« Moyenne » est l’un des mots les plus utilisés et les plus mal utilisés en mathématiques. Dans le langage courant, cela signifie généralement une chose spécifique : additionner les nombres et diviser. Mais en statistique, il existe trois types distincts de moyennes, chacune adaptée à des situations différentes. Choisir le mauvais choix conduit à des conclusions trompeuses.
Les trois types de moyenne
1. Moyenne (Moyenne arithmétique)
La moyenne est ce que la plupart des gens entendent par « moyenne ». Additionnez toutes les valeurs et divisez par le nombre.
Mean = Sum of all values / Number of values
Exemple : Résultats des tests : 72, 85, 91, 68, 77, 95, 82
Somme = 72 + 85 + 91 + 68 + 77 + 95 + 82 = 570 Compte = 7 Moyenne = 570 / 7 = 81,4
Quand l'utiliser : Lorsque les données sont à peu près symétriques et sans valeurs aberrantes extrêmes. Fonctionne bien pour les hauteurs, les résultats des tests et les températures.
Quand NE PAS l'utiliser : Lorsqu'il existe des valeurs aberrantes. Un milliardaire parmi des salariés moyens rend le revenu moyen extrêmement trompeur.
2. Médiane (valeur moyenne)
La médiane est la valeur médiane lorsque les données sont triées dans l'ordre. La moitié des valeurs sont au-dessus, l'autre moitié en dessous.
Pour un nombre impair de valeurs : triez et prenez celle du milieu. Pour un nombre pair : triez et prenez la moyenne des deux valeurs moyennes.
Exemple (impair) : 72, 68, 85, 91, 77, 95, 82 Trier : 68, 72, 77, 82, 85, 91, 95 Médiane = 82
Exemple (pair) : 68, 72, 77, 82, 85, 91 Deux du milieu : 77 et 82 Médiane = (77 + 82) / 2 = 79,5
Quand l'utiliser : Lorsque les données comportent des valeurs aberrantes ou sont faussées. Les prix de l’immobilier, les salaires et la répartition des revenus utilisent toujours la médiane, car une poignée de valeurs extrêmes fausseraient la moyenne.
3. Mode (valeur la plus fréquente)
Le mode est la valeur qui apparaît le plus souvent. Un ensemble de données peut avoir un mode (unimodal), deux (bimodal) ou plus (multimodal). Si aucune valeur ne se répète, il n'y a pas de mode.
Exemple : Pointures de chaussures vendues en une semaine : 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10 Mode = 8 (apparaît 3 fois)
Quand l'utiliser : Données catégorielles, réponses à des enquêtes ou lorsque vous avez besoin de la valeur la plus courante plutôt que d'un centre mathématique. Un fabricant de chaussures se soucie de la mode, pas de la pointure moyenne.
Moyenne pondérée
Lorsque certaines valeurs comptent plus que d’autres, utilisez la moyenne pondérée :
Weighted mean = Σ(value × weight) / Σ(weights)
Exemple : Notes de modules universitaires avec différentes pondérations de crédits :
| Module | Grade | Crédits |
|---|---|---|
| Mathématiques | 72 | 30 |
| Anglais | 85 | 15 |
| Histoire | 68 | 15 |
| Science | 91 | 40 |
Moyenne pondérée = (72×30 + 85×15 + 68×15 + 91×40) / (30+15+15+40) = (2 160 + 1 275 + 1 020 + 3 640) / 100 = 8 095 / 100 = 80,95
Ceci est différent de la simple moyenne de 79,0 : la pondération en crédits plus élevée du module Sciences fait monter la moyenne.
Les calculs GPA, les rendements du portefeuille d’investissement et la notation des examens utilisent tous des moyennes pondérées.
Moyenne géométrique
Pour les quantités qui composent ou se multiplient (taux de croissance, retours sur investissement), utilisez la moyenne géométrique :
Geometric mean = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n)
Exemple : Rendements annuels sur investissement de +50 %, −30 %, +20 %
Moyenne simple = (+50 − 30 + 20) / 3 = +13,3 % — faussement optimiste
Moyenne géométrique = (1,50 × 0,70 × 1,20)^(1/3) − 1 = (1,26)^(1/3) − 1 = 1,0797 − 1 = +7,97% par an
Cela reflète la composition réelle : 1 000 £ → 1 500 £ → 1 050 £ → 1 260 £, ce qui donne une croissance annualisée de 7,97 % – et non de 13,3 %.
Quelle moyenne devriez-vous utiliser ?
| Situation | Meilleure moyenne |
|---|---|
| Données symétriques, pas de valeurs aberrantes | Signifier |
| Données asymétriques ou valeurs aberrantes présentes | Médian |
| Valeur la plus courante requise | Mode |
| Les valeurs ont une importance différente | Moyenne pondérée |
| Taux, ratios ou composition | Moyenne géométrique |
| Comparaisons salaire/revenu | Médian |
| Statistiques des prix des logements | Médian |
| Moyennes au bâton sportives | Moyenne (ou formule spécifique) |
| Retour sur investissement au fil des années | Moyenne géométrique |
Erreurs courantes
En supposant que « moyen » signifie toujours méchant. Lorsque vous voyez « salaire moyen » dans les reportages, demandez s'il s'agit d'un salaire moyen ou médian. La moyenne est généralement de 20 à 30 % plus élevée que la médiane en raison du fait que les hauts revenus faussent les données.
Pourcentages moyens sans pondération. Si votre portefeuille contient 1 000 £ dans le fonds A (+10 %) et 9 000 £ dans le fonds B (+2 %), le rendement moyen n'est PAS de 6 %. C'est (100 £ + 180 £) / 10 000 £ = 2,8 %.
Ignorer la distribution. La moyenne peut être la même pour des ensembles de données très différents. Une classe où tout le monde obtient un score de 70 % et une classe où la moitié obtient un score de 40 % et l'autre moitié un score de 100 % ont la même moyenne, mais des résultats d'apprentissage très différents.
Utilisez notre Calculateur de moyenne, médiane et notre Calculateur de moyenne pondérée pour calculer tout type de moyenne à partir de vos propres données.