Qué es Bond Duration & Convexity?
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La duración y la convexidad son las dos medidas fundamentales de la sensibilidad de un bono a los cambios en las tasas de interés. Juntos permiten a los inversores estimar cuánto cambiará el precio de un bono cuando varían los rendimientos, lo que permite una gestión precisa del riesgo de tipos de interés en las carteras de renta fija. La duración tiene dos formas principales. La duración de Macaulay, introducida por Frederick Macaulay en 1938, es el tiempo promedio ponderado para recibir los flujos de efectivo del bono (pagos de cupones y principal), con ponderaciones proporcionales al valor presente de cada flujo de efectivo. Se expresa en años y representa el "tiempo de recuperación" efectivo de la inversión del bono. La duración Macaulay de un bono cupón cero es igual a su vencimiento ya que todo el flujo de efectivo se recibe al final; La duración Macaulay de un bono con cupón es más corta que el vencimiento porque los pagos de cupones provisionales reducen el tiempo de espera efectivo. La duración modificada convierte la duración de Macaulay en una medida directa de la sensibilidad al precio: estima el cambio porcentual en el precio del bono para un cambio del 1% (100 puntos básicos) en el rendimiento. Duración Modificada = Duración Macaulay / (1 + y/m), donde y es el rendimiento al vencimiento y m es el número de períodos de cupón por año. Por ejemplo, se espera que un bono con duración modificada de 7 baje aproximadamente un 7% en precio si los rendimientos aumentan 100 puntos básicos, o aumente un 7% si los rendimientos caen 100 puntos básicos. La convexidad es la medida de segundo orden de la sensibilidad al precio: captura la curvatura en la relación precio-rendimiento que la duración por sí sola pasa por alto. Dado que los precios y los rendimientos de los bonos tienen una relación convexa (curva) en lugar de lineal, la duración subestima las ganancias de precios cuando los rendimientos caen y sobreestima las caídas de precios cuando los rendimientos aumentan. Agregar el ajuste de convexidad produce una estimación del cambio de precios más precisa, especialmente para grandes movimientos de rendimiento. La convexidad positiva (característica de los bonos estándar) significa que el bono se beneficia de los movimientos de los tipos de interés en ambas direcciones en relación con la aproximación lineal de la duración. Los valores respaldados por hipotecas pueden exhibir una convexidad negativa cuando la caída de las tasas desencadena pagos anticipados. Estos conceptos son fundamentales para la inmunización de la cartera de bonos, las estrategias de inversión basada en pasivos (LDI) y la gestión de riesgos de renta fija en bancos, compañías de seguros y fondos de pensiones.
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Fórmula
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Duración modificada = Duración de Macaulay / (1 + año/m)
ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)²Leyenda de variables
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| Símbolo | Nombre | Unidad | Descripción |
|---|---|---|---|
| D_Mac | Duración de Macaulay | years | El tiempo promedio ponderado para recibir todos los flujos de efectivo, con ponderaciones iguales al valor presente de cada flujo de efectivo dividido por el precio total del bono. |
| D_mod | Duración modificada | years (% per 1% yield change) | El cambio porcentual aproximado del precio por cada cambio del 1% en el rendimiento: D_mod = D_Mac / (1 + y/m). |
| C | Convexidad | years squared | La medida de segundo orden de la sensibilidad al precio; captura la curvatura de la relación precio-rendimiento no capturada por la duración. |
| y | Rendimiento al vencimiento | % | El rendimiento actual del bono hasta el vencimiento, utilizado para descontar los flujos de efectivo y calcular la duración. |
| m | Frecuencia del cupón | payments per year | Número de pagos de cupones por año (por ejemplo, 2 para semestrales, 1 para anuales). |
| ΔP/P | Cambio de precio (%) | % | Cambio porcentual estimado en el precio del bono: ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)² |
Cómo Bond Duration & Convexity
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- 1Enumere todos los flujos de efectivo futuros del bono con su calendario: pagos de cupones (Cupón = Valor nominal × Tasa de cupón / m) en cada período y el reembolso del valor nominal al vencimiento.
- 2Descuente cada flujo de efectivo a su valor presente utilizando el rendimiento al vencimiento: PV_t = CF_t / (1 + y/m)^t, donde t es el número del período.
- 3Sume todos los valores presentes para obtener el precio del bono: P = Σ PV_t.
- 4Calcule la duración de Macaulay: D_Mac = Σ [t × PV_t] / P: el tiempo promedio ponderado (en períodos), luego divídalo por m para convertirlo a años.
- 5Calcular la duración modificada: D_mod = D_Mac / (1 + y/m). Ésta es la sensibilidad al precio de primer orden del bono: multiplíquela por −1 y el cambio de rendimiento para estimar el cambio porcentual del precio.
- 6Calcular la convexidad: C = [Σ t(t+1) × PV_t / (1+y/m)²] / (P × m²). Este término de segundo orden ajusta la estimación de duración por la curvatura de la curva precio-rendimiento.
- 7Para un cambio de rendimiento dado Δy: estime ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)². Para Δy pequeño (< 25 pb), el término de duración por sí solo suele ser suficiente; para cambios mayores, la convexidad se vuelve material.
Ejemplos resueltos
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Bono a la par: precio = $1,000. Un aumento del rendimiento de 100 pb → aprox. -7,93% variación de precio.
Cuando la tasa de cupón de un bono es igual a su rendimiento al vencimiento, se negocia a la par ($1,000). La duración de Macaulay de 8,11 años refleja el tiempo promedio ponderado para recibir flujos de efectivo a lo largo de 10 años de cupones semestrales más el capital final. La duración modificada de 7,93 significa que el bono pierde aproximadamente un 7,93% en precio por cada aumento del 1% en los rendimientos. Para un aumento del rendimiento de 100 puntos básicos: ΔP/P ≈ −7,93% × 1% + 0,5 × 79,5 × (0,01)² ≈ −7,93% + 0,40% = −7,53%, lo que muestra cómo la convexidad compensa parcialmente la caída de la duración.
Cupón cero: la duración es igual al vencimiento. Duración más alta para un vencimiento determinado: máxima sensibilidad a la tasa.
Un bono de cupón cero no paga cupones provisionales: todo el flujo de efectivo llega al vencimiento. Por tanto, su Duración Macaulay es exactamente igual a su vencimiento (20 años). Con una duración modificada de 19,05, un aumento del rendimiento del 1% provoca una caída del precio de aproximadamente el 19,05%, lo que hace que este bono sea extremadamente sensible a los cambios en las tasas de interés. La muy alta convexidad de 399,7 proporciona una protección sustancial contra grandes movimientos de rendimiento, pero el bono sigue siendo el instrumento más sensible a las tasas de interés por su vencimiento. Los bonos cupón cero se utilizan ampliamente en estrategias de inversión basadas en pasivos para igualar con precisión los pasivos a largo plazo.
Cupón alto en relación con el rendimiento: cotiza por encima de la par (bono premium). Sensibilidad a baja frecuencia.
Con un cupón del 6% y un rendimiento del 5%, este bono cotiza por encima de la par (bono premium, precio ≈ $1.027,23). El cupón alto acelera la recepción de flujo de caja, reduciendo la duración de Macaulay a 2,74 años a pesar de un vencimiento de 3 años. La duración modificada de 2,67 significa solo un cambio de precio de 2,67% por cada movimiento de rendimiento de 1%, lo que hace que este bono sea mucho menos sensible a las tasas de interés que el bono del Tesoro a 10 años o el bono de cupón cero. Los bonos corporativos de corta duración se utilizan para reducir el riesgo de tasas de interés y al mismo tiempo generar diferenciales de crédito por encima de los rendimientos de los bonos gubernamentales.
La duración de la cartera es el promedio ponderado por el valor de las duraciones de los componentes.
Duración de la cartera = 0,40 × 4,3 + 0,60 × 11,2 = 1,72 + 6,72 = 8,44. Esta escalera de bonos que combina bonos a corto y largo plazo logra una duración intermedia de 8,44 años (similar a un bono del Tesoro a 10 años) sin tener un solo bono a 10 años. El escalonamiento proporciona beneficios de liquidez (los bonos vencen periódicamente) y permite fijar objetivos de duración precisos. Un administrador de cartera que apunte a una duración de 8,0 podría ajustar las ponderaciones entre el bono A y el bono B para lograr el objetivo exacto utilizando álgebra lineal simple.
Aplicaciones prácticas
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Inmunización de la cartera de bonos: igualar la duración de los activos con la duración de los pasivos para fondos de pensiones y compañías de seguros. Esta aplicación es comúnmente utilizada por profesionales que necesitan análisis cuantitativos precisos para respaldar la toma de decisiones, la elaboración de presupuestos y la planificación estratégica en sus respectivos campos.
Cobertura de tipos de interés: cálculo de ratios de cobertura de futuros del Tesoro o swaps de tipos de interés utilizando DV01. Los profesionales de la industria confían en este cálculo para comparar el desempeño, comparar alternativas y garantizar el cumplimiento de los estándares establecidos y los requisitos reglamentarios.
Gestión del riesgo de renta fija: cálculo de la duración de la cartera y límites DV01 para las mesas de negociación. Los investigadores académicos y los estudiantes utilizan este cálculo para validar modelos teóricos, completar tareas de curso y desarrollar una comprensión más profunda de los principios matemáticos subyacentes.
Construcción de estrategia de Inversión Impulsada por Pasivos (LDI) para activos de planes de pensiones de beneficio definido. Los analistas y planificadores financieros incorporan este cálculo en su flujo de trabajo para producir pronósticos precisos, evaluar escenarios de riesgo y presentar recomendaciones basadas en datos a las partes interesadas.
Capital regulatorio: cálculos de capital de riesgo de tasa de interés basados en la duración según los estándares Basilea III Pilar 1 e IRRBB. Esta aplicación es comúnmente utilizada por profesionales que necesitan análisis cuantitativos precisos para respaldar la toma de decisiones, la elaboración de presupuestos y la planificación estratégica en sus respectivos campos.
Casos especiales
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En la práctica, este caso extremo requiere una consideración cuidadosa porque los supuestos estándar pueden no ser válidos. Al encontrar este escenario en los cálculos de la calculadora de convexidad y duración de los bonos, los profesionales deben verificar las condiciones de contorno, comprobar los riesgos de división por cero y considerar si los supuestos del modelo siguen siendo válidos en estas condiciones extremas.
En la práctica, este caso extremo requiere una consideración cuidadosa porque los supuestos estándar pueden no ser válidos. Al encontrar este escenario en los cálculos de la calculadora de convexidad y duración de los bonos, los profesionales deben verificar las condiciones de contorno, comprobar los riesgos de división por cero y considerar si los supuestos del modelo siguen siendo válidos en estas condiciones extremas.
En la práctica, este caso extremo requiere una consideración cuidadosa porque los supuestos estándar pueden no ser válidos. Al encontrar este escenario en los cálculos de la calculadora de convexidad y duración de los bonos, los profesionales deben verificar las condiciones de contorno, comprobar los riesgos de división por cero y considerar si los supuestos del modelo siguen siendo válidos en estas condiciones extremas.
Duración típica y convexidad por tipo de bono (aproximado, entorno de tasas de 2024)
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| Tipo de bono | Madurez | Duración modificada | Convexidad | Sensibilidad del precio a +100 pb |
|---|---|---|---|---|
| Factura del Tesoro de 3 meses | 3 meses | 0.25 | 0.06 | −0,25% |
| Nota del Tesoro a 2 años | 2 años | 1.85 | 3.9 | −1,85% |
| Nota del Tesoro a 5 años | 5 años | 4.40 | 21.0 | −4,40% |
| Bono del Tesoro a 10 años | 10 años | 7.95 | 79.5 | −7,55% |
| Bono del Tesoro a 30 años | 30 años | 16.50 | 367.0 | −14,66% |
| Bono cupón cero a 10 años | 10 años | 9.52 | 98.0 | −9,05% |
| Bono corporativo IG (10 años) | 10 años | 7.40 | 72.0 | −7,04% |
| Bono de alto rendimiento (5 años) | 5 años | 3.80 | 16.5 | −3,61% |
| Transferencia de MBS | ~30 años nominales | 3,0 – 5,0 | Negativo | −3% a −5% |
Preguntas frecuentes
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¿Cuál es la diferencia práctica entre Macaulay y Duración Modificada?
La duración de Macaulay se expresa en años y representa el tiempo promedio ponderado para recibir los flujos de efectivo del bono; es una medida de tiempo, no directamente una medida de sensibilidad al precio. La duración modificada es la primera derivada del precio del bono con respecto al cambio de rendimiento (dividido por el precio) y mide directamente el cambio porcentual del precio para un cambio del 1% en el rendimiento. Para aplicaciones prácticas (estimar cuánto cambiará el valor de un bono cuando las tasas varían), la duración modificada es la medida relevante. La duración de Macaulay es más útil conceptualmente (comprender el momento de los flujos de efectivo) y para construir carteras inmunizadas (hacer coincidir la duración de los activos con la duración de los pasivos en años).
¿Por qué es importante la convexidad y cuándo se vuelve importante?
La convexidad captura la curvatura en la relación precio-rendimiento. La duración por sí sola proporciona una aproximación lineal de los cambios de precios, pero la curva precio-rendimiento real es convexa: se curva hacia arriba. Para cambios pequeños en el rendimiento (menos de 25 puntos básicos), la duración suele ser suficiente. Para movimientos de rendimiento mayores (50-200+ puntos básicos), la convexidad se vuelve cada vez más importante. Durante los dramáticos movimientos de las tasas de 2022 (la Reserva Federal aumentó las tasas en 425 puntos básicos en un año), los inversores con una convexidad calculada adecuadamente fueron mucho más precisos al estimar las pérdidas de cartera que aquellos que se basaban únicamente en la duración. Generalmente es deseable una mayor convexidad, ya que significa que el bono pierde menos cuando las tasas suben y gana más cuando las tasas bajan.
¿Qué es la convexidad negativa y qué enlaces la exhiben?
La mayoría de los bonos estándar tienen convexidad positiva: las ganancias de precios se aceleran cuando los rendimientos caen y las pérdidas de precios se desaceleran cuando los rendimientos aumentan. La convexidad negativa es lo contrario: las ganancias de precios se desaceleran cuando los rendimientos caen y las pérdidas de precios se aceleran cuando los rendimientos aumentan. Esto ocurre con los bonos rescatables (el emisor cancela el bono cuando las tasas bajan, limitando la apreciación de los precios) y los valores respaldados por hipotecas (los propietarios pagan por adelantado las hipotecas cuando las tasas bajan, acortando la duración del título justo cuando lo desean en largo). Los flotadores inversos también pueden presentar una convexidad negativa. Los valores con convexidad negativa suelen ofrecer rendimientos más altos para compensar a los inversores por esta característica desfavorable.
¿Cómo se utiliza la duración en la inmunización de la cartera de bonos?
La inmunización es la estrategia de hacer coincidir la duración de una cartera con la duración de sus pasivos objetivo, de modo que los cambios en las tasas de interés afecten tanto a los activos como a los pasivos por igual, sin modificar el superávit de financiamiento. Un fondo de pensiones con pasivos que tengan una duración efectiva de 12 años tendría como objetivo una cartera de bonos con una duración modificada de 12 años. Cuando las tasas aumentan, tanto el valor presente de los activos como el valor presente de los pasivos disminuyen proporcionalmente, dejando el índice de financiamiento aproximadamente sin cambios. La inmunización total también requiere una convexidad coincidente: si la convexidad de los activos excede la convexidad de los pasivos, la cartera está posicionada positivamente (ganancias por cualquier cambio en el rendimiento). Las estrategias de inversión impulsada por pasivos (LDI) utilizadas por los fondos de pensiones y las compañías de seguros se basan en este marco.
¿Qué es la duración en dólares (DV01) y cómo se utiliza?
La duración en dólares, comúnmente expresada como DV01 (valor en dólares de un punto básico) o PVBP (valor del precio de un punto básico), mide el cambio en el precio de un bono en términos de dólares para un cambio de 1 punto básico (0,01%) en el rendimiento. DV01 = Duración Modificada × Precio del Bono × 0,0001. Por ejemplo, un bono con una duración modificada de 8 y un precio de $1.000.000 tiene DV01 = 8 × $1.000.000 × 0,0001 = $800. DV01 es ampliamente utilizado por operadores de renta fija y administradores de carteras para dimensionar posiciones, calcular índices de cobertura y comunicar el riesgo en términos de dólares en lugar de porcentajes, lo cual es más intuitivo para carteras grandes y mesas de operaciones.
¿Cómo afecta la tasa del cupón a la duración?
Las tasas de cupón más altas producen duraciones más cortas, y las tasas de cupón más bajas (o cero) producen duraciones más largas, para bonos con el mismo vencimiento. Esto se debe a que cupones más altos significan que el inversor recibe una mayor proporción de los flujos de efectivo totales antes (como pagos de cupones provisionales), lo que reduce el tiempo promedio ponderado para recibir el flujo de efectivo (duración de Macaulay). Por lo tanto, un bono de alto cupón es menos sensible a las tasas de interés que un bono de bajo cupón del mismo vencimiento. Esta relación explica por qué los bonos cupón cero tienen la duración máxima posible (igual al vencimiento) para cualquier duración de vencimiento y nivel de rendimiento determinados.
¿Cómo afecta el nivel de rendimiento a la duración y la convexidad?
Tanto la duración como la convexidad son sensibles al nivel de rendimiento predominante. Cuando los rendimientos son bajos, la duración es generalmente mayor (porque las tasas de descuento son bajas, lo que hace que los flujos de efectivo distantes sean más valiosos) y la convexidad también es mayor. Cuando los rendimientos son altos, la duración es menor y la convexidad es menor. Esto es particularmente relevante en el entorno actual donde las tasas han aumentado significativamente desde niveles cercanos a cero: las carteras que parecían tener un alto riesgo de duración en 2020-2021 ahora tienen una duración efectiva más baja a niveles de rendimiento más altos. Esta dependencia del rendimiento significa que la duración debe recalcularse cada vez que los rendimientos varían significativamente, y las estimaciones estáticas de la duración pueden volverse obsoletas rápidamente en entornos de tasas volátiles.
Errores comunes a evitar
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- !Al confundir la duración de Macaulay (en años, basada en el tiempo) con la duración modificada (en años, pero en realidad es una medida de sensibilidad al precio), tienen diferentes interpretaciones y usos.
- !Haciendo caso omiso de la convexidad para grandes movimientos de rendimiento: para cambios de rendimiento superiores a 50 puntos básicos, el término de convexidad se vuelve material y debe incluirse en las estimaciones de cambio de precios.
- !Suponiendo que la duración es constante: la duración cambia a medida que varían los rendimientos, pasa el tiempo y se reciben flujos de efectivo; debe recalcularse periódicamente para realizar un seguimiento preciso del riesgo de la cartera.
- !Aplicación de la duración modificada a bonos con opciones integradas (amortizables, vendibles, respaldados por hipotecas): para estos valores se debe utilizar la duración ajustada por opciones (OAD) o la duración efectiva.
- !Utilizar únicamente la duración para comparar carteras de bonos con diferentes perfiles de convexidad: dos carteras con igual duración pero muy diferente convexidad tienen perfiles de riesgo significativamente diferentes en entornos de tasas no lineales.
Consejo Pro
Para una gestión práctica del riesgo de renta fija, utilice la duración en dólares (DV01) para comunicar el riesgo en términos monetarios en lugar de términos porcentuales. Una cartera con un DV01 de 5.000 dólares cambia su valor en 5.000 dólares por cada movimiento de punto básico en los rendimientos, algo inmediatamente interpretable por los traders, gestores de riesgos y gestores de cartera.
¿Sabías que?
El artículo de Frederick Macaulay de 1938 que presenta la duración de Macaulay fue parte de un estudio histórico encargado por la Oficina Nacional de Investigación Económica sobre las tasas de interés de Estados Unidos que abarca más de un siglo. El concepto de duración fue en gran medida ignorado durante casi tres décadas hasta que la teoría de la inmunización reavivó el interés en él durante los años 1960 y 1970.
Referencias
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