"Průměr" je jedno z nejpoužívanějších a nejzneužívanějších slov v matematice. V běžném jazyce obvykle znamená jednu konkrétní věc - sečíst čísla a vydělit. Ve statistice však existují tři různé typy průměru, z nichž každý je vhodný pro jiné situace. Volba nesprávného z nich vede k zavádějícím závěrům.
Tři typy průměru
1. Průměr (aritmetický průměr)
Většina lidí má pod pojmem "průměr" na mysli průměr. Sečtěte všechny hodnoty a vydělte je počtem.
Mean = Sum of all values / Number of values
Příklad: Výsledky testů: 72, 85, 91, 68, 77, 95, 82
Součet = 72 + 85 + 91 + 68 + 77 + 95 + 82 = 570 Počet = 7 Mediální hodnota = 570 / 7 = 81,4
Kdy ji použít: Pokud jsou data zhruba symetrická bez extrémních odlehlých hodnot. Dobře funguje pro výšky, výsledky testů, teploty.
Kdy ji NEpoužívat: Pokud existují odlehlé hodnoty. Jeden miliardář v místnosti s průměrnými příjmy činí průměrný příjem velmi zavádějícím.
2. Medián (střední hodnota)
Medián je prostřední hodnota, když jsou data seřazena podle pořadí. Polovina hodnot je nad ním, polovina pod ním.
Při lichém počtu hodnot: seřaďte a vezměte prostřední z nich.
Při sudém čísle: seřaďte a vezměte průměr dvou prostředních hodnot.
Příklad (liché): 72, 68, 85, 91, 77, 95, 82 Třídit: 68, 72, 77, 82, 85, 91, 95 Medián = 82
Příklad (sudé): 68, 72, 77, 82, 85, 91 Prostřední dva: 77 a 82 Medián = (77 + 82) / 2 = 79,5
Kdy ji použít: Pokud jsou data odlehlá nebo zkreslená. U cen domů, platů a rozdělení příjmů se vždy používá medián, protože několik extrémních hodnot by zkreslilo průměr.
3. Režim (nejčastější hodnota)
Režim je hodnota, která se objevuje nejčastěji. Datový soubor může mít jeden mód (unimodální), dva (bimodální) nebo více módů (multimodální). Pokud se žádná hodnota neopakuje, neexistuje žádný mód.
Příklad: Velikosti obuvi prodané za týden: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10 Režim = 8 (objeví se 3krát)
Kdy ji použít: Kategoriální data, odpovědi v průzkumech nebo v případech, kdy potřebujete nejčastější hodnotu, nikoli matematický střed. Výrobce obuvi zajímá modus, nikoli průměrná velikost obuvi.
Vážený průměr
Pokud se některé hodnoty počítají více než jiné, použijte vážený průměr:
Weighted mean = Σ(value × weight) / Σ(weights)
Příklad: Známky univerzitních modulů s různou váhou kreditů:
| Modul | Třída | Kredity |
|---|---|---|
| Matematika | 72 | 30 |
| Angličtina | 85 | 15 |
| Historie | 68 | 15 |
| Věda | 91 | 40 |
Vážený průměr = (72×30 + 85×15 + 68×15 + 91×40) / (30+15+15+40) = (2,160 + 1,275 + 1,020 + 3,640) / 100 = 8,095 / 100 = 80.95
To se liší od prostého průměru 79,0 - vyšší váha kreditů v přírodovědném modulu zvyšuje průměr.
Výpočty GPA, výnosy investičního portfolia a hodnocení zkoušek používají vážené průměry.
Geometrický průměr
U veličin, které se skládají nebo násobí (míra růstu, výnosy z investic), použijte geometrický průměr:
Geometric mean = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n)
Příklad: Roční výnosy z investic +50 %, -30 %, +20 %.
Prostý průměr = (+50 - 30 + 20) / 3 = +13,3 % - zavádějící optimismus
Geometrický průměr = (1,50 × 0,70 × 1,20)^(1/3) - 1 = (1.26)^(1/3) - 1 = 1.0797 - 1 = +7,97 % ročně
To odráží skutečné složení: 1 000 liber → 1 500 liber → 1 050 liber → 1 260 liber, což představuje 7,97 % roční růst - nikoli 13,3 %.
Jaký průměr byste měli použít?
| Situace | Nejlepší průměr |
|---|---|
| Symetrická data, žádné odlehlé hodnoty | Průměr |
| Přítomnost zkreslených dat nebo odlehlých hodnot | Medián |
| Nejčastější potřebná hodnota | Režim |
| Hodnoty mají různou důležitost | Vážený průměr |
| Sazby, poměry nebo složení | Geometrický průměr |
| Srovnání platů a příjmů | Medián |
| Statistika cen nemovitostí | Medián |
| Sportovní pálkařské průměry | Průměr (nebo specifický vzorec) |
| Návratnost investice v průběhu let | Geometrický průměr |
Nejčastější chyby
Předpokládáme, že "průměr" vždy znamená průměr. Když ve zprávách vidíte "průměrný plat", zeptejte se, zda jde o průměr nebo medián. Průměr je obvykle o 20-30 % vyšší než medián, protože údaje zkreslují lidé s vysokými příjmy.
Průměrné procento bez vážení. Pokud má vaše portfolio 1 000 liber ve fondu A (+10 %) a 9 000 liber ve fondu B (+2 %), průměrný výnos NENÍ 6 %. Je to (100 + 180 liber) / 10 000 liber = 2,8 %.
Přihlédnutí k rozdělení. Střední hodnota může být stejná pro velmi odlišné soubory dat. Třída, kde všichni dosáhli 70 % bodů, a třída, kde polovina dosáhla 40 % a polovina 100 % bodů, mají stejný průměr - ale velmi odlišné výsledky učení.
K výpočtu jakéhokoli typu průměru z vlastních dat použijte naše kalkulačky Mean, Median, Mode Calculator a Weighted Average Calculator.