What is Bond Price Calculator?
▾
תמחור אג"ח הוא תהליך קביעת הערך הנוכחי של תזרימי המזומנים העתידיים של אג"ח - תשלומי הקופון התקופתיים וההחזר הסופי של הקרן - בהיוון בתשואה הנדרשת של האג"ח (תשואה לפדיון). מחיר האג"ח הוא סכום הערכים הנוכחיים של כל תזרימי המזומנים הללו, והוא מייצג את שווי השוק ההוגן שהמשקיעים צריכים להיות מוכנים לשלם עבור האג"ח בהינתן תנאי השוק הנוכחיים. העיקרון הבסיסי הוא ערך הזמן של הכסף: דולר שמתקבל היום שווה יותר מדולר שיתקבל בעתיד, מכיוון שניתן להשקיע את הדולר של היום כדי להרוויח תשואה. לכן, יש להוזיל את תזרימי המזומנים העתידיים בחזרה להווה. שיעור ההיוון המשמש הוא תשואת האג"ח לפדיון (YTM), המשקפת את שיעור הריבית הנוכחית בשוק לאג"ח בעלות איכות אשראי ופדיון דומים, בתוספת כל תשואה נדרשת נוספת למאפיינים הספציפיים של האג"ח. הקשר בין מחירי האג"ח והתשואות הוא מרכזי בהשקעות בהכנסה קבועה. כאשר הריבית בשוק עולה, אג"ח קיימות עם קופונים קבועים נמוכים הופכות לפחות אטרקטיביות - משקיעים דורשים מחירים נמוכים יותר כדי לקבל את אותה תשואה כוללת כמו אג"ח חדשות. לעומת זאת, כאשר השערים יורדים, אג"ח קיימות עם קופון גבוה יותר הופכות ליותר ערך, מה שמביא את המחירים מעל הנקוב. קשר הפוך זה הוא דטרמיניסטי ומדויק מבחינה מתמטית. תמחור אג"ח יוצר שלושה תרחישים המבוססים על הקשר בין שער הקופון ל-YTM: (1) אג"ח נקוב - כאשר שער הקופון שווה ל-YTM, מחירי האג"ח בדיוק לפי הערך הנקוב ($1,000); (2) אג"ח דיסקונט - כאשר שיעור הקופון נמוך מה-YTM, המחיר יורד מתחת לערך כדי לפצות את הקונים על הקופון מתחת לשוק; (3) אג"ח פרימיום - כאשר שיעור הקופון עולה על ה-YTM, המחיר עולה מעל הנקוב המשקף את תשלומי הקופון הנ"ל. תמחור אג"ח מדויק עומד בבסיס כל דבר בשווקי הכנסה קבועה: עשיית שוק, הערכת שווי תיקים, הערכות בטחונות, חישובי הון רגולטוריים ומדידות ביצועים. הבנת נוסחת תמחור האג"ח היא בסיסית עבור כל מי שעובד או משקיע בניירות ערך בהכנסה קבועה.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
נוסחה
▾
P = C × [1 − (1+r)^−n] / r + F × (1+r)^−n
(כאשר r = YTM/m, n = שנים × m, C = F × CouponRate/m). נוסחה זו מחשבת את חישוב מחירי האג"ח על ידי קשר בין משתני הקלט באמצעות הקשר המתמטי שלהם. כל רכיב מייצג כמות מדידה שניתן לאמת באופן עצמאי.Variable Legend
▾
| סמל | שם | יחידה | תיאור |
|---|---|---|---|
| P | מחיר אג"ח | currency | הערך הנוכחי של כל תזרימי המזומנים העתידיים - שווי השוק ההוגן של האג"ח. |
| C | תשלום קופון | currency per period | תשלום ריבית תקופתי: C = ערך נקוב × תעריף קופון שנתי / תדירות קופון. |
| F | ערך נקוב (נקוב) | currency | סכום הקרן שנפרע במועד הפירעון; בדרך כלל 1,000 דולר לאגרות חוב של ארה"ב. |
| r | תשואה תקופתית | % per period | שיעור ההיוון לתקופה: r = YTM / m, כאשר m הוא תדירות הקופון. |
| n | מספר תקופות | count | סך כל תקופות הקופון שנותרו לפדיון: n = שנים × מ'. |
| YTM | תשואה לבגרות | % per year | התשואה הנדרשת השנתית המשמשת להיוון תזרימי מזומנים עתידיים; תשואת שוק נוכחית לאגרות חוב דומות. |
How to Bond Price Calculator
▾
- 1אסוף את הפרמטרים של האג"ח: ערך נקוב (F), שיעור הקופון השנתי, תדירות הקופון (מ' - בדרך כלל 2 לאג"ח חצי שנתיות בארה"ב), שנים עד לפדיון ותשואת השוק הנוכחית לפדיון (YTM).
- 2חשב את תשלום הקופון התקופתי: C = F × (תעריף קופון שנתי / מ'). עבור אגרת חוב של $1,000 עם קופון שנתי של 6% ששולם חצי שנתי: C = $1,000 × 0.03 = $30.
- 3חשב את שיעור ההיוון התקופתי: r = YTM / m. אם YTM = 5% ו-m = 2, אז r = 0.025 (2.5% לתקופה).
- 4חשב את המספר הכולל של תקופות: n = שנים עד לפדיון × m. לאגרת חוב חצי שנתית ל-10 שנים יש n = 20 תקופות.
- 5חשב את הערך הנוכחי של קצבת הקופון: PV_coupons = C × [1 − (1+r)^−n] / r. נוסחה זו מעריכה את זרם תשלומי הקופון השווים כקצבה.
- 6חשב את הערך הנוכחי של הערך הנקוב: PV_face = F / (1+r)^n. זה מפחית את החזר הקרן החד פעמי במועד הפירעון.
- 7סכם את שני המרכיבים: P = PV_coupons + PV_face. זהו המחיר המלא (המלוכלך) של האג"ח - אם מתמחרים בין תאריכי הקופון, הפחיתו ריבית שנצברה כדי לקבל את המחיר הנקי (המצוטט).
Worked Examples
▾
שיעור הקופון שווה ל-YTM: מחירי האג"ח בדיוק בשווי הנקוב.
כאשר שיעור הקופון שווה לתשואה לפדיון, מחיר האג"ח הוא בדיוק ערכה הנקוב. PV_coupons = $22.50 × [1-(1.0225)^-20]/0.0225 = $22.50 × 15.9827 = $359.61. PV_face = $1,000/(1.0225)^20 = $640.82. סך הכל = $359.61 + $640.82 = $1,000.43 ≈ $1,000 (עם עיגול). אג"ח ממשלתיות חדשות מונפקות בדרך כלל לפי או קרוב לשווי, כשהקופון מוגדר שווה לתשואת השוק הרווחת. זו הסיבה שמכירות פומביות חדשות של האוצר קובעות שיעורי קופונים השווים לתשואת סליקת המכרז.
YTM עולה על שיעור הקופון: איגרות חוב נסחרות בדיסקאונט - מחיר מתחת לנקוב.
עם תשואה תקופתית r = 3%, n = 14 תקופות, וקופון C = $20: PV_coupons = $20 × [1−(1.03)^−14]/0.03 = $20 × 11.2961 = $225.92. PV_face = $1,000/(1.03)^14 = $661.12 - למעשה $1,000/1.5126 = $661.12. מחיר = $225.92 + $661.12 = $887.04 ≈ $889 (הפרשי עיגול קטנים). איגרת החוב הזו נסחרת מתחת למחיר השוויון מכיוון שהקופון של 4% פחות אטרקטיבי מתשואת השוק של 6%. ההנחה של 111$ במחירים נוכחיים מספקת שבח הון בפדיון המשלים את הקופון מתחת לשוק כדי לספק את מלוא ה-YTM של 6%.
שיעור הקופון עולה על YTM: אג"ח נסחרת בפרמיה מעל הנקוב.
קופון שנתי C = $5,000 × 7% = $350. עם r = 5%, n = 5: PV_coupons = $350 × [1−(1.05)^−5]/0.05 = $350 × 4.3295 = $1,515.33. PV_face = $5,000/(1.05)^5 = $3,917.63. מחיר = $1,515.33 + $3,917.63 = $5,432.96. קופון האג"ח העירוני הזה של 7% מעל לשוק הופך אותו לרצוי: משקיעים הגישו את המחיר מעל 5,000 דולר לערך הנקוב, וכתוצאה מכך פרמיה של 432.95 דולר. הפרמיה מופחתת לאפס במהלך 5 שנים, כך שהתשואה הכוללת של המשקיע שווה ל-5% YTM למרות התשלום מעל הנקוב.
קופון אפס: כל התמורה מגיעה מהצטברות ממחיר הרכישה ועד לערך.
ללא תשלומי קופון, כל שוויה של האג"ח מגיע מהחזר הקרן במועד הפירעון. PV_face = $1,000 / (1.035)^30 = $1,000 / 2.8139 = $355.38 ≈ $354.49 (כנס הרכבה חצי שנתי). משקיע שמשלם היום 354.49 דולר יקבל 1,000 דולר בעוד 15 שנים - רווח של 645.51 דולר - ללא תזרימי מזומנים ביניים. הנחה עמוקה זו יוצרת סיכון ריבית משמעותי (משך זמן גבוה מאוד) אך ללא סיכון להשקעה מחדש. אג"ח קונצרניות בקופון אפס פופולריות למיקוד צרכי מזומנים עתידיים ספציפיים, כגון מימון חינוך של ילד או התחייבות ספציפית.
Real-World Applications
▾
הערכת תיק הכנסה קבועה: סימון אחזקות אג"ח לשוק תוך שימוש ברמות עקומת התשואה הנוכחיות. יישום זה משמש בדרך כלל אנשי מקצוע הזקוקים לניתוח כמותי מדויק כדי לתמוך בקבלת החלטות, תקצוב ותכנון אסטרטגי בתחומם.
הנפקת חוב תאגידי: תמחור הנפקות אג"ח חדשות ביחס לתשואות שוק דומות בזמן ההנפקה. העוסקים בתעשייה מסתמכים על חישוב זה כדי לסמן ביצועים, להשוות חלופות ולהבטיח עמידה בתקנים ודרישות רגולטוריות שנקבעו.
הון רגולטורי: הערכות שווי אגרות חוב לחישובי ספר בנקאות וספר מסחר. חוקרים וסטודנטים אקדמיים משתמשים בחישוב זה כדי לאמת מודלים תיאורטיים, להשלים מטלות קורסים ולפתח הבנה מעמיקה יותר של העקרונות המתמטיים הבסיסיים
ניהול בטחונות: קביעת שווי השוק של איגרות חוב המופקדות כבטוחות למטרות ריפו, נגזרים ומרווחים. אנליסטים ומתכננים פיננסיים משלבים את החישוב הזה בזרימת העבודה שלהם כדי לייצר תחזיות מדויקות, להעריך תרחישי סיכון ולהציג המלצות מבוססות נתונים לבעלי עניין
התאמת התחייבויות פנסיה וביטוחית: הערכת שווי נכסי אג"ח ביחס לתזרימי מזומנים מהתחייבות לניטור מצב ממומן. יישום זה משמש בדרך כלל אנשי מקצוע הזקוקים לניתוח כמותי מדויק כדי לתמוך בקבלת החלטות, תקצוב ותכנון אסטרטגי בתחומם.
Special Cases
▾
בפועל, מקרה קצה זה דורש התייחסות מדוקדקת מכיוון שהנחות סטנדרטיות עשויות שלא להתקיים. כאשר נתקלים בתרחיש זה בחישובי מחשבון מחירי אג"ח, על העוסקים לאמת את תנאי הגבול, לבדוק אם יש חלוקה לאפס סיכונים, ולשקול אם הנחות המודל נשארות תקפות בתנאים קיצוניים אלו.
בפועל, מקרה קצה זה דורש התייחסות מדוקדקת מכיוון שהנחות סטנדרטיות עשויות שלא להתקיים. כאשר נתקלים בתרחיש זה בחישובי מחשבון מחירי אג"ח, על העוסקים לאמת את תנאי הגבול, לבדוק אם יש חלוקה לאפס סיכונים, ולשקול אם הנחות המודל נשארות תקפות בתנאים קיצוניים אלו.
בפועל, מקרה קצה זה דורש התייחסות מדוקדקת מכיוון שהנחות סטנדרטיות עשויות שלא להתקיים. כאשר נתקלים בתרחיש זה בחישובי מחשבון מחירי אג"ח, על העוסקים לאמת את תנאי הגבול, לבדוק אם יש חלוקה לאפס סיכונים, ולשקול אם הנחות המודל נשארות תקפות בתנאים קיצוניים אלו.
תרחישי מחיר אג"ח: 1,000 $ ע"מ, מועד לפדיון 10 שנים, קופונים חצי שנתיים
▾
| תעריף קופון | שוק YTM | מחיר אג"ח | פרימיום / הנחה | מִיוּן |
|---|---|---|---|---|
| 2.0% | 5.0% | $767.59 | -232.41 דולר | הנחה עמוקה |
| 3.5% | 5.0% | 883.44 דולר | -116.56 דולר | דִיסקוֹנט |
| 5.0% | 5.0% | $1,000.00 | $0.00 | Par |
| 5.0% | 3.5% | $1,124.07 | +$124.07 | פּרֶמיָה |
| 7.0% | 4.0% | $1,243.33 | +243.33 דולר | פּרֶמיָה |
| 0.0% (קופון אפס) | 5.0% | 613.91 דולר | -386.09 דולר | הנחה עמוקה |
| 10.0% | 5.0% | $1,389.29 | +$389.29 | דיפ פרימיום |
Frequently Asked Questions
▾
מדוע מחיר האג"ח משתנה גם אם שום דבר לגבי האג"ח עצמו לא משתנה?
מחירי האג"ח משתנים ללא הרף עם שיעורי הריבית בשוק, גם כאשר תנאי האג"ח (קופון, מועד, ערך נקוב) נשארים קבועים. מכיוון שתשלומי הקופונים קבועים חוזית, עלייה בתשואות השוק הופכת את הקופונים הקבועים פחות אטרקטיביים יחסית - המשקיעים דורשים מחיר נמוך יותר כדי להשיג את תשואת השוק הגבוהה כיום על השקעתם. לעומת זאת, כשהשערים יורדים, הקופונים הקבועים הופכים לאטרקטיביים יותר והמשקיעים מציעים מחירים גבוהים יותר. איגרת חוב היא בעצם זרם תזרים מזומנים קבוע; המחיר שלו הוא הערך הנוכחי של אותו זרם בשיעור ההיוון הנוכחי של השוק, המשתנה ללא הרף עם התנאים הכלכליים, המדיניות המוניטרית ותיאבון הסיכון של המשקיעים.
מה ההבדל בין מחיר נקי למחיר מלוכלך?
מחיר נקי (או מחיר אחיד) הוא מחיר האג"ח ללא ריבית שנצברה - זהו המחיר המצוטט בשווקים הפיננסיים ובמקורות חדשותיים. מחיר מלוכלך (או מחיר מלא) כולל ריבית שנצברה - החלק מתשלום הקופון הבא שנצבר מאז תאריך התשלום האחרון של הקופון. כאשר אתה רוכש אג"ח בפועל בין תאריכי הקופון, אתה משלם את המחיר המלוכלך (מפצה את המוכר על הכנסת הקופון שהרוויח במהלך תקופת הבעלות שלו). המחיר המלוכלך = מחיר נקי + ריבית נצברת. הריבית המצטברת מתאפסת לאפס בכל תאריך תשלום קופון, ומסבירה מדוע נראה כי מחירי האג"ח יורדים באופן דיסקרטי בתאריכי הקופון בתרשימים המציגים מחירים מלוכלכים.
איך אני מתמחר איגרת חוב שמפגרת בעוד מספר שנים לא שלם?
בעת רכישת אג"ח בין תאריכי קופון, תמחור אג"ח סטנדרטי דורש התאמה לתקופה הראשונה השברית. הערך הנוכחי של הקופון הראשון מונחה לתקופה השברית תוך שימוש בתאריך הסילוק ותאריך הקופון הבא: PV_first_coupon = C / (1+r)^w, כאשר w הוא החלק שנותר מתקופת הקופון. תזרימי המזומנים הבאים מהוונים ב-(1+r)^(w + t − 1). מחשבונים פיננסיים ומערכות כמו בלומברג הופכות את החישוב הזה לאוטומטיות. המחיר המלא המתקבל כולל ריבית נצברת; הפחתת ריבית שנצברה נותנת את המחיר הנקי (המצוטט). זו הסיבה שנוסחת תמחור האג"ח בספרי הלימוד (בהנחה של תקופות שלמים) דורשת שינוי ליישום בעולם האמיתי.
מה קורה למחיר האג"ח כשהיא מתקרבת לפדיון?
כאשר איגרת חוב מתקרבת לפדיון, המחיר שלה מתכנס לכיוון הערך הנקוב שלה - תופעה זו נקראת 'משוך לשווי'. מסחר באג"ח דיסקונט ב-$900 יעלה בהדרגה לכיוון $1,000 ככל שתעבור כל תקופת קופון והערך הנוכחי המהוון של הערך הנקוב הופך גדול יותר ביחס לסך הכל. אג"ח פרמיה בסך 1,050 דולר תיפול בהדרגה לכיוון 1,000 דולר. משיכה זו מתרחשת גם ללא שינוי בריבית השוק, פשוט בשל חלוף הזמן והמכניקה של היוון ערך נוכחי. בתאריך הקופון הסופי (יום לפני הפירעון), מחיר האג"ח יהיה שווה לערך הנקוב בתוספת תשלום הקופון הסופי.
כיצד דירוג האשראי משפיע על תמחור האג"ח?
דירוג האשראי של סוכנויות (מודי'ס, S&P, פיץ') משפיע ישירות על תמחור האג"ח על ידי השפעה על ה-YTM הנדרש (שיעור הנחה). סיכון אשראי גבוה יותר דורש פרמיית תשואה גבוהה יותר (מרווח אשראי) מעל לאוצר נטולי סיכון, מה שמתורגם למחיר אג"ח נמוך יותר עבור אותו קופון. אג"ח תאגידית בדירוג BBB עשויה להיסחר במרווח של 150 נקודות בסיס על אג"ח, בעוד שאג"ח בדירוג BB עשויה לדרוש מרווח של 400 נקודות בסיס. כאשר אג"ח יורדת (למשל, מ-A ל-BBB), התשואה הנדרשת שלה עולה, מה שגורם לירידת מחירים מיידית. לעומת זאת, שדרוגי דירוג גורמים לעלייה במחיר. במקרים קיצוניים, הורדת דירוג לא-דירוג השקעה ('זבל') מאלצת את המשקיעים המוסדיים למכור עקב מגבלות מנדט, מה שגורם לירידות מחירים חדות.
האם מחיר אג"ח יכול אי פעם לחרוג מהערך הנקוב שלו בסכום גדול?
כן - איגרות חוב יכולות להיסחר משמעותית מעל הנקוב כאשר שיעור הקופון שלהן גבוה בהרבה מתשואות השוק הנוכחיות, או כאשר יש להן תכונות רצויות מאוד (למשל, סיכון אשראי נמוך במיוחד, נזילות גבוהה). במהלך סביבת התשואות הנמוכות של 2020–2021, אג"ח רבות ארוכות מועד עם קופונים של 5–7% נסחרו הרבה מעל 1,000 דולר כאשר תשואות השוק ירדו ל-1–2%. כמה איגרות חוב קונצרניות ארוכות טווח נסחרו מעל $1,300 או $1,400. הגבול העליון התיאורטי אינו מוגבל - ככל שהתשואות מתקרבות לאפס, מחירי האג"ח יכולים לעלות באופן תיאורטי מבלי להתחייב לאג"ח ארוכות לפדיון עם קופון גבוה. המגבלה המעשית נקבעת על ידי מחיר השיחה אם האג"ח ניתנת להמרה, מה שמונע מהמחירים לעלות יותר מדי מעל רמת השיחה.
במה שונה תמחור אג"ח באג"ח ממשלתיות לעומת אג"ח קונצרניות?
אג"ח ממשלתיות (אוצר, אג"ח, אג"ח) מתומחרות לפי אותה מסגרת ערך נוכחית אך נחשבות ללא סיכון מחדל, כך שה-YTM משקף רק את מרכיב הריבית חסרת הסיכון. אג"ח קונצרניות נושאות סיכון אשראי ולכן דורשות תשואה גבוהה יותר (מרווח אשראי) מעל תשואת האג"ח הממשלתיות, וכתוצאה מכך מחירים נמוכים יותר עבור אותו קופון ופדיון. מרווח האשראי מפצה את המשקיעים על הסיכון למחדל (אובדן קופון או קרן), סיכון הורדת דירוג ובדרך כלל נזילות נמוכה יותר בהשוואה לאג"ח ממשלתיות. לאג"ח עם תשואה גבוהה (זבל) יש פערי אשראי רחבים מאוד ונסחרות בהנחות עמוקות, בעוד שאג"ח בדרגת השקעה נסחרות בדרך כלל קרוב למרווחים צנועים.
Common Mistakes to Avoid
▾
- !שימוש בקופון שנתי בנוסחה ללא חלוקה בתדירות הקופון עבור איגרות חוב חצי שנתיות - זה מפרט את תשלומי הקופונים ומציג את המחיר בצורה שגויה.
- !שימוש ישירות ב-YTM כשיעור ההיוון התקופתי במקום לחלק ב-m - עבור איגרות חוב חצי שנתיות, השיעור התקופתי חייב להיות YTM/2.
- !שוכחים לכלול את החזר הערך הנקוב בפדיון בנוסחת התמחור - הערך הנוכחי של הערך הנקוב מייצג לרוב 50-70% ממחיר האג"ח הכולל של אג"ח ארוכות מועד.
- !שימוש במחיר הנקי כעלות בפועל כאשר אג"ח נרכשת בין מועדי הקופון - המשקיעים משלמים את המחיר המלוכלך (מחיר נקי + ריבית נצברת).
- !בהנחה שמחיר האג"ח הוא סטטי - מחירי האג"ח משתנים ללא הרף ככל שתשואות השוק משתנות, ואפילו אם כל שערי השוק קבועים, המחירים משתנים עם הזמן עקב דינמיקת משיכה ל-par.
Pro Tip
השתמש בערך הנוכחי של נוסחת קצבה עבור זרם הקופון במקום היוון כל קופון בנפרד - זה שווה ערך מבחינה חישובית אבל הרבה יותר יעיל, במיוחד עבור אג"ח עם תקופות רבות שנותרו (למשל, 60 תקופות לאגרת חוב חצי שנתית ל-30 שנה).
Did you know?
איגרת החוב הוותיקה בעולם הנסחרת ברציפות הונפקה על ידי רשות ניהול המים ההולנדית Stichtse Rijnlanden בשנת 1648 כדי לממן תיקוני סוללות. האג"ח התמידי הזה - שעדיין משלם ריבית שנתית באירו - זוכה לכבוד כבר למעלה מ-375 שנים ונרכש לאחרונה על ידי ספריית הספרים הנדירים של אוניברסיטת ייל בשל משמעותה ההיסטורית.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
References
Ratings & comments
קבל טיפים שבועיים למתמטיקה
הצטרפו למנויי 12,000+ שמקבלים טיפים למחשבון מדי שבוע.