What is Ruin Probability Calculator?
▾
Pravděpodobnost krachu (také nazývaná pravděpodobnost krachu, krachu hráče nebo riziko krachu) je pravděpodobnost, že hráč, obchodník nebo firma vyčerpá veškerý svůj kapitál, než dosáhne stanoveného cíle bohatství. Je to základní koncept v teorii pravděpodobnosti, pojistně matematické vědě a řízení obchodních rizik, který odpovídá na otázku: s ohledem na počáteční kapitál, výhodu na sázku nebo obchod a cílovou úroveň bohatství, jaká je pravděpodobnost bankrotu před dosažením cíle? Klasický problém krachu hazardního hráče, formalizovaný matematiky včetně Blaise Pascala a Christiaana Huygense v 17. století, uvažuje hráče s počátečním kapitálem $k, který hraje hru proti soupeři s kapitálem $N−k (celkové sázky u stolu = $N). S pravděpodobností p výhry každé sázky (a q=1−p prohry) má pravděpodobnost krachu (prohra všech $k před dosažením $N) elegantní řešení v uzavřené formě. Když p = q = 0,5 (férová hra), pravděpodobnost zmaru = (N−k)/N. Pro nepříznivou hru (q > p) je ruina pro velké N téměř jistá. V obchodování se pravděpodobnost krachu obvykle počítá jako pravděpodobnost ztráty veškerého kapitálu před dosažením násobku počátečního kapitálu. Pomocí spojité aproximace: P(ruin) = e^(−2× Edge × Capital / Variance), kde Edge = střední výnos na obchod (nebo období), Capital = počáteční kapitál a Variance = rozptyl výnosů na obchod. Tento vzorec ukazuje, že pravděpodobnost krachu klesá exponenciálně s: (1) větším počátečním kapitálem vzhledem k velikosti sázky; (2) vyšší okraj; a (3) nižší rozptyl. To je důvod, proč pravidlo 1 % v obchodování – riskování pouze 1 % kapitálu na obchod – dramaticky snižuje pravděpodobnost krachu ve srovnání s 5 % nebo 10 % rizikem na obchod. V pojišťovnictví a pojistně matematické vědě teorie zmaru (Cramér-Lundbergův model) studuje, zda se přebytek pojistitele (kapitálová rezerva) někdy stane záporným vzhledem k příjmu z pojistného, návratnosti investic a náhodným platbám nároků. Cramér-Lundbergova nerovnost poskytuje horní hranici pravděpodobnosti krachu pro pojistná portfolia. Analýza pravděpodobnosti krachu se také používá v podnikových financích k posouzení toho, jak dlouho může startup nebo podnik přežít se svým aktuálním hotovostním zůstatkem s ohledem na jeho rychlost spálení a trajektorii příjmů, a v osobních financích k posouzení pravděpodobnosti, že důchodce vyčerpá své portfolio před smrtí podle různých scénářů výdajů a návratnosti.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Vzorec
▾
Diskrétní (p ≠ 0,5): P(ruin) = [(q/p)^N − (q/p)^k] / [(q/p)^N − 1]
Fair game (p=0,5): P(zničení) = 1 − k/N
Přibližně spojité: P(zřícenina) = exp(−2 × μ × k / σ²)Variable Legend
▾
| Symbol | Jméno | Jednotka | Popis |
|---|---|---|---|
| k | Počáteční kapitál | USD | Počáteční bohatství nebo bankroll; měřeno v jednotkách velikosti sázky pro diskrétní vzorec zmaru hráče. |
| p | Pravděpodobnost výhry | % | Pravděpodobnost výhry každé sázky nebo obchodu; pokud p > 0,5 (nebo p > prahová hodnota zvratu), existuje kladná hrana. |
| N | Cílový kapitál | USD | Bohatství cíl; v klasickém gambler's ruin, table stake (bod, ve kterém je místo toho zničen soupeř). |
| P_ruin | Pravděpodobnost zmaru | % | Pravděpodobnost ztráty veškerého kapitálu před dosažením cíle N. Blíží se 1,0 pro nepříznivé hry (p < 0,5). |
| E_dur | Očekávaná doba trvání | bets/trades | Očekávaný počet sázek/obchodů před zničením nebo dosažením cíle N; odráží, jak dlouho hra trvá. |
How to Ruin Probability Calculator
▾
- 1Definujte počáteční kapitál k (v jednotkách minimální sázky nebo obchodního rizika), cílový kapitál N a výši sázky/rizika na hru.
- 2Odhadovaná hrana (p = pravděpodobnost výhry každé sázky). Pro obchodování použijte míru výhry upravenou pro poměr velikosti výhry/prohry.
- 3Použijte vhodný vzorec zmaru: diskrétní gambler's ruin pro binární sázky; průběžná aproximace pro obchodování s variabilními výnosy.
- 4Pro obchodování: P(ruin) = exp(−2 × průměrný_zisk × počáteční_kapitál / odchylka_na_obchod).
- 5Analyzujte citlivost: jak se změní pravděpodobnost krachu, pokud se počáteční kapitál zdvojnásobí? Pokud je okraj poloviční? Pokud se rozptyl zvýší?
- 6Vypočítejte očekávanou dobu trvání (kolik kol před určením výsledku): E = k × (N−k) / |2p−1| × 1/(p−0,5) pro p≠0,5.
- 7Pomocí pravděpodobnosti krachu nastavte minimální kapitálové požadavky, maximální velikosti sázek a vhodná procenta rizika na obchod.
Worked Examples
▾
Dokonce i s „pouhými“ 2,63 % house edge je na této úrovni ruina téměř jistá
q/p = (1-0,4737)/0,4737 = 0,5263/0,4737 = 1,1111. P(ruin) = [(1,1111)^200 − (1,1111)^100] / [(1,1111)^200 − 1]. Člen (1,1111)^200 je astronomicky velký a dominuje v čitateli a jmenovateli: P(ruin) ≈ 1 − (1.1111)^(−100) = 1 − e^(−100 × ln1.1111) ≈ 1 18 − 6.4 %.^(−8.6.4 %) Na zdvojnásobení 100 $ v ruletě máte pouze 11,4% šanci. To ilustruje, proč kasina vyhrávají: výhoda malého domu spojená s mnoha sázkami vytváří pro hráče téměř jistou zkázu.
Kladná hrana s kontrolovaným dimenzováním = velmi nízká pravděpodobnost zničení
Na obchod: očekávaný zisk = 0,55 × 300 $ − 0,45 × 200 $ = 165 $ − 90 $ = 75 $ (poznámka: zisk z výhry 1,5 × 200 $ = 300 $). Průměr = 75 USD, rozptyl = E[X²] − E[X]² = (0,55 × 300 USD² + 0,45 × 200 USD²) − 75 USD² = (49 500 + 18 000) − 5 625 = 61 875 USD. P(zničení) ≈ exp(−2 × 75 $ × 10 000 $ / 61 875 $) = exp(−24,24) ≈ 0,0000000036 — v podstatě nula! I s pouhým 2% rizikem na obchod a mírným náskokem je pravděpodobnost krachu zanedbatelná. Porovnejte s riskováním 10 % na obchod (1 000 USD): P(ruin) ≈ exp(-2 × 75 × 10 000 USD / 61 875 USD), kde je nyní kapitál pouze 10 jednotek: exp (-2 × 75 × 10/61875) – stále zanedbatelné, protože jsme správně škálovali.
Krach startupů je zde deterministický – potřebuje růst příjmů nebo nové financování
Čistý výpal = 50 000 $ měsíčně. Runway = 500 000 $ / 50 000 $ = 10 měsíců – startupu dojdou peníze za 10 měsíců beze změny. Aby startup přežil 18 měsíců do cílového fundraisingu série A (N=18 měsíců hotovosti při počáteční rychlosti výpalu = 900 000 USD), potřebuje buď 80% růst tržeb, aby snížil čistý výpal na 0 USD, nebo dodatečné financování. To ilustruje, proč se investoři intenzivně starají o rychlost spálení startu a dráhu: krach (výplata před dalším financováním) je doslova koncem společnosti.
20% bezpečnostní zatížení s přebytkem 1 milion USD vytváří téměř nulovou pravděpodobnost zničení
Podle Cramér-Lundbergova modelu je horní hranice pravděpodobnosti zhroucení P(zruin|přebytek=u) ≤ e^(−Ru), kde R je přizpůsobovací koeficient (kladný kořen Lundbergovy rovnice). S 20% bezpečnostní zátěží a exponenciálními nároky se střední hodnotou 10 000 $: R = θ/(μ(1+θ)) = 0,20/(10 000×1,20) ≈ 1,67×10⁻⁵. P(ruin) ≤ e^(−1,67×10⁻⁵×1 000 000) = e^(−16,7) ≈ 5,6×10⁻⁸ — v podstatě nula. To potvrzuje, že adekvátní přebytek a zatížení pojistného vytváří téměř dokonalou finanční stabilitu pro pojišťovnu za typických předpokladů škod.
Real-World Applications
▾
Řízení rizik obchodního systému a minimální kapitálové požadavky, které představují důležitou aplikační oblast pravděpodobnosti krachu v profesionálním a analytickém kontextu, kde přesné výpočty pravděpodobnosti krachu přímo podporují informované rozhodování, strategické plánování a optimalizaci výkonu
Analýza startovací dráhy a plánování milníků financování, představující důležitou aplikační oblast pro pravděpodobnost zhroucení v profesionálním a analytickém kontextu, kde přesné výpočty pravděpodobnosti zhroucení přímo podporují informované rozhodování, strategické plánování a optimalizaci výkonu.
Regulace přiměřenosti přebytku a solventnosti pojišťovny, která představuje důležitou aplikační oblast pravděpodobnosti krachu v profesionálním a analytickém kontextu, kde přesné výpočty pravděpodobnosti krachu přímo podporují informované rozhodování, strategické plánování a optimalizaci výkonu
Pravděpodobnost vyčerpání penzijního portfolia (riziko posloupnosti výnosů), představující důležitou aplikační oblast pravděpodobnosti krachu v profesionálním a analytickém kontextu, kde přesné výpočty pravděpodobnosti krachu přímo podporují informované rozhodování, strategické plánování a optimalizaci výkonu.
Profesionálové v oboru spoléhají na pravděpodobnost krachu pro výpočty pravděpodobnosti krachu provozu, výstupy pro klienty, hlášení shody s předpisy a strategické plánování v obchodních kontextech, kde přesnost pravděpodobnosti krachu přímo ovlivňuje finanční výsledky a výkonnost organizace.
Special Cases
▾
{'případ': 'Strategie Martingale', 'explanation': 'Sázení na Martingale (zdvojnásobení po každé prohře) má teoreticky nulovou pravděpodobnost krachu (za předpokladu nekonečného kapitálu), ale v praxi téměř jisté krachu kvůli limitům konečných tabulek a kapitálu. Série porážek pouhých 10 vyžaduje 2^10 = 1 024× počáteční sázka – rychle převyšující jakoukoli reálnou kapitálovou základnu.'}
{'case': 'Infinite Horizon Ruin', 'explanation': 'U nepříznivé hry (negativní hra) je pravděpodobnost zhroucení v nekonečném časovém horizontu přesně 1,0 – jisté zmar. Pro příznivou hru se pravděpodobnost zničení v nekonečném horizontu rovná nule u pevných dílčích sázek (nepřetržitý případ). Pro pevnou velikost sázky, dokonce i s kladnou hranou, je pravděpodobnost zničení nekonečného horizontu pozitivní pro diskrétní náhodnou procházku s nenulovou pravděpodobností okamžitého zničení.'}
Když se vstupní hodnoty pravděpodobnosti zhroucení blíží nule nebo se stanou zápornými v Ruin
Když se vstupní hodnoty pravděpodobnosti zhroucení přiblíží nule nebo se v Pravděpodobnosti zhroucení stanou zápornými, matematické chování se výrazně změní. Nulové hodnoty mohou způsobit chyby dělení nulou nebo triviálně nulové výsledky, zatímco záporné vstupy mohou poskytnout matematicky platné, ale prakticky nesmyslné výstupy v kontextu pravděpodobnosti zhroucení. Profesionální uživatelé by si před interpretací výsledků měli ověřit, že všechny vstupy spadají do fyzicky nebo finančně smysluplných rozsahů. Záporné nebo nulové hodnoty často indikují chyby při zadávání dat nebo výjimečné okolnosti pravděpodobnosti krachu vyžadující samostatné analytické zpracování.
Pravděpodobnost zničení počátečním kapitálem (jednotky sázky) a Edge
▾
| kapitál (jednotky) | Hrana = 0 % | Hrana = 1 % | Hrana = 3 % | Hrana = 5 % | Hrana = 10 % |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 jednotek | 100 % | 82% | 55% | 37% | 14% |
| 20 jednotek | 100 % | 67% | 30% | 14% | 2% |
| 50 jednotek | 100 % | 37% | 5% | 0,7 % | 0,006 % |
| 100 jednotek | 100 % | 14% | 0,25 % | 0,05 % | ~0% |
| 200 jednotek | 100 % | 2% | ~0% | ~0% | ~0% |
| 500 jednotek | 100 % | <0,1 % | ~0% | ~0% | ~0% |
Frequently Asked Questions
▾
Jaký je problém gamblera?
Problém klasického gamblera: gambler s $k dolary hraje férovou hru proti nekonečně bohatému soupeři a sází $1 na kolo. Pravděpodobnost ztráty všech $k před zničením soupeře (což v případě nekonečného protivníka znamená pravděpodobnost konečného zničení) je 1,0 — jisté zničení. Proti konečnému soupeři s celkovým kapitálem $N (hráč má $k, soupeř $N−k) je pravděpodobnost krachu 1−k/N pro férovou hru. Tento výsledek má hluboké důsledky: dokonce i s nulovou výhodou domu hráč s menším kapitálem než „dom“ nakonec ztratí všechny své peníze. Matematicky vysvětluje, proč dům vždy vyhrává – má více kapitálu a může přežít každého jednotlivého hráče.
Jak velikost sázky ovlivňuje pravděpodobnost krachu?
Velikost sázky má dramatický vliv na pravděpodobnost krachu. Pro pevný počáteční kapitál a kladnou hranu je pravděpodobnost krachu přibližně P(ruin) ≈ e^(−2×hrana×kapitál_v_jednotkách_sázky). Zdvojnásobení počátečního kapitálu (nebo ekvivalentně snížení velikosti sázky na polovinu) umocňuje pravděpodobnost krachu: pokud P(ruin) bylo 10 %, stane se 1 % (zhruba). Tato exponenciální citlivost na poměr velikosti sázky/kapitálu je matematickým základem pro pravidlo 1% rizika v obchodování. Riskovat 1 % na obchod znamená 100 jednotek kapitálu; pravděpodobnost zničení ≈ e^(−200×hrana) — s jakoukoli kladnou hranou je tato v podstatě nulová. Riskovat 10 % na obchod znamená pouze 10 jednotek; pravděpodobnost zničení ≈ e^(−20×hrana) — mnohem vyšší.
Může být pravděpodobnost zničení nulová?
Teoreticky platí, že u nekonečného kapitálového výchozího bodu nebo u hry, kde nikdy nemůžete prohrát všechny své peníze (pevné zlomkové sázení zajišťující, že sázka klesá na nulu, když se bohatství blíží nule), se pravděpodobnost krachu může blížit nule. V kontinuální aproximaci pro fixní zlomkové obchodování se pravděpodobnost krachu technicky rovná nule, protože velikost sázek se úměrně zmenšuje s účtem – hodnota účtu se může asymptoticky přiblížit nule, ale ve skutečnosti jí nikdy nedosáhne. V praxi minimální velikosti pozic, transakční náklady a diskrétní struktury sázek znamenají, že určitá pozitivní pravděpodobnost krachu vždy existuje, a to i u strategií s pozitivní hranou. Praktickým cílem je spíše snížit pravděpodobnost zničení na přijatelně nízkou úroveň (< 1 %), než ji odstranit.
Jaký je vztah mezi pravděpodobností krachu a Kellyho kritériem?
Kellyho kritérium a pravděpodobnost krachu spolu hluboce souvisí: Kellyho zlomek je přesně ta velikost sázky, která minimalizuje míru poklesu pravděpodobnosti krachu s růstem kapitálu. U Kellyho frakce je geometrická míra růstu kapitálu maximalizována, což znamená, že bohatství roste nejrychleji směrem k jakémukoli cíli a současně minimalizuje pravděpodobnost krachu. Přehnané sázení (nad Kelly) prudce zvyšuje pravděpodobnost krachu — při 2× Kelly se zhroucení stává z dlouhodobého hlediska jistým. Underbetting (frakční Kelly) snižuje pravděpodobnost krachu pod Kellyho úrovně, ale za cenu pomalejšího růstu kapitálu. Kellyho kritérium lze odvodit minimalizací pravděpodobnosti krachu za předpokladu maximalizace dlouhodobého růstu.
Jak se pravděpodobnost krachu využívá při plánování odchodu do důchodu?
V osobních financích a plánování odchodu do důchodu je pravděpodobnost krachu přeformulována jako „pravděpodobnost vyčerpání portfolia“: šance, že portfolio důchodce před smrtí klesne na nulu. To se odhaduje pomocí simulace Monte Carlo: generujte tisíce scénářů návratnosti investic, inflace a výdajů a počítejte zlomek, ve kterém je portfolio vyčerpáno. „Pravidlo 4 %“ (stáhnout 4 % z počátečního portfolia ročně, upravené o inflaci) vzešlo z historického simulačního výzkumu (Bengen 1994, Trinity Study 1998) a ukázalo se přibližně 95% úspěšnosti (5% pravděpodobnost krachu) během 30letých období odchodu do důchodu pro portfolio akcií/dluhopisů 60/40.
Jaké faktory nejsilněji ovlivňují pravděpodobnost krachu?
V sestupném pořadí dopadu: (1) Velikost sázky jako zlomek kapitálu – jediná nejsilnější proměnná; Snížení velikosti sázky na polovinu dramaticky snižuje zmar; (2) Hrana – kladná hrana je nezbytná pro pravděpodobnost zničení pod 50 %; nulová nebo záporná hrana vždy vede k pravděpodobnosti zničení blížící se 1; (3) Rozptyl výsledků — vyšší rozptyl zvyšuje pravděpodobnost krachu i na stejné hraně (odráží Kellyho vzorec: riziko zhroucení ∝ 1/hrana × rozptyl); (4) Počáteční kapitál v jednotkách velikosti sázky – více jednotek kapitálu znamená nižší zmar; (5) Cílový kapitál – větší požadovaný zisk (vyšší N) zvyšuje pravděpodobnost krachu. Praktické řešení: udržujte malou velikost sázky, mějte pozitivní výhodu a začněte s dostatečným kapitálem.
Jak se pravděpodobnost krachu vztahuje na platební schopnost podniku?
V obchodním kontextu je pravděpodobnost krachu pravděpodobnost insolvence – záporného vlastního kapitálu nebo neschopnosti dostát svým závazkům. Pro podniky je „sázka“ peněžní tok každého provozního období, který má očekávanou hodnotu (provozní zisk) a rozptyl (volatilita peněžních toků). Počáteční kapitál je vlastní rezerva a úvěrová facilita. Cílem je přežít do ziskovosti nebo do dalšího kola financování. Při stabilním kladném cash flow (kladná hrana, nízký rozptyl) je pravděpodobnost krachu nízká. U cyklických podniků je rozptyl peněžních toků vysoký, což vyžaduje větší kapitálové rezervy. To je důvod, proč banky vyžadují minimální kapitálové poměry – implicitně stanovují maximální pravděpodobnost krachu přijatelnou pro regulovanou finanční instituci.
Common Mistakes to Avoid
▾
- !Ignorování toho, že ani malá pozitivní výhoda nezaručuje přežití bez adekvátního počátečního kapitálu vzhledem k velikosti sázky.
- !Použití deterministických výpočtů dráhy (např. měsíců hotovosti při současném spálení) bez zohlednění nejistoty příjmů/nákladů.
- !Za předpokladu, že předchozí série proher „vyčerpala“ smůlu a další obchod s větší pravděpodobností vyhraje – gamblerův omyl.
- !Pravděpodobnost krachu považovat za jednorázový výpočet spíše než ji dynamicky aktualizovat, když se mění kapitál, parametry strategie a podmínky na trhu.
- !Záměna pravděpodobnosti krachu s očekávanou ztrátou — pravděpodobnost zhroucení měří přežití, nikoli průměrnou velikost ztráty.
Pro Tip
Spusťte Monte Carlo simulaci 10 000 cest vašeho obchodního systému během 252 obchodních dnů. Vykreslete rozložení hodnot terminálového účtu a identifikujte zlomek cest, které končí pod vaším prahem „zruinování“. Tato empirická pravděpodobnost krachu je přesnější než analytické vzorce pro obchodní systémy v reálném světě s nenormálním rozdělením výnosů.
Did you know?
Problém zmaru hazardního hráče poprvé formálně nastolili Blaise Pascal (slavný Pascalův trojúhelník) a Christiaan Huygens ve své korespondenci o teorii pravděpodobnosti ze 17. století. Huygens publikoval řešení v roce 1657 v „De Ratiociniis in Ludo Aleae“ (O uvažování v hazardních hrách), což z něj činí jeden z prvních problémů s pravděpodobností, který má úplné matematické řešení. Stejná matematika nyní podporuje moderní regulaci pojištění, limity obchodního rizika a analýzu startovacích drah.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
References
Read the full guide on how to use this calculator effectively
Číst více →Získejte týdenní matematické tipy
Připojte se k 12 000+ odběratelům, kteří každý týden dostávají tipy na kalkulačku.