Η αναμενόμενη τιμή (EV) είναι ο σταθμισμένος κατά πιθανότητα μέσος όρος όλων των πιθανών αποτελεσμάτων. Σας λέει τι πρέπει να περιμένετε να λάβετε κατά μέσο όρο εάν επαναλάβετε ένα γεγονός πολλές φορές.

Η Φόρμουλα

E(X) = Σ (probability × value)

Άθροισμα όλων των ζευγαριών (πιθανότητα × αποτέλεσμα).

Απλό παράδειγμα: Στοίχημα αναστροφής νομίσματος

Μια δίκαιη ανατροπή νομίσματος:

  • Κεφάλια: κερδίστε £10
  • Ουρά: χάνετε 8 £
E(X) = (0.5 × 10) + (0.5 × −8)
E(X) = 5 + (−4) = £1

Ερμηνεία: Κατά μέσο όρο, κερδίζετε 1 £ ανά αναστροφή. Αυτό είναι ένα θετικό στοίχημα EV που αξίζει να παίρνετε επανειλημμένα.

Παράδειγμα: Ασφάλιση

Πρέπει να αγοράσετε ένα ασφαλιστήριο συμβόλαιο τηλεφώνου 200 £/έτος;

Υποθέτω:

  • 5% πιθανότητα βλάβης του τηλεφώνου (κόστος: 400 £ για επισκευή)
  • 95% πιθανότητα να μην υπάρξει ζημιά

Αναμενόμενο κόστος χωρίς ασφάλιση:

E(cost) = (0.05 × £400) + (0.95 × £0) = £20

Κόστος ασφάλισης: £200

Η ασφάλιση κοστίζει 200 ​​£ για αναμενόμενη ζημιά 20 £ — πληρώνετε 10× το αναμενόμενο κόστος. Μαθηματικά, η ασφάλιση είναι μια αρνητική απόφαση EV. Ωστόσο, η μείωση κινδύνου μπορεί να αξίζει το ασφάλιστρο εάν δεν μπορείτε να αντέξετε οικονομικά την απώλεια £400.

Τζόγος: The House Edge

Μια ευρωπαϊκή ρόδα ρουλέτας (37 αριθμοί, 0–36). Ποντάρετε 1 £ σε έναν μόνο αριθμό:

  • Νίκη: 1 ευκαιρία στις 37, πληρωμή = 36 £ (35:1 + το ποντάρισμά σας)
  • Ήττα: 36 ευκαιρίες σε 37
E(X) = (1/37 × 36) + (36/37 × −1)
E(X) = 0.973 − 0.973 = −0.027

Αναμενόμενη απώλεια = 0,027 £ ανά στοίχημα 1 £ = 2,7% πλεονέκτημα σπιτιού.

Πάνω από 1.000 περιστροφές 1 £ έκαστη:

Expected loss = 1,000 × 0.027 = £27

Λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων

Μια εταιρεία αποφασίζει εάν θα κυκλοφορήσει ένα προϊόν:

Αποτέλεσμα Πιθανότητα Κέρδη/Ζημιά
Ισχυρή επιτυχία 20% +500.000 £
Μέτρια επιτυχία 40% +100.000 £
Σπάστε ακόμη 25% £0
Αποτυχία 15% − 200.000 £ 
EV = (0.2 × 500,000) + (0.4 × 100,000) + (0.25 × 0) + (0.15 × −200,000)
EV = 100,000 + 40,000 + 0 − 30,000 = £110,000

Θετικό EV → προχωρήστε στο έργο.

Περιορισμοί Αναμενόμενης Αξίας

  • Η διακύμανση έχει σημασία: Μια πιθανότητα 50% να κερδίσετε 200 £ και ορισμένες 100 £ έχουν το ίδιο EV, αλλά πολύ διαφορετικά προφίλ κινδύνου
  • Μεμονωμένα γεγονότα: Το EV εγγυάται μόνο μέσες εκβάσεις σε πολλές επαναλήψεις
  • Χρησιμότητα έναντι χρημάτων: Οι άνθρωποι εκτιμούν τα χρήματα μη γραμμικά (αποστροφή κινδύνου). Το να χάσεις 1.000 £ βλάπτει περισσότερο από το να κερδίσεις 1.000 £.

EV στο Πόκερ

Το επαγγελματικό πόκερ περιλαμβάνει τον υπολογισμό των πιθανοτήτων pot και της αναμενόμενης αξίας για κάθε απόφαση. Εάν ένα στοίχημα έχει θετικό EV, θα πρέπει να γίνει ανεξάρτητα από το βραχυπρόθεσμο αποτέλεσμα.

EV = (probability of winning × pot size) − (probability of losing × bet size)