Die Standardabweichung ist das in der Statistik am häufigsten verwendete Maß für die Streuung. Hier erfahren Sie, wie weit die Werte um den Mittelwert verteilt sind. Dieser Leitfaden erklärt es anhand von Grundzügen anhand von praktischen Beispielen.

Was Ihnen die Standardabweichung sagt

Der Mittelwert gibt Ihnen die Mitte eines Datensatzes an. Die Standardabweichung gibt an, wie weit Werte normalerweise von diesem Mittelpunkt abweichen.

Geringe Standardabweichung → Werte gruppieren sich eng um den Mittelwert Hohe Standardabweichung → Werte weichen stark vom Mittelwert ab

Zwei Prüfungsklassen erreichen jeweils durchschnittlich 70 %, aber:

  • Klasse A: Werte von 68, 69, 70, 71, 72 – SD ≈ 1,4 (sehr konsistent)
  • Klasse B: Werte von 40, 55, 70, 85, 100 – SD ≈ 22,4 (sehr variabel)

Gleicher Mittelwert, sehr unterschiedliche Verteilungen.

Die Formel

Es gibt zwei Versionen, je nachdem, ob Sie die gesamte Grundgesamtheit oder eine Stichprobe haben.

Populationsstandardabweichung (σ)

Verwenden Sie diese Option, wenn Sie Daten für jedes Mitglied der Gruppe haben.

σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))

Beispiel-Standardabweichung(en)

Verwenden Sie diese Option, wenn es sich bei Ihren Daten um eine Stichprobe aus einer größeren Population handelt (der häufigste Fall).

s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )

Der Nenner ist n − 1 (nicht n), um die Verzerrung zu korrigieren, die durch die Schätzung eines Populationsparameters aus einer Stichprobe entsteht. Dies wird als Bessel-Korrektur bezeichnet.

Schritt-für-Schritt-Berechnung

Datensatz: Testergebnisse für 6 Schüler: 72, 85, 68, 91, 74, 80

Schritt 1: Ermitteln Sie den Mittelwert

x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33

Schritt 2: Finden Sie jede Abweichung vom Mittelwert

Punktzahl Abweichung (x − x̄) Quadratische Abweichung
72 −6,33 40.07
85 +6.67 44.49
68 −10,33 106.71
91 +12.67 160.53
74 −4,33 18.75
80 +1.67 2.79

Schritt 3: Summieren Sie die quadrierten Abweichungen

Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34

Schritt 4: Division durch n − 1 (Stichprobe)

(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67

Schritt 5: Ziehen Sie die Quadratwurzel

s = √(74.67) = 8.64

Die Standardabweichung beträgt 8,64 Punkte. Die typische Punktzahl eines Schülers liegt etwa 8–9 Punkte vom Klassendurchschnitt entfernt.

Die 68-95-99,7-Regel

Bei normalverteilten Daten (Glockenkurve) besteht ein vorhersehbarer Zusammenhang zwischen der Standardabweichung und der Streuung:

  • 68 % der Werte liegen innerhalb von 1 SD vom Mittelwert
  • 95 % der Werte liegen innerhalb von 2 SD vom Mittelwert
  • 99,7 % der Werte liegen innerhalb von 3 SD vom Mittelwert

Angewandt auf unser Beispiel (Mittelwert = 78,33, SD = 8,64):

  • 68 % der Ergebnisse: 78,33 ± 8,64 → 69,7 bis 86,97
  • 95 % der Ergebnisse: 78,33 ± 17,28 → 61,05 bis 95,61
  • 99,7 % der Ergebnisse: 78,33 ± 25,92 → 52,41 bis 104,25

Varianz vs. Standardabweichung

Varianz ist die quadrierte Standardabweichung: s² = 74,67 in unserem Beispiel.

Warum Standardabweichung statt Varianz verwenden?

  • Die Standardabweichung erfolgt in den gleichen Einheiten wie Ihre Daten (Punkte, Dollar, Meter).
  • Die Varianz wird in quadrierten Einheiten angegeben – praktisch schwieriger zu interpretieren
  • „Der durchschnittliche Punktestand weicht um 8,64 Punkte ab“ ist aussagekräftig; „Varianz betrug 74,67 Punkte²“ ist nicht der Fall

Anwendungen in der realen Welt

Finanzen: Eine Aktie mit einer Tagesrendite von durchschnittlich 0,05 % und einer Standardabweichung von 1,2 % ist viel riskanter als eine Aktie mit der gleichen durchschnittlichen Rendite und einer Standardabweichung von 0,3 %. Die Standardabweichung ist die Grundlage der Volatilitätsmessung.

Herstellung: Eine Fabrik, die Schrauben mit einem Zieldurchmesser von 10 mm und einem SD von 0,02 mm herstellt, ist weitaus konsistenter als eine Fabrik mit einem SD von 0,5 mm. Die Qualitätskontrolle basiert auf SD.

Medizin: Klinische Studien berichten über SD und Mittelwerte, um zu zeigen, wie konsistent eine Behandlung bei Patienten wirkte.

Wetter: „Durchschnittstemperatur 18 °C mit SD 4 °C“ verrät Ihnen weit mehr als nur den Durchschnitt – Sie wissen, was Sie einpacken müssen.

Z-Scores

Ein Z-Score wandelt jeden Wert in Standardabweichungseinheiten um und ermöglicht so den Vergleich zwischen verschiedenen Datensätzen:

z = /x - x̄s

Ein Schüler mit 91 Punkten in unserem Beispiel:

z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47

Dieser Wert liegt 1,47 Standardabweichungen über dem Mittelwert – besser als etwa 93 % der Klasse.

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