Qué es Kelly Criterion Calculator?
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El Criterio de Kelly es una fórmula matemática que determina la fracción óptima de un fondo o cartera para asignar a una apuesta o inversión favorable con el fin de maximizar el crecimiento logarítmico de la riqueza a largo plazo. Desarrollada por John L. Kelly Jr. en Bell Labs en 1956 en el contexto de la teoría de la información y aplicada de forma independiente a los juegos de azar y las inversiones, la fórmula de Kelly produce la tasa de crecimiento compuesto a largo plazo más alta entre todas las estrategias de apuestas de fracciones fijas, al tiempo que garantiza que la probabilidad de ruina sea teóricamente cero (con apuestas continuas con probabilidades favorables). Para una apuesta binaria simple con probabilidad p de ganar (y probabilidad q = 1 − p de perder), donde una victoria paga probabilidades b (ganar b dólares por cada dólar apostado), la fracción de Kelly óptima es: f* = (bp − q) / b = p − q/b. Esta fracción es el valor esperado de la apuesta expresado como una fracción del bankroll. Apostar más de f* (sobreapostar) reduce el crecimiento compuesto y aumenta el riesgo de ruina; Apostar menos que f* (subapostar) es seguro, pero subóptimo desde una perspectiva de crecimiento a largo plazo. Para inversiones continuas (acciones, carteras), la fórmula de Kelly se extiende a: f* = (μ − r) / σ², donde μ es el rendimiento esperado, r es la tasa libre de riesgo y σ² es la varianza del rendimiento. Este resultado se conecta directamente con el índice de Sharpe: f* = índice de Sharpe / σ, lo que significa que el apalancamiento óptimo de Kelly es el índice de Sharpe dividido por la volatilidad. Para una cartera de acciones diversificada típica con Sharpe=0,5 y σ=15%, Kelly sugiere una asignación de 0,5/0,15 = 333%, muy por encima del 100%, lo que indica un apalancamiento teórico. En la práctica, la fracción de Kelly completa rara vez se utiliza porque: (1) las estimaciones de probabilidad y ventaja del mundo real contienen una incertidumbre significativa, lo que hace que la ventaja real sea más pequeña que la estimada (la fracción de Kelly del 25% al 50% es común); (2) el Kelly completo produce reducciones severas: la reducción máxima esperada antes de duplicarse es aproximadamente el 50% de la riqueza; (3) la mayoría de los inversores tienen funciones de utilidad que penalizan las grandes pérdidas más de lo que implica la utilidad logarítmica. Las estrategias de medio Kelly o cuarto de Kelly logran el 75% o el 50% de la tasa de crecimiento de largo plazo de Kelly y al mismo tiempo reducen drásticamente la reducción y la variación de los resultados. El Criterio de Kelly se utiliza ampliamente en las apuestas deportivas, el póquer (los jugadores profesionales lo utilizan explícitamente para la gestión de fondos), el comercio de materias primas y la gestión de inversiones cuantitativas. Los inversores legendarios Warren Buffett y Charlie Munger han descrito enfoques de inversión consistentes con los principios de Kelly, y el Criterio subyace al trabajo pionero de Edward Thorp tanto en el conteo de cartas de blackjack como en la gestión cuantitativa de fondos de cobertura.
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Fórmula
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Fracción de Kelly (binaria): f* = (b×p − q) / b = p − (1−p)/b
Fracción de Kelly (continua): f* = (μ − r) / σ²
Tasa de crecimiento: g = p × ln(1 + b×f*) + (1−p) × ln(1 − f*)Leyenda de variables
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| Símbolo | Nombre | Unidad | Descripción |
|---|---|---|---|
| f* | Fracción de Kelly | % | Fracción óptima de fondos para apostar o invertir; maximiza el crecimiento logarítmico de la riqueza a largo plazo. |
| p | Probabilidad de ganar | % | Probabilidad estimada de un resultado favorable; debe exceder la probabilidad de equilibrio (1/(1+b)) para una ventaja positiva. |
| b | Odds Ratio Neto | ratio | Ganancias netas por unidad apostada si gana: si gana $3 por cada $1 apostado, b=3. Debe ser positivo para una posible apuesta. |
| EV | Valor esperado | USD | Beneficio esperado por unidad: EV = (p × b) − (1−p). Un EV positivo es necesario (pero no suficiente) para que Kelly recomiende una apuesta. |
| g | Índice de crecimiento | %/round | Tasa de crecimiento compuesto a largo plazo por ronda de apuestas en la fracción de Kelly: g = p × ln(1+b×f*) + (1−p) × ln(1−f*). |
Cómo Kelly Criterion Calculator
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- 1Calcule la probabilidad p de un resultado favorable (a partir de datos históricos, modelos o análisis de bordes).
- 2Determine las probabilidades b: ganancias netas por unidad apostada en caso de éxito.
- 3Verifique el valor esperado positivo: EV = b×p − (1−p) > 0. Si EV ≤ 0, no apueste (f* ≤ 0 significa que Kelly no recomienda apostar).
- 4Calcular la fracción de Kelly: f* = (b×p − (1−p)) / b.
- 5Aplique Kelly fraccional si lo desea: normalmente f = 0,25 × f* a 0,5 × f* para una gestión de capital más conservadora.
- 6Tamaño de la apuesta: Monto de la apuesta = f* × Fondos totales.
- 7Vuelva a calcular después de cada apuesta a medida que cambie el tamaño de los fondos: Kelly es una estrategia dinámica con apuestas proporcionales a la riqueza actual.
Ejemplos resueltos
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Sólo el 10% de los fondos a pesar de una tasa de ganancia del 55%: Kelly es conservadora
f* = (1,0 × 0,55 − 0,45) / 1,0 = (0,55 − 0,45) = 0,10 = 10%. Monto de la apuesta = 10 % × $10 000 = $1000. Valor esperado por apuesta = (0,55 × $1000) − (0,45 × $1000) = $550 − $450 = $100. Esta fracción relativamente pequeña (10%) a pesar de una ventaja aparentemente grande (55% versus justo 50%) refleja el conservadurismo de Kelly. Apostar los 10.000 dólares completos (100%) maximizaría el valor esperado por apuesta, pero correría el riesgo de arruinarse: una racha de 10 pérdidas consecutivas (probabilidad ≈ 0,3%) acabaría con los fondos. La fracción del 10% de Kelly hace que el crecimiento a largo plazo sea óptimo y al mismo tiempo hace que la ruina sea extraordinariamente improbable.
La alta varianza del poker requiere muchas entradas incluso con ventaja positiva
En el póquer, la fórmula del riesgo de ruina relacionada con Kelly: P(ruina) = e^(−2×W×B/V), donde W=tasa de ganancias por mano, B=financiación en ciegas grandes, V=varianza por mano. Con una tasa de ganancias de 55bb/100 = 0,55bb/mano, varianza = 100²/100 = 100 bb²/mano y bankroll B = 30 buy-ins × 100bb = 3000bb: P(ruina) = e^(−2×0,0055×3000/100) = e^(−0,33) = 72%: ¡terrible! Los jugadores de póquer profesionales utilizan entre 30 y 50 entradas como mínimo. Con 50 buy-ins (5000bb): P(ruina) = e^(−0,55) = 58%, todavía alto. El análisis de Kelly revela que la alta varianza del póquer requiere fondos muy profundos incluso para los jugadores ganadores.
Full Kelly es extremadamente agresiva; la mayoría de los profesionales utilizan 25-50% de Kelly
f* = (μ − r) / σ² = (0,10 − 0,05) / (0,20²) = 0,05 / 0,04 = 1,25 = 125%. Full Kelly recomienda una asignación de capital del 125% (pedir prestado el 25% para invertir). Ésta es la fracción óptima de la cartera de Merton bajo utilidad logarítmica. En la práctica, la verdadera relación de Sharpe y σ son inciertas (error de estimación), por lo que la ventaja real es menor que la estimada. Utilizar una fracción de medio Kelly del 62,5% lograría aproximadamente el 75% de la tasa de crecimiento máxima y, al mismo tiempo, reduciría drásticamente el riesgo de caída. Los fondos cuantitativos profesionales suelen utilizar entre el 20% y el 50% del Kelly teórico para tener en cuenta la incertidumbre en las estimaciones.
Kelly de activos múltiples utiliza operaciones matriciales en la matriz de covarianza
Kelly multiactivo: f* = Σ⁻¹ × α (vector alfa), donde Σ es la matriz de covarianza y α es el vector de exceso de rentabilidad. El activo A tiene Sharpe 1.0 y una volatilidad relativamente baja: Kelly asigna mucho. El activo B tiene un Sharpe más bajo y un volumen más alto: una asignación de Kelly más pequeña. La correlación positiva reduce la asignación total de la cartera frente al caso no correlacionado (donde f_total = 55% + 25% = 80%). Rondas y limitaciones de implementación práctica: el fondo solo a largo plazo asignaría aproximadamente el 80% A, el 20% B a nivel de cartera después de la normalización. El Kelly de activos múltiples maximiza la tasa de crecimiento a largo plazo de la cartera dada la distribución conjunta de los rendimientos.
Aplicaciones prácticas
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Gestión del bankroll de apuestas deportivas para apostadores profesionales
Selección de apuestas de jugadores de póquer y gestión de fondos.
Modelos cuantitativos de dimensionamiento de posiciones de fondos de cobertura
Asignación de cartera de capital riesgo entre oportunidades de inversión
Asignación de capital del algoritmo comercial entre estrategias concurrentes
Casos especiales
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En la práctica, este caso extremo requiere una consideración cuidadosa porque los supuestos estándar pueden no ser válidos. Al encontrar este escenario en los cálculos de la calculadora del criterio de Kelly, los profesionales deben verificar las condiciones de contorno, comprobar los riesgos de división por cero y considerar si los supuestos del modelo siguen siendo válidos en estas condiciones extremas.
En la práctica, este caso extremo requiere una consideración cuidadosa porque los supuestos estándar pueden no ser válidos. Al encontrar este escenario en los cálculos de la calculadora del criterio de Kelly, los profesionales deben verificar las condiciones de contorno, comprobar los riesgos de división por cero y considerar si los supuestos del modelo siguen siendo válidos en estas condiciones extremas.
En la práctica, este caso extremo requiere una consideración cuidadosa porque los supuestos estándar pueden no ser válidos. Al encontrar este escenario en los cálculos de la calculadora del criterio de Kelly, los profesionales deben verificar las condiciones de contorno, comprobar los riesgos de división por cero y considerar si los supuestos del modelo siguen siendo válidos en estas condiciones extremas.
Compensación entre la fracción de Kelly y la tasa de crecimiento a largo plazo
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| Kelly múltiple | Tasa de crecimiento (% de Kelly) | Severidad de la reducción | Usuario típico |
|---|---|---|---|
| Kelly completo (1,0 ×) | 100% | Severo (~50 % del DD máximo esperado) | Óptimo teórico |
| Mitad Kelly (0,5×) | 75% | Moderado (~25% DD máx.) | Fondos cuantitativos agresivos |
| Cuarto de Kelly (0,25×) | 44% | Leve (~12% DD máx.) | Practicantes conservadores |
| Décimo Kelly (0,1 ×) | 19% | Muy bajo (~5% DD máx.) | Gestión de riesgos con aversión al riesgo |
| 2× Kelly (sobreapuestas) | 0% | Extremo: tendencia a la ruina | Zona de peligro: evitar |
| 3× Kelly (sobreapuestas) | Negativo | Ruina eventual casi segura | Catastrófico |
Preguntas frecuentes
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¿Por qué rara vez se utiliza Kelly completo en la práctica?
Full Kelly maximiza el crecimiento logarítmico de largo plazo pero produce un tamaño de posición muy agresivo y severas caídas. La reducción máxima esperada antes de que la riqueza se duplique es aproximadamente el 50% de la riqueza actual, lo que significa que debería esperar perder la mitad de su dinero en algún momento antes de duplicarse. La mayoría de los inversores tienen funciones de utilidad más reacias al riesgo que las logarítmicas, lo que impone mayores penalidades a las grandes pérdidas. Además, las estimaciones de ventaja en el mundo real son inciertas: si su verdadera ventaja es la mitad de su ventaja estimada, Kelly total se convierte en una sobreapuesta significativa. Half-Kelly logra aproximadamente el 75% de la tasa de crecimiento de Kelly con una variación mucho menor y una reducción máxima. Los fondos cuantitativos profesionales suelen utilizar entre el 20% y el 50% de Kelly.
¿Cuál es la relación entre el criterio de Kelly y el índice de Sharpe?
Para una inversión continua con rendimientos distribuidos normalmente, el apalancamiento óptimo de Kelly es: f* = Ratio de Sharpe / σ = (μ − r) / σ². Esto significa que la fracción de Kelly aumenta con el índice de Sharpe (un borde más alto justifica un mayor tamaño) y disminuye con la volatilidad (un volumen más alto significa más riesgo de varianza). La tasa máxima de crecimiento a largo plazo (crecimiento de Kelly) es igual a la tasa libre de riesgo más (Sharpe²)/2, por lo que el crecimiento de Kelly es directamente proporcional al cuadrado del ratio de Sharpe. Esta relación es la razón por la que el índice de Sharpe es la métrica más importante para los inversores óptimos de Kelly: una estrategia con el doble del índice de Sharpe logra cuatro veces la tasa de crecimiento incremental.
¿Puede el criterio de Kelly conducir a la ruina?
Teóricamente, el criterio de Kelly tiene una probabilidad cero de ruina a largo plazo para una apuesta favorable con resultados continuos de probabilidad positiva (el paseo aleatorio geométrico converge casi con seguridad al infinito). Sin embargo, en la práctica, el riesgo de ruina existe debido a: (1) apuestas discretas (no infinitamente divisibles) que pueden exceder la fracción de Kelly en términos relativos; (2) error del modelo: la probabilidad y las probabilidades reales pueden ser menos favorables que las estimadas; (3) riesgo de racha: con Kelly al máximo, las largas rachas de pérdidas provocan caídas extremas incluso sin ruina; (4) apalancamiento: si la fracción de Kelly excede el 100% (como en las aplicaciones del mercado de valores), los fondos prestados crean una posibilidad de ruina finita. En la práctica se prefieren las estrategias fraccionadas de Kelly para gestionar todos estos riesgos.
¿Cómo maneja el criterio de Kelly las apuestas correlacionadas?
Para una apuesta única, Kelly es sencilla. Para una cartera de apuestas o inversiones simultáneamente activas, Kelly multiactivo utiliza álgebra matricial: f* = Σ⁻¹ × α, donde Σ es la matriz de covarianza de rendimientos y α es el vector de rendimientos excesivos esperados. Las apuestas con correlación positiva reducen la asignación total de Kelly en comparación con las apuestas no correlacionadas: el administrador de la cartera debe reducir el tamaño cuando las apuestas están correlacionadas porque la correlación amplifica el riesgo de reducción. Las apuestas con correlación negativa permiten una asignación total mayor. Ésta es la base matemática de por qué la diversificación (correlación negativa/baja entre posiciones) permite un mayor despliegue total de capital sin sacrificar la seguridad.
¿Qué es la estrategia del 'Kelly fraccional'?
Kelly fraccional apuesta una fracción fija del monto total de Kelly, generalmente del 25% (un cuarto de Kelly) al 50% (la mitad de Kelly). Half-Kelly logra aproximadamente el 75% de la tasa máxima de crecimiento a largo plazo mientras: (1) reduce la varianza de la cartera al 25% de la varianza de Kelly; (2) reducir a la mitad la reducción máxima esperada; (3) proporcionar un amortiguador sustancial contra el error de estimación en borde y probabilidad. La relación es cuadrática: apostar en la fracción c de Kelly logra una fracción c(2−c) de la tasa de crecimiento máxima de Kelly (siempre menos del 100%), por lo que la penalización de la tasa de crecimiento por apostar menos es mucho menor que el beneficio de reducción de la varianza. Esta asimetría explica por qué el Kelly fraccional domina al Kelly completo en la gestión práctica de riesgos.
¿Quién utiliza profesionalmente el Criterio de Kelly?
El Criterio de Kelly ha sido adoptado explícitamente o ha influido en varias carreras de inversión legendarias. Edward Thorp, un profesor de matemáticas que inventó el conteo de cartas en el blackjack, aplicó rigurosamente a Kelly tanto al juego (documentado en Beat the Dealer) como a su fondo de cobertura Princeton/Newport Partners, que dirigió durante 19 años con rendimientos excepcionales ajustados al riesgo. La filosofía concentrada de Warren Buffett para dimensionar las posiciones refleja el pensamiento de Kelly: haga grandes apuestas cuando tenga una gran convicción y una ventaja genuina. Los apostadores deportivos profesionales y los jugadores de póquer utilizan a Kelly explícitamente para la gestión de sus fondos. Los fondos de cobertura cuantitativos como Renaissance Technologies utilizan implícitamente conceptos de fracción óptima relacionados con Kelly en sus estrategias comerciales sistemáticas.
¿Cuál es el peligro de "sobreapuestas" con Kelly?
Apostar en exceso (apostar más que la fracción de Kelly) es peor que apostar a la baja, tanto desde la perspectiva de la tasa de crecimiento como de la probabilidad de ruina. Exactamente a 2× Kelly (doble Kelly), la tasa de crecimiento a largo plazo cae a cero: el valor de la cuenta oscila alrededor de un nivel sin crecer. Más allá de 2× Kelly, la tasa de crecimiento se vuelve negativa: es prácticamente seguro que la cuenta eventualmente perderá todo su valor. Esta marcada asimetría (las apuestas insuficientes son simplemente subóptimas, las apuestas excesivas pueden ser catastróficas) convierte a Kelly en un límite superior importante en el tamaño de la posición. En la práctica, siempre que un modelo sugiera una fracción de Kelly muy cercana o superior al 100%, trátelo como una señal para aplicar agresivamente un factor de Kelly fraccional debido al mayor riesgo de sobreapuesta.
Errores comunes a evitar
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- !Utilice Kelly completo sin tener en cuenta la incertidumbre de la estimación en borde y probabilidad; aplique siempre Kelly fraccional (25–50 %) en aplicaciones reales.
- !Ignorando la estructura de correlación al dimensionar múltiples posiciones simultáneas: las apuestas correlacionadas requieren fracciones de Kelly individuales reducidas.
- !Aplicando Kelly a apuestas con valor esperado negativo: Kelly produce correctamente f* ≤ 0 en estos casos (sin apuesta).
- !Tratar a Kelly como una regla de tamaño de apuesta fijo: debería aplicarse a la riqueza actual cada vez, reduciendo proporcionalmente las apuestas a medida que cae la riqueza.
- !Suponiendo que Kelly logra el máximo rendimiento esperado en dólares, maximiza el crecimiento logarítmico (geométrico), no el rendimiento esperado aritmético.
Consejo Pro
Ejecute una simulación de Monte Carlo de 1000 rutas en más de 100 apuestas utilizando Kelly completo, medio Kelly y un cuarto de Kelly. La distribución de los resultados de la riqueza terminal demuestra visualmente tanto la tendencia central superior de Kelly como la catastrófica desventaja de las sobreapuestas, de manera mucho más convincente que las fórmulas por sí solas.
¿Sabías que?
John Kelly Jr. publicó su criterio en un artículo de 1956 del Bell System Technical Journal titulado 'Una nueva interpretación de la tasa de información', enmarcando el resultado en términos de teoría de la información y capacidad del canal de comunicación, no de apuestas. El periódico no menciona en absoluto los juegos de azar. Ed Thorp reconoció su aplicación al blackjack y más tarde al mercado de valores, traduciendo efectivamente a Kelly de la teoría de la información a la gestión práctica de inversiones.
Referencias
- ›Kelly, JL (1956): Una nueva interpretación de la tasa de información, Bell System Technical Journal
- ›Thorp, E.O. (2006): El criterio de Kelly en el blackjack, las apuestas deportivas y el mercado de valores
- ›MacLean, Thorp & Ziemba: El criterio de inversión de crecimiento de capital de Kelly, World Scientific
- ›Investopedia: Definición del criterio de Kelly
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