Was ist Kelly Criterion Calculator?
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Das Kelly-Kriterium ist eine mathematische Formel, die den optimalen Anteil eines Guthabens oder Portfolios bestimmt, der einer günstigen Wette oder Investition zugewiesen werden kann, um das langfristige logarithmische Vermögenswachstum zu maximieren. Die Kelly-Formel wurde 1956 von John L. Kelly Jr. in den Bell Labs im Kontext der Informationstheorie entwickelt und unabhängig auf Glücksspiele und Investitionen angewendet. Sie erzeugt die höchste langfristige zusammengesetzte Wachstumsrate unter allen Wettstrategien mit festen Bruchteilen und stellt gleichzeitig sicher, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ruins theoretisch Null ist (bei kontinuierlichen Wetten auf günstige Quoten). Für eine einfache binäre Wette mit der Gewinnwahrscheinlichkeit p (und der Wahrscheinlichkeit q = 1−p des Verlierens), bei der ein Gewinn die Quote b auszahlt (gewinnen Sie b Dollar für jeden Dollar Einsatz), ist der optimale Kelly-Anteil: f* = (bp − q) / b = p − q/b. Dieser Bruchteil ist der erwartete Wert der Wette, ausgedrückt als Bruchteil des Guthabens. Ein Einsatz von mehr als f* (Überwetten) reduziert das Gesamtwachstum und erhöht das Ruinrisiko; Wetten auf weniger als f* (Unterwetten) sind sicher, aber aus langfristiger Wachstumsperspektive suboptimal. Für kontinuierliche Investitionen (Aktien, Portfolios) erweitert sich die Kelly-Formel zu: f* = (μ − r) / σ², wobei μ die erwartete Rendite, r der risikofreie Zinssatz und σ² die Renditevarianz ist. Dieses Ergebnis steht in direktem Zusammenhang mit der Sharpe-Ratio: f* = Sharpe-Ratio / σ, was bedeutet, dass der optimale Kelly-Hebel die Sharpe-Ratio dividiert durch die Volatilität ist. Für ein typisches diversifiziertes Aktienportfolio mit Sharpe=0,5 und σ=15 % schlägt Kelly eine Allokation von 0,5/0,15 = 333 % vor – weit über 100 %, was auf eine theoretische Hebelwirkung hinweist. In der Praxis wird der vollständige Kelly-Anteil selten verwendet, weil: (1) reale Kanten- und Wahrscheinlichkeitsschätzungen erhebliche Unsicherheiten enthalten, wodurch die wahre Kante kleiner als geschätzt ist (ein gebrochener Kelly-Anteil von 25–50 % ist üblich); (2) Ein vollständiger Kelly-Anteil führt zu erheblichen Verlusten – der erwartete maximale Rückgang vor der Verdoppelung beträgt etwa 50 % des Vermögens; (3) Die meisten Anleger verfügen über Nutzenfunktionen, die große Verluste stärker bestrafen, als der logarithmische Nutzen impliziert. Half-Kelly- oder Quarter-Kelly-Strategien erreichen 75 % oder 50 % der langfristigen Wachstumsrate von Kelly und reduzieren gleichzeitig drastisch den Drawdown und die Varianz der Ergebnisse. Das Kelly-Kriterium wird häufig in den Bereichen Sportwetten, Poker (professionelle Spieler verwenden es ausdrücklich für die Verwaltung des Bankkontos), Rohstoffhandel und quantitatives Investmentmanagement verwendet. Die legendären Investoren Warren Buffett und Charlie Munger haben Anlageansätze beschrieben, die den Kelly-Prinzipien entsprechen, und das Kriterium liegt Edward Thorps Pionierarbeit sowohl im Blackjack-Kartenzählen als auch im quantitativen Hedgefonds-Management zugrunde.
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Formel
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Kelly-Bruch (binär): f* = (b×p − q) / b = p − (1−p)/b
Kelly-Bruch (kontinuierlich): f* = (μ − r) / σ²
Wachstumsrate: g = p × ln(1 + b×f*) + (1−p) × ln(1 − f*)Variablenbeschreibung
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| Symbol | Name | Einheit | Beschreibung |
|---|---|---|---|
| f* | Kelly-Fraktion | % | Optimaler Anteil des Guthabens zum Wetten oder Investieren; maximiert das langfristige logarithmische Vermögenswachstum. |
| p | Gewinnwahrscheinlichkeit | % | Geschätzte Wahrscheinlichkeit eines günstigen Ergebnisses; muss die Break-Even-Wahrscheinlichkeit (1/(1+b)) für eine positive Flanke überschreiten. |
| b | Netto-Quotenverhältnis | ratio | Nettogewinne pro eingesetzter Einheit bei Gewinn: Wenn Sie 3 $ pro 1 $ Einsatz gewinnen, ist b=3. Muss für eine mögliche Wette positiv sein. |
| EV | Erwarteter Wert | USD | Erwarteter Gewinn pro Einheit: EV = (p × b) − (1−p). Ein positiver EV ist notwendig (aber nicht ausreichend), damit Kelly eine Wette empfehlen kann. |
| g | Wachstumsrate | %/round | Langfristige zusammengesetzte Wachstumsrate pro Einsatzrunde bei Kelly-Bruch: g = p × ln(1+b×f*) + (1−p) × ln(1−f*). |
Anleitung Kelly Criterion Calculator
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- 1Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit p eines günstigen Ergebnisses (aus historischen Daten, Modell oder Kantenanalyse).
- 2Bestimmen Sie die Quote b: Nettogewinn pro eingesetzter Einheit im Erfolgsfall.
- 3Überprüfen Sie den positiven Erwartungswert: EV = b×p − (1−p) > 0. Wenn EV ≤ 0, nicht wetten (f* ≤ 0 bedeutet, dass Kelly keinen Einsatz empfiehlt).
- 4Berechnen Sie den Kelly-Anteil: f* = (b×p − (1−p)) / b.
- 5Wenden Sie bei Bedarf eine fraktionierte Kelly-Methode an: typischerweise f = 0,25 × f* bis 0,5 × f* für ein konservativeres Kapitalmanagement.
- 6Größe des Einsatzes: Einsatzbetrag = f* × Gesamtbankroll.
- 7Berechnen Sie nach jeder Wette neu, wenn sich die Höhe Ihres Guthabens ändert – Kelly ist eine dynamische Strategie, bei der die Wetten proportional zum aktuellen Vermögen sind.
Gelöste Beispiele
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Nur 10 % des Guthabens trotz 55 % Gewinnquote – Kelly ist konservativ
f* = (1,0 × 0,55 − 0,45) / 1,0 = (0,55 − 0,45) = 0,10 = 10 %. Einsatzbetrag = 10 % × 10.000 $ = 1.000 $. Erwarteter Wert pro Wette = (0,55 × 1.000 $) − (0,45 × 1.000 $) = 550 $ − 450 $ = 100 $. Dieser relativ kleine Anteil (10 %) trotz eines scheinbar großen Vorsprungs (55 % gegenüber fairen 50 %) spiegelt Kellys Konservatismus wider. Der Einsatz der gesamten 10.000 $ (100 %) würde den erwarteten Wert pro Wette maximieren, birgt aber das Risiko des Ruins – eine Serie von 10 aufeinanderfolgenden Verlusten (Wahrscheinlichkeit ≈ 0,3 %) würde das Guthaben zerstören. Kellys Anteil von 10 % sorgt für ein optimales langfristiges Wachstum und macht gleichzeitig einen Ruin außerordentlich unwahrscheinlich.
Eine hohe Varianz beim Poker erfordert viele Buy-Ins, auch wenn der Vorteil positiv ist
Beim Poker gilt die Kelly-bezogene Formel für das Ruinrisiko: P(Ruin) = e^(−2×W×B/V), wobei W=Gewinnrate pro Hand, B=Bankroll in Big Blinds, V=Varianz pro Hand. Mit einer Gewinnrate von 55bb/100 = 0,55bb/Hand, Varianz = 100²/100 = 100 bb²/Hand und einer Bankroll B = 30 Buy-Ins × 100bb = 3.000bb: P(Ruin) = e^(−2×0,0055×3000/100) = e^(−0,33) = 72 % – schrecklich! Professionelle Pokerspieler verwenden mindestens 30–50 Buy-Ins. Bei 50 Buy-Ins (5.000 BB): P(Ruin) = e^(−0,55) = 58 % – immer noch hoch. Die Kelly-Analyse zeigt, dass die hohe Varianz beim Poker selbst für erfolgreiche Spieler ein sehr hohes Guthaben erfordert.
Full Kelly ist äußerst aggressiv; Die meisten Ärzte verwenden 25–50 % Kelly
f* = (μ − r) / σ² = (0,10 − 0,05) / (0,20²) = 0,05 / 0,04 = 1,25 = 125 %. Full Kelly empfiehlt eine Aktienallokation von 125 % (25 % zur Investition leihen). Dies ist der optimale Portfolioanteil von Merton unter logarithmischem Nutzen. In der Praxis sind das tatsächliche Sharpe-Verhältnis und σ unsicher (Schätzfehler), sodass die tatsächliche Kante geringer ist als geschätzt. Die Verwendung eines Halb-Kelly-Anteils von 62,5 % würde etwa 75 % der maximalen Wachstumsrate erreichen und gleichzeitig das Drawdown-Risiko drastisch reduzieren. Professionelle Quant-Fonds verwenden typischerweise 20–50 % des theoretischen Kelly, um die Schätzungsunsicherheit zu berücksichtigen.
Multi-Asset-Kelly verwendet Matrixoperationen für die Kovarianzmatrix
Multi-Asset-Kelly: f* = Σ⁻¹ × α (Alpha-Vektor), wobei Σ die Kovarianzmatrix und α der Vektor der Überschussrenditen ist. Vermögenswert A hat einen Sharpe-Wert von 1,0 und ein relativ geringes Volumen – Kelly weist eine hohe Allokation auf. Asset B hat einen niedrigeren Sharpe und ein höheres Volumen – eine geringere Kelly-Allokation. Die positive Korrelation verringert die Gesamtportfolioallokation im Vergleich zum unkorrelierten Fall (wobei f_total = 55 % + 25 % = 80 %). Praktische Umsetzungsrunden und Einschränkungen: Long-Only-Fonds würden nach der Normalisierung etwa 80 % A und 20 % B auf Portfolioebene allokieren. Das Multi-Asset Kelly maximiert die langfristige Wachstumsrate des Portfolios durch die gemeinsame Renditeverteilung.
Praktische Anwendungen
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Verwaltung des Sportwetten-Guthabens für professionelle Wettende
Auswahl der Einsätze der Pokerspieler und Verwaltung ihrer Bankroll
Quantitative Hedgefonds-Positionsgrößenmodelle
Aufteilung des Risikokapitalportfolios auf verschiedene Investitionsmöglichkeiten
Kapitalallokation des Handelsalgorithmus über gleichzeitige Strategien hinweg
Sonderfälle
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In der Praxis muss dieser Randfall sorgfältig geprüft werden, da Standardannahmen möglicherweise nicht zutreffen. Wenn dieses Szenario bei Berechnungen mit dem Kelly-Kriteriumsrechner auftritt, sollten Praktiker die Randbedingungen überprüfen, auf Division-durch-Null-Risiken prüfen und prüfen, ob die Annahmen des Modells unter diesen extremen Bedingungen gültig bleiben.
In der Praxis muss dieser Randfall sorgfältig geprüft werden, da Standardannahmen möglicherweise nicht zutreffen. Wenn dieses Szenario bei Berechnungen mit dem Kelly-Kriteriumsrechner auftritt, sollten Praktiker die Randbedingungen überprüfen, auf Division-durch-Null-Risiken prüfen und prüfen, ob die Annahmen des Modells unter diesen extremen Bedingungen gültig bleiben.
In der Praxis muss dieser Randfall sorgfältig geprüft werden, da Standardannahmen möglicherweise nicht zutreffen. Wenn dieses Szenario bei Berechnungen mit dem Kelly-Kriteriumsrechner auftritt, sollten Praktiker die Randbedingungen überprüfen, auf Division-durch-Null-Risiken prüfen und prüfen, ob die Annahmen des Modells unter diesen extremen Bedingungen gültig bleiben.
Kelly-Fraktion vs. Kompromiss zwischen langfristiger Wachstumsrate
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| Kelly Multiple | Wachstumsrate (% von Kelly) | Schweregrad des Drawdowns | Typischer Benutzer |
|---|---|---|---|
| Voller Kelly (1,0×) | 100 % | Schwerwiegend (~50 % erwartete maximale DD) | Theoretisch optimal |
| Halber Kelly (0,5×) | 75% | Mäßig (~25 % max. DD) | Aggressive Quant-Fonds |
| Quarter Kelly (0,25×) | 44% | Mild (~12 % max. DD) | Konservative Praktiker |
| 10. Kelly (0,1×) | 19% | Sehr niedrig (~5 % max. DD) | Risikoaverses Risikomanagement |
| 2× Kelly (Überwetten) | 0% | Extrem – Tendenz zum Ruin | Gefahrenbereich – meiden |
| 3× Kelly (Überwetten) | Negativ | Nahezu sichere endgültige Ruine | Katastrophal |
Häufig gestellte Fragen
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Warum wird Full Kelly in der Praxis selten verwendet?
Full Kelly maximiert das langfristige logarithmische Wachstum, führt jedoch zu einer sehr aggressiven Positionsgröße und starken Drawdowns. Der erwartete maximale Verlust, bevor sich das Vermögen verdoppelt, beträgt etwa 50 % des aktuellen Vermögens – das heißt, Sie sollten damit rechnen, irgendwann die Hälfte Ihres Geldes zu verlieren, bevor es zu einer Verdoppelung kommt. Die meisten Anleger haben Nutzenfunktionen, die risikoaverser sind als logarithmische Funktionen, wodurch große Verluste stärker bestraft werden. Darüber hinaus sind reale Vorteilsschätzungen ungewiss – wenn Ihr wahrer Vorteil die Hälfte Ihres geschätzten Vorteils beträgt, wird der vollständige Kelly zu einem erheblichen Overbetting. Half-Kelly erreicht etwa 75 % der Wachstumsrate von Kelly bei viel geringerer Varianz und maximalem Drawdown. Professionelle Quant-Fonds verwenden typischerweise 20–50 % von Kelly.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Kelly-Kriterium und der Sharpe-Ratio?
Für eine kontinuierliche Investition mit normalverteilten Renditen beträgt der optimale Kelly-Hebel: f* = Sharpe Ratio / σ = (μ − r) / σ². Dies bedeutet, dass der Kelly-Anteil mit der Sharpe-Ratio zunimmt (höhere Kante rechtfertigt mehr Größe) und mit der Volatilität abnimmt (höhere Volatilität bedeutet mehr Varianzrisiko). Die maximale langfristige Wachstumsrate (Kelly-Wachstum) entspricht dem risikofreien Zinssatz plus (Sharpe²)/2 – das Kelly-Wachstum ist also direkt proportional zum Quadrat der Sharpe-Ratio. Aufgrund dieser Beziehung ist die Sharpe-Ratio die wichtigste Kennzahl für Kelly-optimale Anleger: Eine Strategie mit der doppelten Sharpe-Ratio erzielt das Vierfache der inkrementellen Wachstumsrate.
Kann das Kelly-Kriterium zum Ruin führen?
Theoretisch hat das Kelly-Kriterium für eine günstige Wette mit kontinuierlich positiven Wahrscheinlichkeitsergebnissen auf lange Sicht keine Wahrscheinlichkeit, dass es scheitert (die geometrische Zufallswanderung konvergiert fast sicher gegen Unendlich). In der Praxis besteht jedoch ein Ruinrisiko aufgrund von: (1) diskreten (nicht unendlich teilbaren) Wetten, die relativ gesehen den Kelly-Anteil übersteigen können; (2) Modellfehler – die wahre Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeit kann ungünstiger sein als geschätzt; (3) Streak-Risiko – bei vollem Kelly verursachen lange Verluststrähnen auch ohne Ruin extreme Drawdowns; (4) Hebelwirkung – wenn der Kelly-Anteil 100 % übersteigt (wie bei Börsenanwendungen), schaffen geliehene Mittel eine endliche Möglichkeit des Ruins. Zur Bewältigung all dieser Risiken werden in der Praxis fraktionierte Kelly-Strategien bevorzugt.
Wie geht das Kelly-Kriterium mit korrelierten Wetten um?
Bei einer Einzelwette ist Kelly unkompliziert. Für ein Portfolio gleichzeitig aktiver Wetten oder Investitionen verwendet der Multi-Asset-Kelly die Matrixalgebra: f* = Σ⁻¹ × α, wobei Σ die Kovarianzmatrix der Renditen und α der Vektor der erwarteten Überrenditen ist. Positiv korrelierte Wetten reduzieren die gesamte Kelly-Allokation im Vergleich zu nicht korrelierten Wetten – der Portfoliomanager sollte die Größe reduzieren, wenn Wetten korreliert sind, da die Korrelation das Drawdown-Risiko erhöht. Negativ korrelierte Wetten ermöglichen eine größere Gesamtzuteilung. Dies ist die mathematische Grundlage dafür, warum Diversifikation (negative/geringe Korrelation zwischen Positionen) einen höheren Gesamtkapitaleinsatz ohne Einbußen bei der Sicherheit ermöglicht.
Was ist die „Fractional Kelly“-Strategie?
Fractional Kelly setzt einen festen Bruchteil des gesamten Kelly-Betrags – normalerweise 25 % (Viertel-Kelly) bis 50 % (Halb-Kelly). Half-Kelly erreicht ungefähr 75 % der maximalen langfristigen Wachstumsrate und gleichzeitig: (1) die Portfoliovarianz auf 25 % der Kelly-Varianz reduziert; (2) Halbierung des maximal erwarteten Drawdowns; (3) Bereitstellung eines erheblichen Puffers gegen Schätzungsfehler in Bezug auf Kante und Wahrscheinlichkeit. Die Beziehung ist quadratisch: Wetten auf Bruchteil c von Kelly erreichen c(2−c) Bruchteil von Kellys maximaler Wachstumsrate (immer weniger als 100 %), sodass der Wachstumsratennachteil einer Unterwette viel geringer ist als der Vorteil der Varianzreduzierung. Diese Asymmetrie erklärt, warum der Bruchteil-Kelly im Hinblick auf das praktische Risikomanagement den Voll-Kelly dominiert.
Wer nutzt das Kelly-Kriterium beruflich?
Das Kelly-Kriterium wurde explizit übernommen oder beeinflusste mehrere legendäre Investmentkarrieren. Edward Thorp – ein Mathematikprofessor, der das Kartenzählen beim Blackjack erfunden hat – wandte Kelly konsequent sowohl auf Glücksspiele (dokumentiert in „Beat the Dealer“) als auch auf seinen Hedgefonds Princeton/Newport Partners an, den er 19 Jahre lang mit außergewöhnlichen risikobereinigten Renditen leitete. Warren Buffetts konzentrierte Positionsgrößenphilosophie spiegelt Kellys Denkweise wider: Machen Sie große Einsätze, wenn Sie stark überzeugt sind und einen echten Vorsprung haben. Professionelle Sportwettende und Pokerspieler nutzen Kelly explizit zur Bankrollverwaltung. Quantitative Hedgefonds wie Renaissance Technologies verwenden in ihren systematischen Handelsstrategien implizit Kelly-bezogene optimale Fraktionskonzepte.
Was ist die Gefahr des „Überbettens“ bei Kelly?
Übermäßige Wetten – Wetten auf mehr als den Kelly-Anteil – sind sowohl aus der Wachstumsrate als auch aus der Perspektive der Ruinwahrscheinlichkeit schlimmer als zu niedrige Wetten. Bei genau 2× Kelly (doppelter Kelly) sinkt die langfristige Wachstumsrate auf Null – der Kontowert schwankt um ein Niveau, ohne zu wachsen. Über 2× Kelly hinaus wird die Wachstumsrate negativ – das Konto wird mit ziemlicher Sicherheit irgendwann jeglichen Wert verlieren. Diese starke Asymmetrie (Unterwetten ist lediglich suboptimal, Überbetten kann katastrophale Folgen haben) macht Kelly zu einer wichtigen Obergrenze für die Positionsgröße. Wenn in der Praxis ein Modell einen Kelly-Anteil nahe bei oder über 100 % vorschlägt, sollten Sie dies aufgrund des erhöhten Overbeting-Risikos als Signal für die aggressive Anwendung eines anteiligen Kelly-Faktors betrachten.
Häufige Fehler vermeiden
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- !Verwenden Sie die vollständige Kelly-Methode ohne Berücksichtigung der Schätzunsicherheit in Bezug auf Kante und Wahrscheinlichkeit – wenden Sie in realen Anwendungen immer die gebrochene Kelly-Methode (25–50 %) an.
- !Ignorieren der Korrelationsstruktur bei der Größenbestimmung mehrerer gleichzeitiger Positionen – korrelierte Wetten erfordern reduzierte einzelne Kelly-Bruchteile.
- !Anwendung von Kelly auf Wetten mit negativem Erwartungswert – Kelly erzeugt in diesen Fällen korrekt f* ≤ 0 (keine Wette).
- !Behandeln Sie Kelly als eine Regel mit fester Einsatzgröße – sie sollte jedes Mal auf das aktuelle Vermögen angewendet werden, wobei die Einsätze proportional kleiner werden, wenn das Vermögen sinkt.
- !Unter der Annahme, dass Kelly die maximal erwartete Dollarrendite erzielt, maximiert es das logarithmische (geometrische) Wachstum, nicht die arithmetische erwartete Rendite.
Profi-Tipp
Führen Sie eine Monte-Carlo-Simulation von 1.000 Pfaden über 100 Wetten mit vollem Kelly, halbem Kelly und viertel Kelly durch. Die Verteilung der Endvermögensergebnisse zeigt visuell sowohl die überlegene zentrale Tendenz von Kelly als auch die katastrophale Kehrseite des Überwettens – weitaus überzeugender als Formeln allein.
Wussten Sie?
John Kelly Jr. veröffentlichte sein Kriterium 1956 in einem Aufsatz im Bell System Technical Journal mit dem Titel „A New Interpretation of Information Rate“ und formulierte das Ergebnis im Hinblick auf Informationstheorie und Kommunikationskanalkapazität – nicht auf Glücksspiel. Glücksspiel wurde in der Zeitung überhaupt nicht erwähnt. Ed Thorp erkannte seine Anwendung auf Blackjack und später auf den Aktienmarkt und übertrug Kelly effektiv von der Informationstheorie in die praktische Anlageverwaltung.
Referenzen
- ›Kelly, J.L. (1956): Eine neue Interpretation der Informationsrate, Bell System Technical Journal
- ›Thorp, E.O. (2006): Das Kelly-Kriterium bei Blackjack, Sportwetten und der Börse
- ›MacLean, Thorp & Ziemba: The Kelly Capital Growth Investment Criterion, World Scientific
- ›Investopedia: Definition des Kelly-Kriteriums
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