Qu'est-ce que Kelly Criterion Calculator?
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Le critère de Kelly est une formule mathématique qui détermine la fraction optimale d'un bankroll ou d'un portefeuille à allouer à un pari ou un investissement favorable afin de maximiser la croissance logarithmique à long terme de la richesse. Développée par John L. Kelly Jr. aux Bell Labs en 1956 dans le contexte de la théorie de l'information, et appliquée indépendamment aux jeux de hasard et à l'investissement, la formule de Kelly produit le taux de croissance composé à long terme le plus élevé parmi toutes les stratégies de paris à fraction fixe tout en garantissant que la probabilité de ruine est théoriquement nulle (avec des paris continus sur des cotes favorables). Pour un pari binaire simple avec une probabilité p de gagner (et une probabilité q = 1−p de perdre), où un gain rapporte une cote b (gagner b dollars pour chaque dollar parié), la fraction de Kelly optimale est : f* = (bp − q) / b = p − q/b. Cette fraction est la valeur attendue du pari exprimée en fraction du bankroll. Parier plus que f* (surparier) réduit la croissance composée et augmente le risque de ruine ; parier moins que f* (sous-parier) est sûr mais sous-optimal dans une perspective de croissance à long terme. Pour les investissements continus (actions, portefeuilles), la formule de Kelly s'étend à : f* = (μ − r) / σ², où μ est le rendement attendu, r est le taux sans risque et σ² est la variance du rendement. Ce résultat est directement lié au ratio de Sharpe : f* = Ratio de Sharpe / σ, ce qui signifie que l'effet de levier optimal de Kelly est le ratio de Sharpe divisé par la volatilité. Pour un portefeuille d'actions diversifié typique avec Sharpe = 0,5 et σ = 15 %, Kelly suggère une allocation de 0,5/0,15 = 333 %, soit bien au-dessus de 100 %, ce qui indique un effet de levier théorique. En pratique, la fraction de Kelly complète est rarement utilisée car : (1) les estimations de bord et de probabilité du monde réel contiennent une incertitude significative, ce qui rend le bord réel plus petit que celui estimé (une fraction de Kelly fractionnaire de 25 à 50 % est courante) ; (2) le Kelly complet produit des prélèvements importants — le prélèvement maximum attendu avant le doublement est d'environ 50 % de la richesse ; (3) la plupart des investisseurs ont des fonctions d’utilité qui pénalisent davantage les pertes importantes que ne l’implique l’utilité logarithmique. Les stratégies Half-Kelly ou Quarter-Kelly atteignent 75 % ou 50 % du taux de croissance à long terme de Kelly tout en réduisant considérablement les pertes et la variance des résultats. Le critère de Kelly est largement utilisé dans les paris sportifs, le poker (les joueurs professionnels l'utilisent explicitement pour la gestion de leur bankroll), le commerce des matières premières et la gestion quantitative des investissements. Les investisseurs légendaires Warren Buffett et Charlie Munger ont décrit des approches d'investissement conformes aux principes de Kelly, et le critère est à la base du travail pionnier d'Edward Thorp en matière de comptage de cartes de blackjack et de gestion quantitative de hedge funds.
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Formule
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Fraction de Kelly (binaire) : f* = (b×p − q) / b = p − (1−p)/b
Fraction de Kelly (continue) : f* = (μ − r) / σ²
Taux de croissance : g = p × ln(1 + b×f*) + (1−p) × ln(1 − f*)Légende des variables
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| Symbole | Nom | Unité | Description |
|---|---|---|---|
| f* | Fraction de Kelly | % | Fraction optimale de bankroll pour parier ou investir ; maximise la croissance logarithmique de la richesse à long terme. |
| p | Probabilité de gagner | % | Probabilité estimée d'une issue favorable ; doit dépasser la probabilité d'équilibre (1/(1+b)) pour le front montant. |
| b | Rapport de cotes net | ratio | Gains nets par unité mise en jeu en cas de gain : si vous gagnez 3 $ par pari de 1 $, b=3. Doit être positif pour un pari potentiel. |
| EV | Valeur attendue | USD | Bénéfice attendu par unité : EV = (p × b) − (1−p). Un EV positif est nécessaire (mais pas suffisant) pour que Kelly recommande un pari. |
| g | Taux de croissance | %/round | Taux de croissance composé à long terme par tour d'enchères à la fraction de Kelly : g = p × ln(1+b×f*) + (1−p) × ln(1−f*). |
Comment Kelly Criterion Calculator
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- 1Estimez la probabilité p d'un résultat favorable (à partir de données historiques, d'un modèle ou d'une analyse de bord).
- 2Déterminer la cote b : gains nets par unité mise en jeu en cas de succès.
- 3Vérifiez la valeur attendue positive : EV = b×p − (1−p) > 0. Si EV ≤ 0, ne pariez pas (f* ≤ 0 signifie que Kelly recommande de ne pas parier).
- 4Calculez la fraction de Kelly : f* = (b×p − (1−p)) / b.
- 5Appliquez le Kelly fractionnaire si vous le souhaitez : généralement f = 0,25 × f* à 0,5 × f* pour une gestion du capital plus conservatrice.
- 6Dimensionnez le pari : Montant du pari = f* × Bankroll total.
- 7Recalculez après chaque pari à mesure que la taille de votre bankroll change – Kelly est une stratégie dynamique avec des paris proportionnels à la richesse actuelle.
Exemples résolus
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Seulement 10 % de la bankroll malgré un taux de victoire de 55 % – Kelly est conservatrice
f* = (1,0 × 0,55 − 0,45) / 1,0 = (0,55 − 0,45) = 0,10 = 10 %. Montant du pari = 10 % × 10 000 $ = 1 000 $. Valeur attendue par pari = (0,55 × 1 000 $) − (0,45 × 1 000 $) = 550 $ − 450 $ = 100 $. Cette fraction relativement faible (10 %), malgré un avantage apparemment important (55 % contre un juste 50 %), reflète le conservatisme de Kelly. Parier la totalité de 10 000 $ (100 %) maximiserait la valeur attendue par pari mais risquerait de se ruiner : une série de 10 pertes consécutives (probabilité ≈ 0,3 %) anéantirait la bankroll. La fraction de 10 % de Kelly rend la croissance à long terme optimale tout en rendant la ruine extrêmement improbable.
La grande variance du poker nécessite de nombreux buy-ins, même avec un avantage positif
Au poker, la formule du risque de ruine liée à Kelly : P(ruine) = e^(−2×W×B/V), où W=taux de victoire par main, B=bankroll en big blinds, V=variance par main. Avec un taux de victoire de 55 bb/100 = 0,55 bb/main, une variance = 100²/100 = 100 bb²/main et un bankroll B = 30 buy-ins × 100 bb = 3 000 bb : P(ruine) = e^(−2×0,0055×3000/100) = e^(−0,33) = 72 % — terrible ! Les joueurs de poker professionnels utilisent au minimum 30 à 50 buy-ins. À 50 buy-ins (5 000 bb) : P(ruin) = e^(−0,55) = 58 % — toujours élevé. L'analyse de Kelly révèle que la variance élevée du poker nécessite des fonds très importants, même pour les joueurs gagnants.
Full Kelly est extrêmement agressif ; la plupart des praticiens utilisent 25 à 50 % de Kelly
f* = (μ − r) / σ² = (0,10 − 0,05) / (0,20²) = 0,05 / 0,04 = 1,25 = 125 %. Full Kelly recommande une allocation en actions de 125 % (emprunter 25 % pour investir). Il s'agit de la fraction de portefeuille optimale de Merton sous utilité logarithmique. En pratique, le vrai rapport de Sharpe et σ sont incertains (erreur d'estimation), donc le bord réel est inférieur à celui estimé. L’utilisation d’une fraction demi-Kelly de 62,5 % permettrait d’atteindre environ 75 % du taux de croissance maximum tout en réduisant considérablement le risque de baisse. Les fonds quantitatifs professionnels utilisent généralement 20 à 50 % du Kelly théorique pour tenir compte de l'incertitude des estimations.
Kelly multi-actifs utilise des opérations matricielles sur la matrice de covariance
Kelly multi-actifs : f* = Σ⁻¹ × α (vecteur alpha), où Σ est la matrice de covariance et α est le vecteur des rendements excédentaires. L'actif A a Sharpe 1.0 et un volume relativement faible – Kelly alloue beaucoup. L'actif B a une allocation Sharpe plus faible et un vol plus élevé – une allocation Kelly plus petite. La corrélation positive réduit l'allocation totale du portefeuille par rapport au cas non corrélé (où f_total = 55 % + 25 % = 80 %). Cycles de mise en œuvre pratiques et contraintes : le fonds long-only allouerait environ 80 % A, 20 % B au niveau du portefeuille après normalisation. Le Kelly multi-actifs maximise le taux de croissance à long terme du portefeuille grâce à la répartition conjointe des rendements.
Applications pratiques
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Gestion de bankroll de paris sportifs pour les parieurs professionnels
Sélection des mises des joueurs de poker et gestion de leur bankroll
Modèles quantitatifs de dimensionnement des positions des hedge funds
Répartition du portefeuille de capital-risque entre les opportunités d'investissement
Allocation du capital des algorithmes de trading entre stratégies concurrentes
Cas particuliers
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En pratique, ce cas extrême nécessite un examen attentif car les hypothèses standard peuvent ne pas être valables. Lorsqu'ils sont confrontés à ce scénario dans les calculs du calculateur du critère Kelly, les praticiens doivent vérifier les conditions aux limites, vérifier les risques de division par zéro et déterminer si les hypothèses du modèle restent valables dans ces conditions extrêmes.
En pratique, ce cas extrême nécessite un examen attentif car les hypothèses standard peuvent ne pas être valables. Lorsqu'ils sont confrontés à ce scénario dans les calculs du calculateur du critère Kelly, les praticiens doivent vérifier les conditions aux limites, vérifier les risques de division par zéro et déterminer si les hypothèses du modèle restent valables dans ces conditions extrêmes.
En pratique, ce cas extrême nécessite un examen attentif car les hypothèses standard peuvent ne pas être valables. Lorsqu'ils sont confrontés à ce scénario dans les calculs du calculateur du critère Kelly, les praticiens doivent vérifier les conditions aux limites, vérifier les risques de division par zéro et déterminer si les hypothèses du modèle restent valables dans ces conditions extrêmes.
Compromis entre la fraction de Kelly et le taux de croissance à long terme
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| Kelly multiple | Taux de croissance (% de Kelly) | Gravité du retrait | Utilisateur type |
|---|---|---|---|
| Kelly complète (1,0 ×) | 100% | Grave (~ 50 % de DD max attendu) | Optimal théorique |
| Demi-Kelly (0,5×) | 75% | Modéré (~ 25 % DD maximum) | Fonds quantitatifs agressifs |
| Quart de Kelly (0,25×) | 44% | Léger (~ 12 % DD maximum) | Praticiens conservateurs |
| 10e Kelly (0,1 ×) | 19% | Très faible (~5 % DD max) | Gestion des risques avec aversion au risque |
| 2 × Kelly (surpari) | 0% | Extrême – tendance à la ruine | Zone dangereuse – éviter |
| 3 × Kelly (surpari) | Négatif | Une ruine éventuelle quasi certaine | Catastrophique |
Questions fréquentes
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Pourquoi le Kelly complet est-il rarement utilisé dans la pratique ?
Full Kelly maximise la croissance logarithmique à long terme mais produit un dimensionnement de position très agressif et des pertes importantes. Le retrait maximum attendu avant que la richesse ne double est d’environ 50 % de la richesse actuelle, ce qui signifie que vous devez vous attendre à perdre la moitié de votre argent à un moment donné avant de doubler. La plupart des investisseurs ont des fonctions d’utilité plus averses au risque que logarithmiques, ce qui pénalise davantage les pertes importantes. De plus, les estimations d'avantage dans le monde réel sont incertaines : si votre véritable avantage est la moitié de votre avantage estimé, le Kelly complet devient un surpari important. Half-Kelly atteint environ 75 % du taux de croissance de Kelly avec une variance beaucoup plus faible et un rabattement maximum. Les fonds quantitatifs professionnels utilisent généralement 20 à 50 % de Kelly.
Quelle est la relation entre le critère de Kelly et le ratio de Sharpe ?
Pour un investissement continu avec des rendements normalement distribués, l'effet de levier optimal de Kelly est : f* = Sharpe Ratio / σ = (μ − r) / σ². Cela signifie que la fraction de Kelly augmente avec le ratio de Sharpe (un bord plus élevé justifie une plus grande taille) et diminue avec la volatilité (un vol plus élevé signifie plus de risque de variance). Le taux de croissance maximal à long terme (croissance de Kelly) est égal au taux sans risque plus (Sharpe²)/2 — la croissance de Kelly est donc directement proportionnelle au carré du ratio de Sharpe. Cette relation explique pourquoi le ratio de Sharpe est la mesure la plus importante pour les investisseurs optimaux de Kelly : une stratégie avec deux fois le ratio de Sharpe atteint quatre fois le taux de croissance supplémentaire.
Le critère de Kelly peut-il conduire à la ruine ?
Théoriquement, le critère de Kelly a une probabilité nulle de ruine à long terme pour un pari favorable avec des résultats continus à probabilité positive (la marche aléatoire géométrique converge presque sûrement vers l'infini). Cependant, dans la pratique, le risque de ruine existe en raison : (1) de paris discrets (non divisibles à l’infini) qui peuvent dépasser la fraction de Kelly en termes relatifs ; (2) erreur de modèle — la probabilité et les probabilités réelles peuvent être moins favorables que celles estimées ; (3) risque de séquence – avec Kelly au complet, de longues séquences de défaites provoquent des pertes extrêmes même sans ruine ; (4) effet de levier — si la fraction Kelly dépasse 100 % (comme dans les applications boursières), les fonds empruntés créent une possibilité de ruine finie. Les stratégies de Kelly fractionnées sont privilégiées en pratique pour gérer tous ces risques.
Comment le critère de Kelly gère-t-il les paris corrélés ?
Pour un pari simple, Kelly est simple. Pour un portefeuille de paris ou d'investissements simultanément actifs, le Kelly multi-actifs utilise l'algèbre matricielle : f* = Σ⁻¹ × α, où Σ est la matrice de covariance des rendements et α est le vecteur des rendements excédentaires attendus. Les paris positivement corrélés réduisent l'allocation totale de Kelly par rapport aux paris non corrélés – le gestionnaire de portefeuille doit réduire la taille lorsque les paris sont corrélés, car la corrélation amplifie le risque de perte. Les paris corrélés négativement permettent une allocation totale plus importante. C’est le fondement mathématique qui explique pourquoi la diversification (corrélation négative/faible entre les positions) permet un déploiement plus total du capital sans sacrifier la sécurité.
Quelle est la stratégie du « Kelly fractionnaire » ?
Fractional Kelly parie une fraction fixe du montant total de Kelly – généralement 25 % (quart de Kelly) à 50 % (demi-Kelly). Half-Kelly atteint environ 75 % du taux de croissance maximal à long terme tout en : (1) réduisant la variance du portefeuille à 25 % de la variance Kelly ; (2) réduire de moitié le prélèvement maximum attendu ; (3) fournir un tampon substantiel contre les erreurs d'estimation de bord et de probabilité. La relation est quadratique : parier sur la fraction c de Kelly atteint une fraction c(2−c) du taux de croissance maximum de Kelly (toujours inférieur à 100 %), de sorte que la pénalité du taux de croissance due au sous-pari est bien inférieure à l'avantage de la réduction de la variance. Cette asymétrie explique pourquoi le Kelly fractionnaire domine le Kelly complet pour la gestion pratique des risques.
Qui utilise le critère de Kelly de manière professionnelle ?
Le critère de Kelly a été explicitement adopté ou influencé plusieurs carrières d’investissement légendaires. Edward Thorp – un professeur de mathématiques qui a inventé le comptage de cartes au blackjack – a rigoureusement appliqué Kelly à la fois au jeu (documenté dans Beat the Dealer) et à son fonds spéculatif Princeton/Newport Partners, qu'il a dirigé pendant 19 ans avec des rendements exceptionnels ajustés au risque. La philosophie concentrée de Warren Buffett en matière de dimensionnement des positions reflète la pensée de Kelly : faites des paris importants lorsque vous avez une forte conviction et un véritable avantage. Les parieurs sportifs professionnels et les joueurs de poker utilisent Kelly explicitement pour la gestion de leur bankroll. Les hedge funds quantitatifs comme Renaissance Technologies utilisent implicitement les concepts de fraction optimale liés à Kelly dans leurs stratégies de trading systématiques.
Quel est le danger du « surpari » avec Kelly ?
Le surpari – parier plus que la fraction Kelly – est pire que le sous-pari du point de vue du taux de croissance et de la probabilité de ruine. À exactement 2× Kelly (double Kelly), le taux de croissance à long terme tombe à zéro : la valeur du compte oscille autour d’un certain niveau sans croître. Au-delà de 2× Kelly, le taux de croissance devient négatif – le compte est quasiment certain de perdre toute sa valeur à terme. Cette asymétrie flagrante (le sous-pari est tout simplement sous-optimal, le surpari peut être catastrophique) fait de Kelly une limite supérieure importante en matière de taille de position. En pratique, chaque fois qu'un modèle suggère une fraction de Kelly très proche ou supérieure à 100 %, considérez cela comme un signal pour appliquer de manière agressive un facteur de Kelly fractionnaire en raison du risque accru de surpari.
Erreurs courantes à éviter
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- !Utilisation de Kelly complète sans tenir compte de l'incertitude d'estimation du bord et de la probabilité - appliquez toujours Kelly fractionnaire (25 à 50 %) dans les applications réelles.
- !Ignorer la structure de corrélation lors du dimensionnement de plusieurs positions simultanées – les paris corrélés nécessitent des fractions de Kelly individuelles réduites.
- !Appliquer Kelly aux paris avec une valeur attendue négative – Kelly produit correctement f* ≤ 0 dans ces cas (pas de pari).
- !Traiter Kelly comme une règle de taille de pari fixe – elle devrait être appliquée à la richesse actuelle à chaque fois, réduisant proportionnellement les paris à mesure que la richesse diminue.
- !En supposant que Kelly atteigne le rendement maximal attendu en dollars, cela maximise la croissance logarithmique (géométrique), et non le rendement arithmétique attendu.
Conseil Pro
Exécutez une simulation Monte Carlo de 1 000 chemins sur 100 paris en utilisant le Kelly complet, la moitié du Kelly et le quart du Kelly. La répartition des résultats finaux en matière de richesse démontre visuellement à la fois la tendance centrale supérieure de Kelly et les inconvénients catastrophiques du pari excessif – de manière bien plus convaincante que les seules formules.
Le saviez-vous?
John Kelly Jr. a publié son critère dans un article du Bell System Technical Journal de 1956 intitulé « Une nouvelle interprétation du taux d'information », encadrant le résultat en termes de théorie de l'information et de capacité des canaux de communication – et non de jeu. Le journal ne mentionne pas du tout les jeux de hasard. Ed Thorp a reconnu son application au blackjack et plus tard au marché boursier, traduisant efficacement Kelly de la théorie de l'information à la gestion pratique des investissements.
Références
- ›Kelly, J.L. (1956) : Une nouvelle interprétation du taux d'information, Bell System Technical Journal
- ›Thorp, E.O. (2006) : Le critère de Kelly dans le blackjack, les paris sportifs et le marché boursier
- ›MacLean, Thorp & Ziemba : le critère d'investissement de Kelly Capital Growth, World Scientific
- ›Investopedia : Définition du critère de Kelly
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