What is Kelly Criterion Calculator?
▾
Kelly Criterion je matematický vzorec, který určuje optimální část bankrollu nebo portfolia pro alokaci na výhodnou sázku nebo investici s cílem maximalizovat dlouhodobý logaritmický růst bohatství. Kellyho vzorec, vyvinutý Johnem L. Kelly Jr. v Bell Labs v roce 1956 v kontextu teorie informace a nezávisle aplikovaný na hazardní hry a investování, vytváří nejvyšší dlouhodobou složenou míru růstu ze všech sázkových strategií s pevnými frakcemi a zároveň zajišťuje, že pravděpodobnost krachu je teoreticky nulová (při nepřetržitém sázení na příznivé kurzy). Pro jednoduchou binární sázku s pravděpodobností p výhry (a pravděpodobností q = 1−p prohry), kde výhra platí kurz b (výhra b dolarů za každou sázku dolaru), je optimální Kellyho zlomek: f* = (bp − q) / b = p − q/b. Tento zlomek je očekávaná hodnota sázky vyjádřená jako zlomek bankrollu. Sázení více než f* (nadměrné sázení) snižuje růst složeného produktu a zvyšuje riziko krachu; sázení méně než f* (underbetting) je bezpečné, ale neoptimální z hlediska dlouhodobého růstu. Pro kontinuální investice (akcie, portfolia) se Kellyho vzorec rozšiřuje na: f* = (μ − r) / σ², kde μ je očekávaný výnos, r je bezriziková míra a σ² je rozptyl výnosu. Tento výsledek přímo souvisí s poměrem Sharpe: f* = Sharpe Ratio / σ, což znamená, že Kellyho optimální pákový efekt je poměr Sharpe dělený volatilitou. Pro typické diverzifikované akciové portfolio s Sharpe=0,5 a σ=15% Kelly navrhuje 0,5/0,15 = 333% alokace — daleko nad 100%, což naznačuje teoretickou páku. V praxi se úplný Kellyho zlomek používá jen zřídka, protože: (1) reálné odhady hran a pravděpodobnosti obsahují značnou nejistotu, díky čemuž je skutečná hrana menší než odhadovaná (běžná je zlomková Kellyho 25–50 %); (2) Úplná Kelly způsobuje vážné čerpání – očekávané maximální čerpání před zdvojnásobením je přibližně 50 % bohatství; (3) většina investorů má funkce užitku, které penalizují velké ztráty více, než předpokládá logaritmický užitek. Strategie Half-Kelly nebo quarter-Kelly dosahují 75 % nebo 50 % dlouhodobého tempa růstu Kelly a zároveň dramaticky snižují čerpání a rozptyl výsledků. Kelly Criterion je široce používán ve sportovním sázení, pokeru (profesionální hráči je výslovně používají pro bankroll management), obchodování s komoditami a kvantitativní řízení investic. Legendární investoři Warren Buffett a Charlie Munger popsali investiční přístupy v souladu s Kellyho principy a Kritérium je základem průkopnické práce Edwarda Thorpa jak v počítání karet v blackjacku, tak v kvantitativní správě hedgeových fondů.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Vzorec
▾
Kellyho zlomek (binární): f* = (b×p − q) / b = p − (1−p)/b
Kellyho zlomek (spojitý): f* = (μ − r) / σ²
Rychlost růstu: g = p × ln(1 + b × f*) + (1−p) × ln(1 − f*)Variable Legend
▾
| Symbol | Jméno | Jednotka | Popis |
|---|---|---|---|
| f* | Kellyho zlomek | % | Optimální podíl bankrollu pro sázení nebo investování; maximalizuje dlouhodobý logaritmický růst bohatství. |
| p | Pravděpodobnost výhry | % | Odhadovaná pravděpodobnost příznivého výsledku; musí překročit pravděpodobnost zvratu (1/(1+b)) pro kladnou hranu. |
| b | Čistý poměr šancí | ratio | Čistá výhra na jednotku vsazenou v případě výhry: pokud vyhrajete 3 $ za sázku 1 $, b=3. Pro potenciální sázku musí být kladná. |
| EV | Očekávaná hodnota | USD | Očekávaný zisk na jednotku: EV = (p × b) − (1−p). Kladné EV je nezbytné (ale ne dostatečné), aby Kelly doporučila sázku. |
| g | Tempo růstu | %/round | Míra dlouhodobého složeného růstu na kolo sázek na Kellyho zlomku: g = p × ln(1+b×f*) + (1−p) × ln(1−f*). |
How to Kelly Criterion Calculator
▾
- 1Odhadněte pravděpodobnost p příznivého výsledku (z historických dat, modelu nebo analýzy hran).
- 2Určete kurz b: čisté výhry na vsazenou jednotku v případě úspěchu.
- 3Ověřte kladnou očekávanou hodnotu: EV = b×p − (1−p) > 0. Pokud EV ≤ 0, nesázejte (f* ≤ 0 znamená, že Kelly nedoporučuje žádnou sázku).
- 4Vypočítejte Kellyho zlomek: f* = (b×p − (1−p)) / b.
- 5V případě potřeby použijte zlomkový Kelly: typicky f = 0,25 × f* až 0,5 × f* pro konzervativnější řízení kapitálu.
- 6Velikost sázky: Výše sázky = f* × Celkový bankroll.
- 7Přepočítejte po každé sázce, jak se mění velikost bankrollu — Kelly je dynamická strategie se sázkami úměrnými aktuálnímu bohatství.
Worked Examples
▾
Pouze 10% bankrollu navzdory 55% výhře — Kelly je konzervativní
f* = (1,0 × 0,55 − 0,45) / 1,0 = (0,55 − 0,45) = 0,10 = 10 %. Výše sázky = 10 % × 10 000 $ = 1 000 $. Očekávaná hodnota jedné sázky = (0,55 × 1 000 USD) − (0,45 × 1 000 USD) = 550 USD − 450 USD = 100 USD. Tento relativně malý zlomek (10 %) i přes zdánlivě velký náskok (55 % vs. spravedlivých 50 %) odráží Kellyho konzervatismus. Sázení celých 10 000 $ (100 %) by maximalizovalo očekávanou hodnotu na sázku, ale riskovalo by krach – série 10 po sobě jdoucích ztrát (pravděpodobnost ≈ 0,3 %) by zničila bankroll. Kellyho 10% frakce činí dlouhodobý růst optimální a zároveň činí zkázu mimořádně nepravděpodobnou.
Vysoká variabilita pokeru vyžaduje mnoho buy-inů, a to i s pozitivním náskokem
V pokeru platí Kellyho vzorec rizika zmaru: P(ruin) = e^(−2×W×B/V), kde W=výhra na ruku, B=bankroll na velkých blindech, V=variance na handu. S mírou výher 55bb/100 = 0,55bb/hand, variance = 100²/100 = 100 bb²/hand a bankroll B = 30 buy-inů × 100bb = 3 000 bb: P(ruin) = e^(−2×0,0055×3)−e = 2,000 = 2% — ^0 = 2 % strašné! Profesionální pokeroví hráči využívají minimálně 30–50 buy-inů. Při 50 buy-inech (5 000 bb): P(ruin) = e^(−0,55) = 58 % – stále vysoké. Kelly analýza odhaluje, že vysoká variance pokeru vyžaduje velmi hluboké bankrolly i pro vítězné hráče.
Full Kelly je extrémně agresivní; většina praktikujících používá 25–50 % Kelly
f* = (μ − r) / σ² = (0,10 − 0,05) / (0,202) = 0,05 / 0,04 = 1,25 = 125 %. Full Kelly doporučuje 125% alokaci vlastního kapitálu (vypůjčení 25% na investování). Toto je optimální podíl portfolia Merton v logaritmickém využití. V praxi jsou skutečný Sharpeův poměr a σ nejisté (chyba odhadu), takže skutečná hrana je menší než odhadovaná. Použití polovičního Kellyho zlomku 62,5 % by dosáhlo zhruba 75 % maximální míry růstu a zároveň dramaticky snížilo riziko čerpání. Profesionální kvantové fondy obvykle používají 20–50 % teoretického Kellyho k zohlednění nejistoty odhadu.
Kelly s více aktivy používá maticové operace na kovarianční matici
Multi-asset Kelly: f* = Σ⁻¹ × α (alfa vektor), kde Σ je kovarianční matice a α je vektor nadměrných výnosů. Aktivum A má Sharpe 1,0 a relativně nízké objemy – Kelly silně alokuje. Aktivum B má nižší Sharpe a vyšší objem – menší Kellyho alokaci. Pozitivní korelace snižuje celkovou alokaci portfolia oproti nekorelovanému případu (kde f_total = 55 % + 25 % = 80 %). Praktická implementační kola a omezení: dlouhodobý fond by alokoval přibližně 80 % A, 20 % B na úrovni portfolia po normalizaci. Multi-aktiva Kelly maximalizuje dlouhodobé tempo růstu portfolia vzhledem ke společné distribuci výnosů.
Real-World Applications
▾
Správa bankrollu sportovních sázek pro profesionální sázkaře
Výběr sázek hráčů pokeru a správa bankrollu
Kvantitativní modely velikosti pozic hedgeových fondů
Alokace portfolia rizikového kapitálu napříč investičními příležitostmi
Algoritmus obchodování alokace kapitálu napříč souběžnými strategiemi
Special Cases
▾
V praxi vyžaduje tento okrajový případ pečlivé zvážení, protože standardní předpoklady nemusí platit. Když se setkáte s tímto scénářem ve výpočtech kalkulátoru kellyho kritéria, praktici by měli ověřit okrajové podmínky, zkontrolovat rizika dělení nulou a zvážit, zda předpoklady modelu zůstávají platné i za těchto extrémních podmínek.
V praxi vyžaduje tento okrajový případ pečlivé zvážení, protože standardní předpoklady nemusí platit. Když se setkáte s tímto scénářem ve výpočtech kalkulátoru kellyho kritéria, praktici by měli ověřit okrajové podmínky, zkontrolovat rizika dělení nulou a zvážit, zda předpoklady modelu zůstávají platné i za těchto extrémních podmínek.
V praxi vyžaduje tento okrajový případ pečlivé zvážení, protože standardní předpoklady nemusí platit. Když se setkáte s tímto scénářem ve výpočtech kalkulátoru kellyho kritéria, praktici by měli ověřit okrajové podmínky, zkontrolovat rizika dělení nulou a zvážit, zda předpoklady modelu zůstávají platné i za těchto extrémních podmínek.
Poměr Kellyho frakce vs. dlouhodobý růst tempa
▾
| Kelly Multiple | Tempo růstu (% Kelly) | Závažnost čerpání | Typický uživatel |
|---|---|---|---|
| Úplná Kelly (1,0×) | 100 % | Závažné (~50 % očekávaného maximálního DD) | Teoretické optimální |
| Half Kelly (0,5×) | 75% | Střední (~25 % max. DD) | Agresivní množstevní fondy |
| Quarter Kelly (0,25×) | 44% | Mírné (~12 % max. DD) | Konzervativní praktiky |
| 10th Kelly (0,1×) | 19% | Velmi nízké (~5 % max. DD) | Risk-averse risk mgmt |
| 2× Kelly (nadměrné sázení) | 0% | Extrémní — trend ke zkáze | Nebezpečná zóna – vyhněte se |
| 3× Kelly (nadměrné sázení) | Negativní | Téměř jistá konečná ruina | Katastrofální |
Frequently Asked Questions
▾
Proč se plná Kelly v praxi používá jen zřídka?
Full Kelly maximalizuje dlouhodobý logaritmický růst, ale vytváří velmi agresivní určování velikosti pozic a výrazné čerpání. Očekávané maximální čerpání před zdvojnásobením bohatství je přibližně 50 % současného bohatství – to znamená, že byste měli očekávat, že v určitém okamžiku ztratíte polovinu svých peněz, než se zdvojnásobí. Většina investorů má utilitní funkce více averzní k riziku než logaritmické, což znamená větší postih za velké ztráty. Navíc jsou odhady skutečného náskoku nejisté – pokud je váš skutečný náskok poloviční než odhadovaný, z plného Kellyho se stává významné přehánění. Half-Kelly dosahuje přibližně 75 % tempa růstu Kelly s mnohem nižším rozptylem a maximálním čerpáním. Profesionální kvantové fondy obvykle využívají 20–50 % Kelly.
Jaký je vztah mezi Kelly Criterion a Sharpe ratio?
Pro kontinuální investice s normálně rozdělenými výnosy je Kelly optimální pákový efekt: f* = Sharpe Ratio / σ = (μ − r) / σ². To znamená, že Kellyho frakce roste s poměrem Sharpe (vyšší hrana odůvodňuje větší velikost) a klesá s volatilitou (vyšší objem znamená větší riziko rozptylu). Maximální dlouhodobá míra růstu (Kellyho růst) se rovná bezrizikové sazbě plus (Sharpe²)/2 — takže Kellyho růst je přímo úměrný druhé mocnině Sharpeho poměru. Tento vztah je důvodem, proč je Sharpeův poměr jedinou nejdůležitější metrikou pro Kelly-optimal investory: strategie s dvojnásobným Sharpeovým poměrem dosahuje čtyřnásobku přírůstkového tempa růstu.
Může Kellyho kritérium vést ke zkáze?
Teoreticky má Kellyho kritérium nulovou pravděpodobnost krachu v dlouhodobém horizontu pro výhodnou sázku se spojitými pozitivními pravděpodobnostními výsledky (geometrická náhodná procházka téměř jistě konverguje k nekonečnu). V praxi však existuje riziko krachu kvůli: (1) diskrétním (ne nekonečně dělitelným) sázkám, které mohou v relativním vyjádření překročit Kellyho zlomek; (2) chyba modelu – skutečná pravděpodobnost a šance mohou být méně příznivé než odhadované; (3) streak risk — s plným Kellym způsobí dlouhé řady proher extrémní drawdowny i bez krachu; (4) pákový efekt – pokud Kellyho zlomek přesáhne 100 % (jako u aplikací na akciovém trhu), vypůjčené prostředky vytvářejí konečnou možnost zruinování. K řízení všech těchto rizik jsou v praxi preferovány zlomkové Kellyho strategie.
Jak Kelly Criterion zpracovává korelované sázky?
Na jedinou sázku je Kelly přímočará. Pro portfolio současně aktivních sázek nebo investic používá multi-aktiva Kelly maticovou algebru: f* = Σ⁻¹ × α, kde Σ je kovarianční matice výnosů a α je vektor očekávaných nadměrných výnosů. Pozitivně korelované sázky snižují celkovou Kellyho alokaci ve srovnání s nekorelovanými sázkami – portfolio manažer by se měl zmenšit, když sázky korelují, protože korelace zesiluje riziko čerpání. Negativně korelované sázky umožňují větší celkovou alokaci. Toto je matematický základ, proč diverzifikace (negativní/nízká korelace mezi pozicemi) umožňuje větší celkové nasazení kapitálu bez obětování bezpečnosti.
Co je to „frakční Kelly“ strategie?
Zlomkový Kelly sází fixní zlomek celé Kellyho částky – obvykle 25 % (čtvrtletní Kelly) až 50 % (poloviční Kelly). Half-Kelly dosahuje přibližně 75 % maximálního dlouhodobého tempa růstu, přičemž: (1) snižuje rozptyl portfolia na 25 % Kellyho rozptylu; (2) snížení maximálního očekávaného čerpání na polovinu; (3) poskytování značné rezervy proti chybám odhadu v hraně a pravděpodobnosti. Vztah je kvadratický: sázení na zlomek c Kellyho dosahuje c(2−c) zlomku Kellyho maximálního tempa růstu (vždy méně než 100 %), takže trest za růst pod sázení je mnohem menší než přínos snížení rozptylu. Tato asymetrie vysvětluje, proč zlomkový Kelly dominuje nad Kelly v praktickém řízení rizik.
Kdo používá Kelly Criterion profesionálně?
Kelly Criterion bylo výslovně přijato nebo ovlivněno několika legendárními investičními kariérami. Edward Thorp – profesor matematiky, který vynalezl počítání karet v blackjacku – důsledně aplikoval Kellyho jak na hazardní hry (zdokumentované v Beat the Dealer), tak na svůj hedgeový fond Princeton/Newport Partners, který vedl 19 let s výjimečnými výnosy upravenými o riziko. Koncentrovaná filozofie určování velikosti pozic Warrena Buffetta odráží Kellyho myšlení: sázejte velké sázky, když máte vysoké přesvědčení a skutečnou výhodu. Profesionální sportovní sázkaři a pokeroví hráči využívají Kelly výslovně pro bankroll management. Kvantitativní hedgeové fondy jako Renaissance Technologies implicitně používají koncepty optimálních frakcí související s Kelly ve svých systematických obchodních strategiích.
Jaké je nebezpečí „nadměrného sázení“ u Kelly?
Nadměrné sázení – sázení více než Kellyho zlomek – je horší než podsázky z hlediska míry růstu i pravděpodobnosti krachu. Přesně na 2× Kelly (dvojnásobek Kelly) klesá dlouhodobé tempo růstu na nulu — hodnota účtu osciluje kolem úrovně, aniž by rostla. Za 2× Kelly se míra růstu stává zápornou — je prakticky jisté, že účet nakonec ztratí veškerou hodnotu. Tato výrazná asymetrie (nižší sázení je pouze suboptimální, přehánění může být katastrofální) dělá z Kellyho důležitou horní hranici velikosti pozice. V praxi, kdykoli model navrhne Kellyho zlomek velmi blízko nebo překračující 100 %, považujte to za signál k agresivní aplikaci zlomkového Kellyho faktoru kvůli zvýšenému riziku nadměrného sázení.
Common Mistakes to Avoid
▾
- !Použití úplného Kellyho bez zohlednění nejistoty odhadu v hraně a pravděpodobnosti — v reálných aplikacích vždy aplikujte zlomkový Kelly (25–50 %).
- !Ignorování korelační struktury při dimenzování více současných pozic — korelované sázky vyžadují snížení jednotlivých Kellyho zlomků.
- !Použití Kellyho na sázky se zápornou očekávanou hodnotou — Kelly v těchto případech správně vytvoří f* ≤ 0 (žádná sázka).
- !Zacházení s Kelly jako s pevným pravidlem velikosti sázek – mělo by být aplikováno pokaždé na aktuální bohatství a úměrně zmenšovat sázky, jak bohatství klesá.
- !Za předpokladu, že Kelly dosáhne maximálního očekávaného dolarového výnosu — maximalizuje logaritmický (geometrický) růst, nikoli aritmetický očekávaný výnos.
Pro Tip
Spusťte Monte Carlo simulaci 1 000 cest přes 100 sázek s použitím plné Kelly, poloviční Kelly a čtvrtinové Kelly. Distribuce konečných výsledků bohatství vizuálně demonstruje jak nadřazenou centrální tendenci Kellyho, tak katastrofální odvrácenou stranu přehnaného sázení – mnohem přesvědčivěji než samotné vzorce.
Did you know?
John Kelly Jr. publikoval své kritérium v článku Bell System Technical Journal z roku 1956 s názvem „Nová interpretace informační rychlosti“, přičemž výsledek zarámoval z hlediska teorie informace a kapacity komunikačních kanálů – nikoli hazardu. O hazardu se list vůbec nezmiňoval. Ed Thorp rozpoznal jeho použití v blackjacku a později na akciovém trhu a účinně převedl Kellyho z teorie informace do praktického řízení investic.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
References
- ›Kelly, J. L. (1956): Nová interpretace informační rychlosti, Bell System Technical Journal
- ›Thorp, E.O. (2006): Kellyho kritérium v blackjacku, sportovních sázkách a akciovém trhu
- ›MacLean, Thorp & Ziemba: The Kelly Capital Growth Investment Criterion, World Scientific
- ›Investopedia: Kelly Criterion Definition
Read the full guide on how to use this calculator effectively
Číst více →Získejte týdenní matematické tipy
Připojte se k 12 000+ odběratelům, kteří každý týden dostávají tipy na kalkulačku.