী বলে

যদি একটি শ্রেণীর ছাত্রদের 5 এর মান বিচ্যুতি সহ 70 এর গড় পরীক্ষার স্কোর থাকে, তবে বেশিরভাগ স্কোর 65 এবং 75 এর মধ্যে পড়ে। যদি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি 20 হয়, তাহলে স্কোরগুলি আরও ব্যাপকভাবে পরিসর হবে — 50 থেকে 90 এবং তার পরেও।

একটি ছোট আদর্শ বিচ্যুতি মানে ধারাবাহিকতা। একটি বড় মানে পরিবর্তনশীলতা।

জনসংখ্যা বনাম নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি

দুটি সংস্করণ রয়েছে এবং সঠিকটি নির্বাচন করা গুরুত্বপূর্ণ:

জনসংখ্যার মানক বিচ্যুতি (σ): যখন আপনার কাছে আপনার পছন্দের গ্রুপের প্রতিটি সদস্যের ডেটা থাকে তখন ব্যবহার করুন। n দ্বারা ভাগ করে।

নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি (গুলি): যখন আপনার ডেটা একটি বৃহত্তর জনসংখ্যা থেকে আঁকা একটি নমুনা হয় তখন ব্যবহার করুন। n − 1 দ্বারা ভাগ করে (বেসেলের সংশোধন, যা নমুনা দ্বারা প্রবর্তিত অনিশ্চয়তার জন্য দায়ী)।

অনুশীলনে, আপনি প্রায় সর্বদা নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি ব্যবহার করেন — যদি না আপনি একটি সম্পূর্ণ আদমশুমারি বা নিয়ন্ত্রিত ডেটাসেট বিশ্লেষণ না করেন যাতে কোনো সদস্য নেই।

ধাপে ধাপে গণনা

ডেটাসেট: 4, 7, 13, 2, 1 (5টি মানের নমুনা)

ধাপ 1: গড় গণনা করুন

Mean (x̄) = (4 + 7 + 13 + 2 + 1) / 5 = 27 / 5 = 5.4

ধাপ 2: গড় থেকে প্রতিটি বিচ্যুতি খুঁজুন

প্রতিটি মান থেকে গড় বিয়োগ করুন:

মান (x) বিচ্যুতি (x − x̄)
4 4 − 5.4 = −1.4
7 7 − 5.4 = +1.6
13 13 − 5.4 = +7.6
2 2 − 5.4 = −3.4
1 1 − 5.4 = −4.4

ধাপ 3: প্রতিটি বিচ্যুতি বর্গ করুন

স্কোয়ারিং নেতিবাচক লক্ষণগুলি দূর করে এবং বৃহত্তর বিচ্যুতির উপর জোর দেয়:

বিচ্যুতি বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতি
−1.4 1.96
+1.6 2.56
+7.6 57.76
−3.4 11.56
−4.4 19.36

ধাপ 4: বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির যোগফল

Sum = 1.96 + 2.56 + 57.76 + 11.56 + 19.36 = 93.2

ধাপ 5: n − 1 দ্বারা ভাগ করুন (নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির জন্য)

Variance (s²) = 93.2 / (5 − 1) = 93.2 / 4 = 23.3

ধাপ 6: বর্গমূল নিন

Standard deviation (s) = √23.3 = 4.83

ব্যাখ্যা: এই ডেটাসেটের মানগুলি সাধারণত 5.4 এর গড় থেকে প্রায় 4.83 ইউনিট দূরে বসে।

সূত্র লিখিত

নমুনা আদর্শ বিচ্যুতি:

s = √[ Σ(x − x̄)² / (n − 1) ]

জনসংখ্যার মান বিচ্যুতি:

σ = √[ Σ(x − μ)² / n ]

যেখানে μ (mu) হল জনসংখ্যার গড়।

অভিজ্ঞতামূলক নিয়ম (68-95-99.7 নিয়ম)

একটি স্বাভাবিক বন্টন অনুসরণ করে এমন ডেটার জন্য, স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির প্রতিটি সীমার মধ্যে ডেটার অনুপাতের সাথে একটি নির্ভরযোগ্য সম্পর্ক রয়েছে:

পরিসর তথ্যের অনুপাত
গড় ± 1 SD ~68%
গড় ± 2 SD ~95%
গড় ± 3 SD ~99.7%

প্রযুক্ত উদাহরণ: IQ স্কোরের গড় 100 এবং SD 15।

  • 68% লোক 85 থেকে 115 এর মধ্যে স্কোর করে
  • 70 এবং 130 এর মধ্যে 95% স্কোর
  • 55 এবং 145 এর মধ্যে 99.7% স্কোর

এই নিয়ম শুধুমাত্র সাধারণভাবে বিতরণ করা ডেটার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। তির্যক বা ভারী-টেইল্ড ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য, পরিবর্তে চেবিশেভের অসমতা ব্যবহার করুন।

পার্থক্য বনাম স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি

ভ্যারিয়েন্স হল বর্গীয় বিচ্যুতি (উপরের ধাপ ৫) — আদর্শ বিচ্যুতি হল এর বর্গমূল। উভয়ই স্প্রেড পরিমাপ করে, কিন্তু স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিটি মূল ডেটার মতো একই ইউনিটে প্রকাশ করা হয়, এটিকে আরও ব্যাখ্যাযোগ্য করে তোলে।

যদি আপনার ডেটা কিলোগ্রামে হয়, তবে আপনার মানক বিচ্যুতি কিলোগ্রামে। আপনার পার্থক্য কিলোগ্রাম-বর্গক্ষেত্রে, যা অর্থপূর্ণভাবে ব্যাখ্যা করা কঠিন।

সাধারণ অ্যাপ্লিকেশন

অর্থ: বিনিয়োগের অস্থিরতা পরিমাপ করা। একটি উচ্চ SD সহ দৈনিক রিটার্ন সহ একটি স্টক আরও উদ্বায়ী - উচ্চ সম্ভাব্য লাভ এবং উচ্চ সম্ভাব্য ক্ষতি।

গুণমান নিয়ন্ত্রণ: পণ্য সহনশীলতার মধ্যে থাকা নিশ্চিত করতে উৎপাদন SD ব্যবহার করে। খুব বড় SD সহ একটি প্রক্রিয়া অনেকগুলি ত্রুটিপূর্ণ আইটেম তৈরি করে।

শিক্ষা: পরীক্ষার স্কোর মানককরণ। একটি z-স্কোর আপনাকে বলে যে একটি স্কোর গড়ের উপরে বা নীচে কতগুলি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি বসে: z = (x − গড়) / SD৷

বিজ্ঞান: পরিমাপের অনিশ্চয়তা প্রকাশ করা এবং পরীক্ষামূলক ফলাফলের তুলনা করা।

গণনার জন্য শর্টকাট

বড় ডেটাসেটের জন্য, গণনামূলক সূত্র ব্যবহার করুন যা পৃথকভাবে বিচ্যুতি গণনা করা এড়িয়ে যায়:

s² = [Σx² − (Σx)²/n] / (n − 1)

এটি গাণিতিকভাবে সমতুল্য কিন্তু তিনটির পরিবর্তে ডেটার মাধ্যমে মাত্র দুটি পাস প্রয়োজন।

আপনার প্রবেশ করা যেকোন ডেটাসেটের জন্য SD, প্রকরণ এবং একটি সম্পূর্ণ ব্রেকডাউন গণনা করতে আমাদের Standard Deviation Calculator ব্যবহার করুন।