Qu'est-ce que Bond Duration & Convexity?
▾
La durée et la convexité sont les deux mesures fondamentales de la sensibilité d'une obligation aux variations des taux d'intérêt. Ensemble, ils permettent aux investisseurs d'estimer l'ampleur de la variation du prix d'une obligation en fonction de l'évolution des rendements, permettant ainsi une gestion précise du risque de taux d'intérêt dans les portefeuilles à revenu fixe. La durée a deux formes principales. La durée Macaulay, introduite par Frederick Macaulay en 1938, est le temps moyen pondéré nécessaire pour recevoir les flux de trésorerie de l'obligation (paiements des coupons et principal), avec des pondérations proportionnelles à la valeur actuelle de chaque flux de trésorerie. Il est exprimé en années et représente le « délai de récupération » effectif de l'investissement de l'obligation. La durée Macaulay d'une obligation à coupon zéro est égale à son échéance puisque tous les flux de trésorerie sont reçus à la fin ; La durée Macaulay d'une obligation à coupon est plus courte que l'échéance car les paiements de coupons provisoires réduisent le temps d'attente effectif. La durée modifiée convertit la durée Macaulay en une mesure directe de la sensibilité aux prix : elle estime la variation en pourcentage du prix des obligations pour une variation du rendement de 1 % (100 points de base). Durée modifiée = Durée Macaulay / (1 + y/m), où y est le rendement à l'échéance et m est le nombre de périodes de coupon par an. Par exemple, le prix d’une obligation avec une durée modifiée de 7 devrait chuter d’environ 7 % si les rendements augmentent de 100 points de base – ou augmenter de 7 % si les rendements baissent de 100 points de base. La convexité est la mesure de second ordre de la sensibilité aux prix : elle capture la courbure de la relation prix-rendement qui, à elle seule, ne tient pas compte de la durée. Étant donné que les prix des obligations et les rendements ont une relation convexe (courbe) plutôt que linéaire, la durée sous-estime les gains de prix lorsque les rendements baissent et surestime les baisses de prix lorsque les rendements augmentent. L’ajout de l’ajustement de convexité produit une estimation plus précise des variations de prix, en particulier pour les mouvements de rendement importants. La convexité positive (caractéristique des obligations standard) signifie que l’obligation bénéficie des mouvements des taux d’intérêt dans les deux sens par rapport à l’approximation linéaire de la durée. Les titres adossés à des créances hypothécaires peuvent présenter une convexité négative lorsque la baisse des taux déclenche des remboursements anticipés. Ces concepts sont fondamentaux pour l’immunisation des portefeuilles obligataires, les stratégies d’investissement axé sur le passif (LDI) et la gestion des risques obligataires dans les banques, les compagnies d’assurance et les fonds de pension.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Formule
▾
Durée modifiée = Durée Macaulay / (1 + an/m)
ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)²Légende des variables
▾
| Symbole | Nom | Unité | Description |
|---|---|---|---|
| D_Mac | Durée de Macaulay | years | Le délai moyen pondéré pour recevoir tous les flux de trésorerie, avec des pondérations égales à la valeur actuelle de chaque flux de trésorerie divisée par le prix total de l'obligation. |
| D_mod | Durée modifiée | years (% per 1% yield change) | Le pourcentage approximatif de variation de prix pour 1 % de variation du rendement : D_mod = D_Mac / (1 + y/m). |
| C | Convexité | years squared | La mesure de second ordre de la sensibilité aux prix ; capture la courbure de la relation prix-rendement non capturée par la durée. |
| y | Rendement à l'échéance | % | Rendement actuel de l'obligation jusqu'à l'échéance, utilisé pour actualiser les flux de trésorerie et calculer la durée. |
| m | Fréquence des coupons | payments per year | Nombre de paiements de coupons par an (par exemple, 2 pour un semestre, 1 pour un annuel). |
| ΔP/P | Changement de prix (% ) | % | Pourcentage de variation estimé du prix des obligations : ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)² |
Comment Bond Duration & Convexity
▾
- 1Répertoriez tous les flux de trésorerie futurs de l'obligation avec leur timing : paiements des coupons (Coupon = Valeur nominale × Taux du coupon / m) à chaque période et remboursement de la valeur nominale à l'échéance.
- 2Actualisez chaque flux de trésorerie à sa valeur actuelle en utilisant le rendement à l'échéance : PV_t = CF_t / (1 + y/m)^t, où t est le numéro de la période.
- 3Additionnez toutes les valeurs actuelles pour obtenir le prix de l'obligation : P = Σ PV_t.
- 4Calculez la durée de Macaulay : D_Mac = Σ [t × PV_t] / P — la durée moyenne pondérée (en périodes), puis divisez par m pour convertir en années.
- 5Calculer la durée modifiée : D_mod = D_Mac / (1 + y/m). Il s'agit de la sensibilité au prix de premier ordre de l'obligation : multipliez par −1 et la variation du rendement pour estimer la variation du prix en pourcentage.
- 6Calculer la convexité : C = [Σ t(t+1) × PV_t / (1+y/m)²] / (P × m²). Ce terme de second ordre ajuste l’estimation de la durée à la courbure de la courbe prix-rendement.
- 7Pour une variation de rendement donnée Δy : estimez ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)². Pour les petits Δy (< 25 bps), la durée seule est généralement suffisante ; pour des changements plus importants, la convexité devient importante.
Exemples résolus
▾
Obligation au pair : prix = 1 000 $. Une hausse des rendements de 100 pb → env. -7,93% de variation de prix.
Lorsque le taux d'intérêt nominal d'une obligation est égal à son rendement à l'échéance, elle se négocie au pair (1 000 $). La durée Macaulay de 8,11 ans reflète le délai moyen pondéré nécessaire pour recevoir les flux de trésorerie sur 10 ans sous forme de coupons semestriels plus le principal final. Une durée modifiée de 7,93 signifie que l'obligation perd environ 7,93 % de prix pour chaque augmentation de 1 % des rendements. Pour une augmentation du rendement de 100 points de base : ΔP/P ≈ −7,93 % × 1 % + 0,5 × 79,5 × (0,01)² ≈ −7,93 % + 0,40 % = −7,53 %, montrant comment la convexité compense partiellement la baisse de la durée.
Zéro-coupon : la durée est égale à l'échéance. Durée la plus élevée pour une échéance donnée — sensibilité maximale aux taux.
Une obligation à coupon zéro ne paie aucun coupon intermédiaire : tous les flux de trésorerie arrivent à l’échéance. Sa Duration Macaulay est donc exactement égale à sa maturité (20 ans). Avec une durée modifiée de 19,05, une augmentation du rendement de 1 % entraîne une baisse du prix d'environ 19,05 %, ce qui rend cette obligation extrêmement sensible aux variations des taux d'intérêt. La convexité très élevée de 399,7 offre une protection substantielle contre les variations importantes des rendements, mais l'obligation reste l'instrument le plus sensible aux taux d'intérêt pour sa maturité. Les obligations à coupon zéro sont largement utilisées dans les stratégies d’investissement axées sur le passif afin de correspondre précisément aux passifs à long terme.
Coupon élevé par rapport au rendement – se négocie au-dessus du pair (obligation premium). Faible sensibilité au débit.
Avec un coupon de 6 % et un YTM de 5 %, cette obligation se négocie au-dessus du pair (obligation premium, prix ≈ 1 027,23 $). Le coupon élevé accélère l'encaissement des flux de trésorerie, réduisant la durée Macaulay à 2,74 ans malgré une maturité de 3 ans. Une durée modifiée de 2,67 signifie seulement une variation de prix de 2,67 % pour une variation de rendement de 1 %, ce qui rend cette obligation beaucoup moins sensible aux taux d'intérêt que le Trésor à 10 ans ou l'obligation à coupon zéro. Les obligations d’entreprises à courte durée sont utilisées pour réduire le risque de taux d’intérêt tout en continuant à générer des écarts de crédit supérieurs aux rendements des obligations d’État.
La durée du portefeuille est la moyenne pondérée en fonction de la valeur des durées des composants.
Durée du portefeuille = 0,40 × 4,3 + 0,60 × 11,2 = 1,72 + 6,72 = 8,44. Cette échelle obligataire combinant des obligations courtes et longues atteint une durée intermédiaire de 8,44 ans – similaire à un Trésor à 10 ans – sans détenir une seule obligation à 10 ans. L'échelonnement offre des avantages en matière de liquidité (les obligations arrivent à échéance périodiquement) et permet un ciblage précis de la durée. Un gestionnaire de portefeuille ciblant une durée de 8,0 pourrait ajuster les pondérations entre l’obligation A et l’obligation B pour atteindre l’objectif exact en utilisant une simple algèbre linéaire.
Applications pratiques
▾
Immunisation du portefeuille obligataire : faire correspondre la durée de l'actif à la durée du passif pour les fonds de pension et les compagnies d'assurance. Cette application est couramment utilisée par les professionnels qui ont besoin d'une analyse quantitative précise pour soutenir la prise de décision, la budgétisation et la planification stratégique dans leurs domaines respectifs.
Couverture de taux d'intérêt : calcul des ratios de couverture des contrats à terme du Trésor ou des swaps de taux d'intérêt à l'aide de DV01. Les praticiens de l'industrie s'appuient sur ce calcul pour évaluer les performances, comparer les alternatives et garantir la conformité aux normes établies et aux exigences réglementaires.
Gestion des risques obligataires : calcul de la durée du portefeuille et des limites DV01 pour les trading desks. Les chercheurs universitaires et les étudiants utilisent ce calcul pour valider des modèles théoriques, effectuer des travaux de cours et développer une compréhension plus approfondie des principes mathématiques sous-jacents.
Construction d'une stratégie d'investissement axé sur le passif (LDI) pour les actifs des régimes de retraite à prestations définies. Les analystes et planificateurs financiers intègrent ce calcul dans leur flux de travail pour produire des prévisions précises, évaluer les scénarios de risque et présenter des recommandations basées sur les données aux parties prenantes.
Capital réglementaire : calculs du capital pour risque de taux d'intérêt en fonction de la durée selon les normes Bâle III Pilier 1 et IRRBB. Cette application est couramment utilisée par les professionnels qui ont besoin d'une analyse quantitative précise pour soutenir la prise de décision, la budgétisation et la planification stratégique dans leurs domaines respectifs.
Cas particuliers
▾
En pratique, ce cas extrême nécessite un examen attentif car les hypothèses standard peuvent ne pas être valables. Lorsqu'ils sont confrontés à ce scénario dans les calculs du calculateur de durée et de convexité des obligations, les praticiens doivent vérifier les conditions aux limites, vérifier les risques de division par zéro et déterminer si les hypothèses du modèle restent valables dans ces conditions extrêmes.
En pratique, ce cas extrême nécessite un examen attentif car les hypothèses standard peuvent ne pas être valables. Lorsqu'ils sont confrontés à ce scénario dans les calculs du calculateur de durée et de convexité des obligations, les praticiens doivent vérifier les conditions aux limites, vérifier les risques de division par zéro et déterminer si les hypothèses du modèle restent valables dans ces conditions extrêmes.
En pratique, ce cas extrême nécessite un examen attentif car les hypothèses standard peuvent ne pas être valables. Lorsqu'ils sont confrontés à ce scénario dans les calculs du calculateur de durée et de convexité des obligations, les praticiens doivent vérifier les conditions aux limites, vérifier les risques de division par zéro et déterminer si les hypothèses du modèle restent valables dans ces conditions extrêmes.
Durée et convexité typiques par type d'obligation (environnement de taux approximatif de 2024)
▾
| Type d'obligation | Maturité | Durée modifiée | Convexité | Sensibilité aux prix à +100 points de base |
|---|---|---|---|---|
| Bon du Trésor à 3 mois | 3 mois | 0.25 | 0.06 | −0,25% |
| Bon du Trésor à 2 ans | 2 ans | 1.85 | 3.9 | −1,85% |
| Bon du Trésor à 5 ans | 5 ans | 4.40 | 21.0 | −4,40% |
| Bon du Trésor à 10 ans | 10 ans | 7.95 | 79.5 | −7,55% |
| Bon du Trésor à 30 ans | 30 ans | 16.50 | 367.0 | −14,66% |
| Obligation zéro coupon sur 10 ans | 10 ans | 9.52 | 98.0 | −9,05% |
| Obligations de sociétés IG (10 ans) | 10 ans | 7.40 | 72.0 | −7,04% |
| Obligation à haut rendement (5 ans) | 5 ans | 3.80 | 16.5 | −3,61% |
| Passage MBS | ~30 ans nominal | 3,0 – 5,0 | Négatif | −3% à −5% |
Questions fréquentes
▾
Quelle est la différence pratique entre Macaulay et la durée modifiée ?
La durée Macaulay est exprimée en années et représente le temps moyen pondéré nécessaire pour recevoir les flux de trésorerie de l'obligation. Il s'agit d'une mesure de temps et non directement d'une mesure de sensibilité aux prix. La durée modifiée est la dérivée première du prix de l'obligation par rapport à la variation du rendement (divisée par le prix) et mesure directement le pourcentage de variation du prix pour une variation du rendement de 1 %. Pour les applications pratiques – estimer l’ampleur de la variation de la valeur d’une obligation lorsque les taux évoluent – la durée modifiée est la mesure pertinente. La durée Macaulay est plus utile sur le plan conceptuel (comprendre le timing des flux de trésorerie) et pour construire des portefeuilles immunisés (faire correspondre la durée de l'actif à la durée du passif en années).
Pourquoi la convexité est-elle importante et quand devient-elle importante ?
La convexité capture la courbure de la relation prix-rendement. La durée à elle seule fournit une approximation linéaire des variations de prix, mais la courbe prix-rendement réelle est convexe : elle s’incurve vers le haut. Pour de légères variations de rendement (moins de 25 points de base), la durée est généralement suffisante. Pour les variations de rendement plus importantes (plus de 50 à 200 points de base), la convexité devient de plus en plus importante. Lors des mouvements spectaculaires des taux de 2022 (la Réserve fédérale a augmenté les taux de 425 points de base en un an), les investisseurs ayant une convexité correctement calculée ont été beaucoup plus précis dans l’estimation des pertes de portefeuille que ceux qui s’appuient uniquement sur la durée. Une convexité plus élevée est généralement souhaitable car elle signifie que l’obligation perd moins lorsque les taux augmentent et gagne davantage lorsque les taux baissent.
Qu'est-ce que la convexité négative et quelles obligations la présentent ?
La plupart des obligations standard ont une convexité positive : les gains de prix s’accélèrent lorsque les rendements baissent et les pertes de prix ralentissent lorsque les rendements augmentent. La convexité négative est l’inverse : les gains de prix ralentissent lorsque les rendements baissent et les pertes de prix s’accélèrent lorsque les rendements augmentent. Cela se produit avec les obligations rachetables (l'émetteur rappelle l'obligation lorsque les taux baissent, plafonnant l'appréciation des prix) et les titres adossés à des créances hypothécaires (les propriétaires remboursent par anticipation leurs hypothèques lorsque les taux baissent, raccourcissant ainsi la durée du titre juste au moment où vous le souhaitez). Les flotteurs inverses peuvent également présenter une convexité négative. Les titres à convexité négative offrent généralement des rendements plus élevés pour compenser les investisseurs pour cette caractéristique défavorable.
Comment la duration est-elle utilisée dans l’immunisation du portefeuille obligataire ?
L'immunisation est la stratégie consistant à faire correspondre la durée d'un portefeuille à la durée de ses passifs cibles, de sorte que les variations des taux d'intérêt affectent à la fois les actifs et les passifs, laissant l'excédent de financement inchangé. Un fonds de pension dont les engagements ont une durée effective de 12 ans ciblerait un portefeuille obligataire avec une durée modifiée de 12 ans. Lorsque les taux augmentent, la valeur actuelle de l’actif et la valeur actuelle du passif diminuent proportionnellement, laissant le ratio de financement à peu près inchangé. L’immunisation complète nécessite également une convexité correspondante : si la convexité de l’actif dépasse la convexité du passif, le portefeuille est positionné positivement (gains résultant de toute variation du rendement). Les stratégies d’investissement axé sur le passif (LDI) utilisées par les fonds de pension et les compagnies d’assurance s’appuient sur ce cadre.
Qu'est-ce que la durée en dollars (DV01) et comment est-elle utilisée ?
La durée en dollars, communément exprimée par DV01 (valeur en dollars d'un point de base) ou PVBP (valeur du prix d'un point de base), mesure la variation du prix d'une obligation en dollars pour une variation de rendement de 1 point de base (0,01 %). DV01 = Durée modifiée × Prix de l'obligation × 0,0001. Par exemple, une obligation avec une durée modifiée de 8 et un prix de 1 000 000 $ a DV01 = 8 × 1 000 000 $ × 0,0001 = 800 $. DV01 est largement utilisé par les traders obligataires et les gestionnaires de portefeuille pour dimensionner les positions, calculer les ratios de couverture et communiquer le risque en termes de dollars plutôt qu'en pourcentages – ce qui est plus intuitif pour les grands portefeuilles et les bureaux de négociation.
Comment le taux du coupon affecte-t-il la durée ?
Des taux de coupon plus élevés produisent des durées plus courtes, et des taux de coupon inférieurs (ou nuls) produisent des durées plus longues, pour les obligations de même échéance. En effet, des coupons plus élevés signifient que l'investisseur reçoit plus tôt une plus grande proportion des flux de trésorerie totaux (sous forme de paiements de coupons provisoires), ce qui réduit le délai moyen pondéré jusqu'à la réception des flux de trésorerie (durée de Macaulay). Une obligation à coupon élevé est donc moins sensible aux taux d’intérêt qu’une obligation à coupon faible de même échéance. Cette relation explique pourquoi les obligations à coupon zéro ont la durée maximale possible (égale à l’échéance) pour une durée d’échéance et un niveau de rendement donnés.
Comment le niveau de rendement affecte-t-il la durée et la convexité ?
La durée et la convexité sont toutes deux sensibles au niveau de rendement en vigueur. Lorsque les rendements sont faibles, la durée est généralement plus élevée (car les taux d’actualisation sont faibles, ce qui donne plus de valeur aux flux de trésorerie à distance) et la convexité est également plus élevée. Lorsque les rendements sont élevés, la durée est plus faible et la convexité est moindre. Cela est particulièrement pertinent dans le contexte actuel où les taux ont considérablement augmenté par rapport à des niveaux proches de zéro : les portefeuilles qui semblaient présenter un risque de durée élevé en 2020-2021 ont désormais une durée effective plus faible pour des niveaux de rendement plus élevés. Cette dépendance au rendement signifie que la durée doit être recalculée chaque fois que les rendements évoluent de manière significative, et les estimations statiques de la durée peuvent rapidement devenir obsolètes dans des environnements de taux volatils.
Erreurs courantes à éviter
▾
- !Confondre la durée de Macaulay (en années, basée sur le temps) avec la durée modifiée (en années, mais en fait une mesure de sensibilité aux prix) – ils ont des interprétations et des utilisations différentes.
- !En ignorant la convexité pour les variations importantes des rendements – pour les variations des rendements dépassant 50 points de base, le terme de convexité devient important et devrait être inclus dans les estimations de variation de prix.
- !En supposant que la durée soit constante – la durée change à mesure que les rendements évoluent, que le temps passe et que les flux de trésorerie sont reçus ; il doit être recalculé régulièrement pour un suivi précis des risques du portefeuille.
- !Application de la durée modifiée aux obligations comportant des options intégrées (callable, putable, hypothécaire) : la durée ajustée en fonction des options (OAD) ou la durée effective doit être utilisée pour ces titres.
- !En utilisant uniquement la durée pour comparer des portefeuilles obligataires présentant des profils de convexité différents : deux portefeuilles de durée égale mais de convexité très différente ont des profils de risque significativement différents dans des environnements de taux non linéaires.
Conseil Pro
Pour une gestion pratique des risques liés aux titres à revenu fixe, utilisez la durée en dollars (DV01) pour communiquer le risque en termes monétaires plutôt qu'en termes de pourcentage. Un portefeuille avec 5 000 $ DV01 change de valeur de 5 000 $ pour chaque mouvement de point de base des rendements – immédiatement interprétable par les traders, les gestionnaires de risques et les gestionnaires de portefeuille.
Le saviez-vous?
L'article de Frederick Macaulay de 1938 présentant la durée de Macaulay faisait partie d'une étude historique commandée par le Bureau national de recherche économique sur les taux d'intérêt américains s'étalant sur plus d'un siècle. Le concept de durée a été largement ignoré pendant près de trois décennies jusqu’à ce que la théorie de la vaccination ravive l’intérêt pour ce concept dans les années 1960 et 1970.
Références
- ›Macaulay, F.R. (1938). Quelques problèmes théoriques suggérés par les mouvements des taux d'intérêt. NBER.
- ›Investopedia : définition de durée et types
- ›CFA Institute : risque et rendement des titres à revenu fixe
- ›Fabozzi, FJ (2012). Marchés obligataires, analyse et stratégies (8e éd.). Salle Prentice.
Read the full guide on how to use this calculator effectively
Lire la suite →Obtenez des conseils mathématiques hebdomadaires
Rejoignez les abonnés 12 000+ qui reçoivent des conseils sur la calculatrice chaque semaine.