Qué es Portfolio Variance & Std Dev?
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La variación de la cartera mide el riesgo total de una combinación de inversiones al tener en cuenta no solo el riesgo individual de cada activo, sino también cómo se mueven entre sí. Cuando dos activos tienden a moverse en la misma dirección al mismo tiempo, combinarlos contribuye poco a reducir el riesgo. Pero cuando se mueven en direcciones opuestas (o incluso simplemente de manera diferente), mezclarlos crea una cartera que es menos volátil que cualquier componente individual. Este es el motor matemático detrás de la diversificación, y es la razón por la que tener una combinación de acciones, bonos, bienes raíces y materias primas puede reducir el riesgo general de la cartera sin necesariamente sacrificar el rendimiento. Esta idea fue formalizada por Harry Markowitz en su artículo de 1952 'Portfolio Selection', que le valió el Premio Nobel de Economía en 1990. Antes de Markowitz, los inversores se centraban casi por completo en elegir buenos valores individuales. Su idea era que la cartera en su conjunto importaba más que cualquier acción individual y que la correlación entre los activos era la clave para comprender el riesgo combinado. Su marco, ahora llamado Teoría Moderna de Carteras (MPT), introdujo el concepto de frontera eficiente: el conjunto de carteras que ofrecen el mayor rendimiento para cualquier nivel de riesgo determinado, o el riesgo más bajo para cualquier rendimiento determinado. En la práctica, la varianza de la cartera se calcula utilizando el peso de cada activo, su varianza individual (o desviación estándar) y las covarianzas por pares entre cada combinación de activos. Con dos activos es una fórmula sencilla; con veinte activos necesitas una matriz de covarianza de 20×20. El software moderno de optimización de carteras maneja esta álgebra matricial automáticamente, pero comprender la lógica subyacente (que reducir la correlación promedio por pares reduce la variación de la cartera) es esencial para cualquier inversor que desarrolle una estrategia de múltiples activos. La variación de la cartera también es fundamental para la presentación de informes de riesgos en la gestión profesional de inversiones. Los modelos de factores descomponen la variación de la cartera en contribuciones del riesgo de mercado, inclinaciones sectoriales, exposiciones de estilo y riesgo idiosincrásico, lo que permite a los administradores de cartera comprender exactamente de dónde proviene su riesgo y si están siendo compensados por ello.
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Fórmula
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Dos activos: σ²_p = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2·w₁·w₂·ρ₁₂·σ₁·σ₂
N-activo: σ²_p = Σᵢ Σⱼ wᵢ·wⱼ·σᵢⱼ (forma matricial: σ²_p = wᵀ·Σ·w)
Desv estándar de cartera (σ_p) = √σ²_p
Covarianza: σᵢⱼ = ρᵢⱼ·σᵢ·σⱼLeyenda de variables
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| Símbolo | Nombre | Unidad | Descripción |
|---|---|---|---|
| wᵢ | Peso del activo | decimal (0–1) | Proporción del valor de la cartera asignada al activo i; todos los pesos deben sumar 1 |
| σᵢ | Desviación estándar del activo | % per year | El parámetro σᵢ representa un dato cuantitativo clave en el cálculo de la varianza de la cartera, medido en su unidad estándar e influye directamente en el resultado calculado a través de la fórmula matemática. |
| ρᵢⱼ | Coeficiente de correlación | dimensionless (−1 to +1) | Correlación de Pearson entre los rendimientos de los activos i y j; −1 = perfecto negativo, 0 = no correlacionado, +1 = perfecto positivo |
| σᵢⱼ | Covarianza | % squared per year | Variabilidad conjunta de los activos i y j; es igual a ρᵢⱼ × σᵢ × σⱼ |
| Σ | Matriz de covarianza | matrix | Matriz simétrica N × N de todas las covarianzas por pares; el insumo principal para la optimización de la cartera |
Cómo Portfolio Variance & Std Dev
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- 1Enumere todos los activos de la cartera con su valor de mercado actual, luego calcule el peso de cada activo como su valor dividido por el valor total de la cartera.
- 2Reúna la desviación estándar anualizada (volatilidad) de cada activo, que generalmente se estima a partir de 3 a 5 años de rendimientos mensuales y luego se anualiza (multiplique σ mensual por √12).
- 3Construya la matriz de correlación por pares: para cada par de activos, calcule la correlación de su serie histórica de rendimiento. La mayoría de los programas de cartera u hojas de cálculo pueden calcular esto a partir de un historial de rentabilidad.
- 4Convierta correlaciones a covarianzas: σᵢⱼ = ρᵢⱼ × σᵢ × σⱼ para cada par.
- 5Para dos activos, aplique la fórmula directa. Para obtener más activos, calcule wᵀΣw mediante la multiplicación de matrices: este es el producto interno del vector de peso con la matriz de covarianza.
- 6Tome la raíz cuadrada de la varianza de la cartera para obtener la desviación estándar de la cartera (σ_p), la medida de riesgo más intuitiva expresada en términos porcentuales.
- 7Compare σ_p con el promedio ponderado de los valores de σ individuales (Σwᵢσᵢ). La diferencia es el beneficio de la diversificación: cuánto riesgo se evita al combinar activos en lugar de mantener cada uno por separado.
Ejemplos resueltos
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El promedio ponderado σ sería 0,60×18+0,40×6 = 13,2%; la cartera alcanza sólo el 10,5%, ahorrando un 2,7% del riesgo mediante la diversificación.
La correlación negativa entre acciones y bonos (los bonos a menudo suben cuando las acciones caen) es la fuente de la reducción del riesgo. Esta es la razón por la que la cartera 60/40 se convirtió durante décadas en la asignación equilibrada predeterminada para los fondos de pensiones y las dotaciones: captura los rendimientos de las acciones y al mismo tiempo amortigua significativamente la volatilidad.
Dos acciones del mismo sector tienen una correlación muy alta; la diversificación ahorra sólo ~1% del riesgo frente al promedio ponderado del 29%.
Cuando los activos están altamente correlacionados, combinarlos produce un beneficio de diversificación mínimo. Tener dos acciones tecnológicas no es muy diferente de tener una acción tecnológica del doble de tamaño. La verdadera diversificación requiere activos que respondan de manera diferente a las condiciones económicas, no sólo diferentes nombres de empresas en el mismo sector.
Agregar oro (correlación casi nula con ambos) reduce la volatilidad de la cartera más allá de la base de referencia 60/40.
La asignación del oro pone en juego su baja correlación tanto con las acciones como con los bonos. Aunque el oro en sí es volátil (15%), porque se mueve independientemente tanto de las acciones como de los bonos, su adición reduce la variación general de la cartera. Esto demuestra cómo la volatilidad de un activo individual importa menos que su correlación con el resto de la cartera.
En las crisis, las correlaciones entre activos aumentan hacia 1,0, eliminando la diversificación precisamente cuando más la necesita.
Ésta es la limitación más importante de la varianza de la cartera calculada a partir de datos del período normal: las correlaciones no son estables. Durante la crisis financiera de 2008 y la liquidación de marzo de 2020 por el COVID, casi todos los activos de riesgo cayeron simultáneamente cuando los inversores liquidaron todo para recaudar efectivo. Los modelos basados en correlaciones promedio de largo plazo subestimaron dramáticamente el riesgo durante estos episodios.
Aplicaciones prácticas
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Construir carteras eficientes de variación media y calcular la frontera eficiente, lo que representa un área de aplicación importante para la variación de cartera en contextos profesionales y analíticos donde los cálculos precisos de la variación de la cartera apoyan directamente la toma de decisiones informadas, la planificación estratégica y la optimización del rendimiento.
Descomposición y atribución de riesgos en la gestión de fondos institucionales, que representa un área de aplicación importante para la variación de cartera en contextos profesionales y analíticos donde los cálculos precisos de la variación de la cartera apoyan directamente la toma de decisiones informadas, la planificación estratégica y la optimización del rendimiento.
Modelado de capital regulatorio bajo Basilea III para bancos y Solvencia II para aseguradoras, lo que representa un área de aplicación importante para la variación de cartera en contextos profesionales y analíticos donde los cálculos precisos de la variación de la cartera apoyan directamente la toma de decisiones informadas, la planificación estratégica y la optimización del rendimiento.
Algoritmos de construcción de carteras de fondos con fecha objetivo y robo-advisor, que representan un área de aplicación importante para la variación de cartera en contextos profesionales y analíticos donde los cálculos precisos de la variación de la cartera apoyan directamente la toma de decisiones informadas, la planificación estratégica y la optimización del rendimiento.
Casos especiales
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Activos ilíquidos: fijación de precios poco frecuentes
{'title': 'Activos ilíquidos - fijación de precios infrecuentes', 'body': "Los activos cuyo precio se cotiza con poca frecuencia (capital privado, bienes raíces) muestran una correlación medida artificialmente baja con los mercados públicos porque sus valoraciones se retrasan. Este 'efecto suavizante' subestima la varianza y las correlaciones verdaderas. Los modelos que utilizan rendimientos basados en tasaciones para activos privados subestiman significativamente el riesgo real de la cartera y exageran los beneficios de la diversificación. Corrección de Dimson (1979) o las técnicas de no suavizado de retorno ayudan a adaptarse a esto."}
Colas gordas y rentabilidades anormales
{'title': 'Colas gruesas y rendimientos anormales', 'body': 'La variación estándar de la cartera supone rendimientos distribuidos normalmente. En realidad, los rendimientos de los activos tienen colas gruesas: los grandes movimientos ocurren con mucha más frecuencia de lo que predice una distribución normal. Durante la crisis de 2008, la crisis del COVID de 2020 y la liquidación de bonos de 2022, los rendimientos tuvieron entre 5 y 10 eventos de desviación estándar según los estándares de distribución normal. El déficit esperado (CVaR) y las pruebas de estrés complementan la varianza para capturar el riesgo de cola.'}
Error de estimación en matrices de covarianza
{'title': 'Error de estimación en matrices de covarianza', 'body': 'Las matrices de covarianza estimadas a partir de datos históricos son ruidosas, especialmente para carteras grandes. Con 50 activos, se estiman 1225 covarianzas, cada una de las cuales conlleva un error de estimación. Los optimizadores amplifican estos errores, produciendo carteras inestables con ponderaciones extremas. Los estimadores de contracción (Ledoit-Wolf), los modelos factoriales o los métodos de optimización robustos reducen la sensibilidad al error de estimación.'}
Desviación estándar de la cartera por correlación: división 50/50, σ₁=20%, σ₂=15%
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| Correlación (ρ) | Cartera σ | Riesgo versus promedio ponderado (17,5%) | Interpretación |
|---|---|---|---|
| −1,0 (perfecto negativo) | 2,5% | −15,0% | Máxima diversificación: riesgo casi nulo posible |
| −0,5 | 10,4% | −7,1% | Fuerte beneficio de diversificación |
| 0,0 (no correlacionado) | 12,5% | −5,0% | Buena diversificación: activos independientes |
| 0.5 | 14,4% | −3,1% | Beneficio moderado: activos en la misma dirección |
| 0.8 | 16,5% | −1,0% | Beneficio mínimo: altamente correlacionado |
| +1,0 (perfecto positivo) | 17,5% | 0% | Sin diversificación: idéntico al promedio ponderado |
Preguntas frecuentes
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¿Cómo calculo la variación de la cartera para dos activos?
Variación de la cartera = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂σ₁σ₂ρ₁₂, donde w = ponderación, σ = desviación estándar y ρ = coeficiente de correlación entre los dos activos. Ejemplo: Acción A (60 % de peso, 20 % de desarrollo estándar) y Acción B (40 % de peso, 15 % de desarrollo estándar) con correlación 0,3. Varianza = (0,6)²(0,20)² + (0,4)²(0,15)² + 2(0,6)(0,4)(0,20)(0,15)(0,3) = 0,0144 + 0,0036 + 0,00432 = 0,02232. Desv estándar de la cartera = √0,02232 = 14,94%. Tenga en cuenta que esto es menor que el promedio ponderado de ambos desarrolladores estándar individuales (18%): eso es diversificación en acción. Cuanto menor sea la correlación (ρ), mayor será la reducción de la varianza. En ρ = -1 (correlación negativa perfecta), teóricamente se pueden eliminar todos los riesgos.
¿Por qué la diversificación reduce la variación de la cartera?
Cuando los activos no están perfectamente correlacionados (ρ < 1), sus movimientos de precios se compensan parcialmente entre sí: cuando uno zigzaguea, el otro no siempre zigzaguea en la misma cantidad (o puede zigzaguear). Matemáticamente, el término cruzado 2w₁w₂σ₁σ₂ρ reduce la varianza total siempre que ρ < 1. Con ρ = 0 (activos no correlacionados), la varianza de la cartera es solo w₁²σ₁² + w₂²σ₂², que siempre es menor que la varianza promedio ponderada. Con ρ = -1, puedes encontrar pesos que hagan que la varianza sea cero. Rentabilidades decrecientes: la mayor parte del beneficio de la diversificación proviene de las primeras 15 a 30 posiciones no correlacionadas. Pasar de 1 a 10 acciones reduce drásticamente el riesgo específico de la cartera (~50-70%); pasar de 30 a 100 añade una mejora marginal. Es importante destacar que la diversificación sólo elimina el riesgo no sistemático (específico de la empresa). El riesgo sistemático (de mercado) permanece independientemente de cuántos activos tenga; esto lo captura la beta.
¿Cómo se calcula la variación de la cartera para más de dos activos?
Para una cartera con 'N' activos, el cálculo implica sumar las varianzas de los activos individuales ponderadas por sus ponderaciones de cartera al cuadrado, más el doble de la suma de todas las covarianzas únicas por pares entre activos, cada una multiplicada por sus respectivas ponderaciones de cartera. La fórmula general es Σ(wi²σi²) + Σ(2wiwjCov(i,j)) para todo i≠j, donde wi es el peso del activo i, σi² es su varianza y Cov(i,j) es la covarianza entre los activos i y j. Por ejemplo, una cartera de tres activos (A, B, C) incluye tres términos de varianza y tres términos de covarianza únicos (Cov(A,B), Cov(A,C), Cov(B,C)). A medida que aumenta la cantidad de activos, la cantidad de términos de covarianza requeridos crece cuadráticamente, lo que hace que el cálculo manual sea complejo.
¿Qué implican los valores altos o bajos de varianza de la cartera sobre el riesgo de inversión?
Una mayor variación de la cartera indica una mayor volatilidad e imprevisibilidad en los rendimientos de la cartera, lo que significa un mayor nivel de riesgo. Por el contrario, una menor variación de la cartera sugiere rendimientos más estables y predecibles, lo que implica un riesgo general reducido. Por ejemplo, una cartera con una varianza de 0,04 (desviación estándar del 20%) normalmente experimenta fluctuaciones mayores que una con una varianza de 0,01 (desviación estándar del 10%). Los inversores generalmente buscan minimizar la variación de la cartera para un rendimiento esperado determinado o maximizar el rendimiento para un nivel de variación específico.
¿Cuáles son las principales limitaciones de la variación de la cartera como medida de riesgo?
La varianza de la cartera mide principalmente la dispersión de los rendimientos alrededor de la media, asumiendo que los rendimientos se distribuyen normalmente, lo que a menudo no es cierto para los activos financieros del mundo real. No captura efectivamente el "riesgo de cola", que se refiere a la probabilidad y magnitud de eventos de mercado extremadamente negativos. Además, esta medida se basa en datos históricos de variaciones y covarianzas, que pueden no predecir con precisión el comportamiento futuro de los activos, especialmente durante períodos de tensión en el mercado o cambios significativos en el mercado.
Errores comunes a evitar
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- !Al utilizar las desviaciones estándar de los activos en porcentaje (por ejemplo, 20) en lugar de decimales (0,20), la fórmula requiere decimales y mezclarlos produce resultados sin sentido.
- !Ignorar la correlación y simplemente promediar las desviaciones estándar de los activos: esto sobreestima el riesgo de la cartera y pasa por alto el objetivo de la diversificación.
- !Suponiendo que las correlaciones históricas sean estables, las correlaciones cambian dramáticamente entre los regímenes normales y de crisis. Realice siempre pruebas de estrés con supuestos de correlación elevados.
- !Usar rendimientos mensuales sin anualizar: multiplicar la varianza mensual por 12 para obtener la varianza anual, o multiplicar la σ mensual por √12 para obtener la σ anual.
- !Al tratar una cartera de acciones del mismo sector como diversificada, las acciones del sector tienen correlaciones superiores a 0,7 y proporcionan una reducción mínima de la varianza.
Consejo Pro
Ejecute dos cálculos de varianza de cartera: uno usando correlaciones promedio a largo plazo (período normal) y otro usando correlaciones del período de crisis (suponga que todas las correlaciones de activos riesgosos aumentan a 0,80+). La brecha entre estos dos números es su "crédito de diversificación": la cantidad de reducción de riesgo que puede desaparecer en una crisis real. Dimensione su presupuesto de riesgo de manera conservadora frente al escenario de correlación de crisis.
¿Sabías que?
Según se informa, Harry Markowitz desarrolló su marco de variación de cartera como estudiante de doctorado en la década de 1950 mientras leía la "Teoría del valor de la inversión" de John Burr Williams en una biblioteca universitaria. Su idea –que los inversores deberían preocuparse por las carteras, no por las acciones individuales– llegó una tarde. En su discurso, ganador del Premio Nobel, se señaló que Milton Friedman inicialmente sugirió que el trabajo no era economía. Décadas después, la matriz de covarianza de Markowitz está integrada en todos los procesos de inversión institucional del mundo.
Referencias
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