En z-score (eller standardscore) måler, hvor mange standardafvigelser et datapunkt er fra middelværdien. Det konverterer råscore til en standardiseret skala, der muliggør sammenligning på tværs af forskellige datasæt.
Z-Score-formlen
z = (x − μ) ÷ σ
Hvor:
- x = individuelt datapunkt
- μ (mu) = befolkningsmiddelværdi
- σ (sigma) = populationsstandardafvigelse
For en prøve erstattes μ med x̄ (prøvegennemsnit) og σ med s (prøve SD).
Bearbejdet eksempel
En studerende scorer 72 på en eksamen. Klassegennemsnittet er 65, og standardafvigelsen er 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Denne elev scorede 0,875 standardafvigelser over gennemsnittet.
Fortolkning af Z-scores
| Z-score | Fortolkning | Percentil (ca.) |
|---|---|---|
| −3 | Ekstremt under gennemsnittet | 0.1% |
| −2 | Et godt stykke under gennemsnittet | 2.3% |
| −1 | Under gennemsnittet | 15.9% |
| 0 | I gennemsnit | 50.0% |
| +1 | Over gennemsnittet | 84.1% |
| +2 | Et godt stykke over gennemsnittet | 97.7% |
| +3 | Ekstremt over gennemsnittet | 99.9% |
68-95-99.7-reglen
I en normalfordeling:
- 68 % af data falder inden for ±1 standardafvigelse
- 95% inden for ±2 standardafvigelser
- 99,7% inden for ±3 standardafvigelser
Konvertering af Z-Score til Percentil
Når du har en z-score, skal du slå standard normaltabellen (Z-tabel) op eller bruge:
Percentile = Φ(z) × 100
Hvor Φ er den kumulative normalfordelingsfunktion.
Eksempel: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3. percentil
Anvendelser af Z-Scores
Finansiere:
- Altman Z-Score forudsiger konkursrisiko
- Anvendes i risikostyring til at identificere outliers
Sundhedspleje:
- BMI for alder z-score for børn
- Knogledensitet (DXA) T-score er en form for z-score
Kvalitetskontrol:
- Six Sigma bruger z-scores til at måle proceskapacitet
- En "6-sigma"-proces har en z-score på 6 (3,4 defekter pr. million)
Standardisering af testresultater:
- IQ-score: gennemsnit 100, SD 15 (en z-score på +2 → IQ 130)
- SAT-score: gennemsnitlig 1000, SD 200 (skaleret fra z-score)
Sammenligning af resultater på tværs af forskellige tests
Eksempel: Alice scorede 80 i test A (gennemsnit 70, SD 10). Bob scorede 55 på test B (gennemsnit 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
På trods af den lavere råscore præsterede Bob bedre i forhold til sine jævnaldrende.