What is Bond Duration & Convexity?
▾
משך זמן וקמור הם שני המדדים הבסיסיים של רגישות אג"ח לשינויים בשיעורי הריבית. יחד הם מאפשרים למשקיעים להעריך כמה ישתנה מחיר האג"ח כאשר התשואות יעברו, מה שמאפשר ניהול מדויק של סיכוני הריבית בתיקי ההכנסה הקבועה. משך יש שתי צורות עיקריות. משך מקאוליי, שהוצג על ידי פרדריק מקאוליי ב-1938, הוא הזמן הממוצע המשוקלל לקבלת תזרימי המזומנים של האג"ח (תשלומי קופון וקרן), עם משקלים פרופורציונליים לערכו הנוכחי של כל תזרים מזומנים. הוא מתבטא בשנים ומייצג את 'זמן ההחזר' האפקטיבי של השקעת האג"ח. משך ה-Macalay של אג"ח קופון אפס שווה לפדיון שלה מאחר שכל תזרים המזומנים מתקבל בסוף; משך ה- Macaulay של אג"ח קופון קצר מהמועד מכיוון שתשלומי קופון ביניים מפחיתים את זמן ההמתנה האפקטיבי. Modified Duration ממיר את Macaulay Duration למדד ישיר של רגישות המחיר: הוא מעריך את אחוז השינוי במחיר האג"ח עבור שינוי של 1% (100 נקודת בסיס) בתשואה. Modified Duration = Macaulay Duration / (1 + y/m), כאשר y היא התשואה לפדיון ו-m היא מספר תקופות הקופון בשנה. לדוגמה, איגרת חוב עם משך זמן שונה של 7 צפויה לרדת בכ-7% במחיר אם התשואות יעלו ב-100 נקודות בסיס - או לעלות ב-7% אם התשואות יורדות ב-100 נקודות בסיס. קמור הוא המדד מסדר שני לרגישות המחיר - הוא לוכד את העקמומיות ביחסי מחיר-תשואה שמשך הזמן לבדו מפספס. מכיוון שלמחירי האג"ח והתשואות יש קשר קמור (מעוקל) ולא ליניארי, משך הזמן ממעיט בערכת עליות המחירים כאשר התשואות יורדות ומעריך יתר על המידה את ירידות המחירים כאשר התשואות עולות. הוספת התאמת הקמור מייצרת אומדן שינוי מחיר מדויק יותר, במיוחד עבור תנועות תשואה גדולות. קמורות חיובית (מאפיינת אג"ח סטנדרטיות) פירושה שהאג"ח נהנית מתנועות ריבית בשני הכיוונים ביחס לקירוב משך הזמן הליניארי. ניירות ערך מגובי משכנתאות יכולים להפגין קמורות שלילית כאשר שיעורי ירידה גורמים לתשלומים מראש. מושגים אלה הם הבסיס לחיסון תיקי אג"ח, אסטרטגיות השקעה מונעות אחריות (LDI) וניהול סיכונים בהכנסה קבועה בבנקים, חברות ביטוח וקרנות פנסיה.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
נוסחה
▾
משך שונה = משך Macaulay / (1 + י/מ')
ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)². נוסחה זו מחשבת את קמורות משך הזמן על ידי קשר בין משתני הקלט באמצעות הקשר המתמטי שלהם. כל רכיב מייצג כמות מדידה שניתן לאמת באופן עצמאי.Variable Legend
▾
| סמל | שם | יחידה | תיאור |
|---|---|---|---|
| D_Mac | משך מקאוליי | years | הזמן הממוצע המשוקלל לקבלת כל תזרימי המזומנים, כאשר משקלים שווים לערך הנוכחי של כל תזרים מזומנים חלקי מחיר האג"ח הכולל. |
| D_mod | משך שונה | years (% per 1% yield change) | אחוז השינוי המשוער במחיר לכל שינוי של 1% בתשואה: D_mod = D_Mac / (1 + y/m). |
| C | קְמִירוּת | years squared | המדד מסדר שני לרגישות מחירים; לוכד את העקמומיות של יחסי מחיר-תשואה שלא נתפסו על ידי משך הזמן. |
| y | תשואה לבגרות | % | התשואה השוטפת לפדיון של האג"ח, משמשת להיוון תזרימי המזומנים ולחישוב משך הזמן. |
| m | תדירות הקופונים | payments per year | מספר תשלומי הקופון בשנה (לדוגמה, 2 עבור חצי שנתי, 1 עבור שנתי). |
| ΔP/P | שינוי מחיר (%) | % | אחוז שינוי משוער במחיר האג"ח: ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)² |
How to Bond Duration & Convexity
▾
- 1רשום את כל תזרימי המזומנים העתידיים של האג"ח עם העיתוי שלהם: תשלומי קופון (קופון = ערך נקוב × שער קופון / מ') בכל תקופה והחזר הערך הנקוב בפדיון.
- 2היוון כל תזרים מזומנים לערכו הנוכחי באמצעות התשואה לפדיון: PV_t = CF_t / (1 + y/m)^t, כאשר t הוא מספר התקופה.
- 3סכם את כל הערכים הנוכחיים כדי לקבל את מחיר האג"ח: P = Σ PV_t.
- 4חישוב משך Macaulay: D_Mac = Σ [t × PV_t] / P - הזמן הממוצע המשוקלל (בתקופות), ולאחר מכן חלקו ב-m כדי להמיר לשנים.
- 5חישוב משך שינוי: D_mod = D_Mac / (1 + y/m). זוהי רגישות המחיר מסדר ראשון של האג"ח - הכפל ב-1 ושינוי התשואה כדי להעריך את אחוז השינוי במחיר.
- 6חישוב קמור: C = [Σ t(t+1) × PV_t / (1+y/m)²] / (P × m²). מונח מסדר שני זה מתאים את אומדן משך הזמן לעקמומיות של עקומת המחיר-תשואה.
- 7עבור שינוי תשואה נתון Δy: אומדן ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)². עבור Δy קטן (<25 bps), מונח משך הזמן לבדו מספיק בדרך כלל; עבור שינויים גדולים יותר, הקמור הופך לחומר.
Worked Examples
▾
איגרת חוב: מחיר = 1,000 דולר. עליית תשואה של 100 נקודות בסיס → כ. -7.93% שינוי במחיר.
כאשר שיעור הקופון של אג"ח שווה לתשואה לפדיון, היא נסחרת לפי הנקוב ($1,000). משך Macaulay של 8.11 שנים משקף את הזמן הממוצע המשוקלל לקבלת תזרימי מזומנים על פני 10 שנים של קופונים חצי שנתיים בתוספת הקרן הסופית. משך זמן שונה של 7.93 פירושו שהאג"ח מאבדת בערך 7.93% במחיר עבור כל עלייה של 1% בתשואות. עבור עליית תשואה של 100 נקודות בסיס: ΔP/P ≈ −7.93% × 1% + 0.5 × 79.5 × (0.01)² ≈ −7.93% + 0.40% = −7.53%, מראה כיצד הקמירות מקזזת חלקית את משך הזמן.
קופון אפס: משך הזמן שווה לבשלות. משך הזמן הגבוה ביותר לפדיון נתון - רגישות שיעור מקסימלית.
אג"ח קופון אפס לא משלם קופונים ביניים - כל תזרים המזומנים מגיע לפדיון. לכן, משך המקאוליי שלו שווה בדיוק לבגרותו (20 שנה). עם משך שונה של 19.05, עליית תשואה של 1% גורמת לירידת מחיר של כ-19.05% - מה שהופך את האג"ח הזה לרגישה ביותר לשינויים בריבית. הקמור הגבוה מאוד של 399.7 מספק הגנה מהותית מפני מהלכי תשואה גדולים, אך האג"ח נותרה המכשיר הרגיש ביותר לריבית לפדיון שלה. אגרות חוב אפס נמצאות בשימוש נרחב באסטרטגיות השקעה מונעות התחייבויות כדי להתאים במדויק התחייבויות ארוכות טווח.
קופון גבוה ביחס לתשואה - נסחר מעל הנקוב (אג"ח פרמיה). רגישות לקצב נמוך.
עם קופון של 6% ו-5% YTM, איגרת חוב זו נסחרת מעל הנקוב (אג"ח פרמיה, מחיר ≈ $1,027.23). הקופון הגבוה מאיץ את קבלת תזרים המזומנים, ומצמצם את משך Macaulay ל-2.74 שנים למרות מועד של 3 שנים. משך זמן שונה של 2.67 פירושו רק שינוי מחיר של 2.67% לכל מהלך תשואה של 1% - מה שהופך את האג"ח הזו לרגישה לריבית הרבה פחות מאג"ח האוצר ל-10 שנים או אג"ח אפס קופון. אג"ח קונצרניות לזמן קצר משמשות להפחתת סיכון הריבית תוך כדי רווחי אשראי מעל תשואות האג"ח הממשלתיות.
משך התיק הוא הממוצע המשוקלל לערך של משכי הזמן של הרכיבים.
משך התיק = 0.40 × 4.3 + 0.60 × 11.2 = 1.72 + 6.72 = 8.44. סולם אג"ח זה המשלב אג"ח קצרות וארוכות משיג משך ביניים של 8.44 שנים - בדומה לאוצר ל-10 שנים - מבלי להחזיק באג"ח אחת ל-10 שנים. Laddering מספק הטבות נזילות (איגרות חוב מפשילות מעת לעת) ומאפשרת מיקוד מדויק של משך זמן. מנהל תיקים המכוון למשך זמן של 8.0 יכול להתאים את המשקולות בין אג"ח A לאג"ח B כדי להשיג את היעד המדויק באמצעות אלגברה ליניארית פשוטה.
Real-World Applications
▾
חיסון תיק אג"ח: התאמת משך הנכס למשך ההתחייבות לקרנות פנסיה וחברות ביטוח. יישום זה משמש בדרך כלל אנשי מקצוע הזקוקים לניתוח כמותי מדויק כדי לתמוך בקבלת החלטות, תקצוב ותכנון אסטרטגי בתחומם.
גידור ריבית: חישוב חוזים עתידיים על האוצר או יחסי גידור חילופי ריבית באמצעות DV01. העוסקים בתעשייה מסתמכים על חישוב זה כדי לסמן ביצועים, להשוות חלופות ולהבטיח עמידה בתקנים ודרישות רגולטוריות שנקבעו.
ניהול סיכוני הכנסה קבועה: מחשוב משך התיק ומגבלות DV01 עבור שולחנות מסחר. חוקרים וסטודנטים אקדמיים משתמשים בחישוב זה כדי לאמת מודלים תיאורטיים, להשלים מטלות קורסים ולפתח הבנה מעמיקה יותר של העקרונות המתמטיים הבסיסיים
בניית אסטרטגיית השקעות מונעות אחריות (LDI) עבור נכסי תוכנית פנסיה בהטבה מוגדרת. אנליסטים ומתכננים פיננסיים משלבים את החישוב הזה בזרימת העבודה שלהם כדי לייצר תחזיות מדויקות, להעריך תרחישי סיכון ולהציג המלצות מבוססות נתונים לבעלי עניין
הון רגולטורי: חישובי הון סיכון ריבית המבוססים על משך זמן לפי תקני באזל III נדבך 1 ו-IRBB. יישום זה משמש בדרך כלל אנשי מקצוע הזקוקים לניתוח כמותי מדויק כדי לתמוך בקבלת החלטות, תקצוב ותכנון אסטרטגי בתחומם.
Special Cases
▾
בפועל, מקרה קצה זה דורש התייחסות מדוקדקת מכיוון שהנחות סטנדרטיות עשויות שלא להתקיים. כאשר נתקלים בתרחיש זה בחישובי משך האג"ח והקמורות, על העוסקים לאמת את תנאי הגבול, לבדוק אם יש סיכונים בחלוקה לאפס, ולשקול אם הנחות המודל נשארות תקפות בתנאים קיצוניים אלו.
בפועל, מקרה קצה זה דורש התייחסות מדוקדקת מכיוון שהנחות סטנדרטיות עשויות שלא להתקיים. כאשר נתקלים בתרחיש זה בחישובי משך האג"ח והקמורות, על העוסקים לאמת את תנאי הגבול, לבדוק אם יש סיכונים בחלוקה לאפס, ולשקול אם הנחות המודל נשארות תקפות בתנאים קיצוניים אלו.
בפועל, מקרה קצה זה דורש התייחסות מדוקדקת מכיוון שהנחות סטנדרטיות עשויות שלא להתקיים. כאשר נתקלים בתרחיש זה בחישובי משך האג"ח והקמורות, על העוסקים לאמת את תנאי הגבול, לבדוק אם יש סיכונים בחלוקה לאפס, ולשקול אם הנחות המודל נשארות תקפות בתנאים קיצוניים אלו.
משך וקימור אופייניים לפי סוג קשר (בערך, סביבת תעריף 2024)
▾
| סוג איגרות חוב | בַּגרוּת | משך שונה | קְמִירוּת | רגישות מחיר ל-+100bps |
|---|---|---|---|---|
| 3 חודשי חיוב כספי | 3 חודשים | 0.25 | 0.06 | -0.25% |
| שטר אוצר לשנתיים | 2 שנים | 1.85 | 3.9 | -1.85% |
| שטר אוצר ל-5 שנים | 5 שנים | 4.40 | 21.0 | −4.40% |
| אג"ח אוצר ל-10 שנים | 10 שנים | 7.95 | 79.5 | −7.55% |
| אג"ח אוצר ל-30 שנה | 30 שנה | 16.50 | 367.0 | −14.66% |
| אג"ח אפס קופון ל-10 שנים | 10 שנים | 9.52 | 98.0 | -9.05% |
| אג"ח תאגיד של IG (10 שנים) | 10 שנים | 7.40 | 72.0 | −7.04% |
| אג"ח עם תשואה גבוהה (5 שנים) | 5 שנים | 3.80 | 16.5 | −3.61% |
| MBS Pass-Through | ~ 30 שנה נומינלי | 3.0 - 5.0 | שְׁלִילִי | −3% עד −5% |
Frequently Asked Questions
▾
מה ההבדל המעשי בין Macaulay ל-Modified Duration?
Macaulay Duration מבוטא בשנים ומייצג את הזמן הממוצע המשוקלל לקבלת תזרימי המזומנים של האג"ח - זהו מדד של זמן, לא ישירות מדד רגישות למחיר. Modified Duration הוא הנגזרת הראשונה של מחיר האג"ח ביחס לשינוי התשואה (מחולק במחיר), ומודד ישירות את אחוז השינוי במחיר לשינוי של 1% בתשואה. עבור יישומים מעשיים - אומדן כמה שווי האג"ח ישתנה כאשר השערים יזוזו - Modified Duration הוא המדד הרלוונטי. Macaulay Duration שימושי יותר מבחינה רעיונית (הבנת העיתוי של תזרימי מזומנים) ולבניית תיקים מחוסנים (התאמת משך הנכס למשך ההתחייבות בשנים).
מדוע הקמורות חשובה ומתי היא הופכת להיות חשובה?
קמור לוכדת את העקמומיות ביחסי מחיר-תשואה. משך הזמן לבדו מספק קירוב ליניארי של שינויים במחיר, אבל עקומת המחיר-תשואה בפועל היא קמורה - היא מתעקלת כלפי מעלה. לשינויים קטנים בתשואה (פחות מ-25 נקודות בסיס), משך זמן מספיק בדרך כלל. עבור תנועות תשואה גדולות יותר (50-200+ נקודות בסיס), הקמירות הופכת יותר ויותר מהותית. במהלך תנועות הריבית הדרמטיות של 2022 (הפדרל ריזרב העלה את הריבית ב-425 נקודות בסיס בשנה אחת), משקיעים בעלי קמורות מחושבת כהלכה היו הרבה יותר מדויקים בהערכת הפסדי תיקים מאשר אלה שהסתמכו על משך הזמן בלבד. קמורות גבוהה יותר רצויה בדרך כלל מכיוון שמשמעות הדבר היא שהאג"ח מפסיד פחות כאשר הריבית עולה ומרוויח יותר כאשר הריבית יורדת.
מהי קמורות שלילית ואילו קשרים מפגינים אותה?
לרוב איגרות החוב הסטנדרטיות יש קמור חיובי - עליות המחירים מואצות כאשר התשואות יורדות והפסדי המחירים מאטים כאשר התשואות עולות. קמורות שלילית היא הפוכה: עליות המחירים איטיות כאשר התשואות יורדות והפסדי המחירים מואצים כאשר התשואות עולות. זה קורה עם איגרות חוב ניתנות להמרה (המנפיק מתקשר לאג"ח כשהשערים יורדים, מכסים את ייסוף המחירים) וניירות ערך מגובי משכנתאות (בעלי בתים משלמים מראש משכנתאות כשהשערים יורדים, ומקצרים את משך נייר הערך בדיוק כשאתה רוצה שהוא ארוך). צפים הפוכים יכולים גם להפגין קמורות שלילית. ניירות ערך בעלי קמורות שלילית מציעים בדרך כלל תשואות גבוהות יותר כדי לפצות את המשקיעים על מאפיין לא חיובי זה.
כיצד משמש משך הזמן בחיסון תיק אג"ח?
חיסון הוא האסטרטגיה של התאמת משך התיק למשך ההתחייבויות היעד שלו, כך ששינויים בשיעורי הריבית משפיעים באופן שווה על הנכסים וההתחייבויות - ומשאירים את עודפי המימון ללא שינוי. קרן פנסיה עם התחייבויות בעלות משך אפקטיבי של 12 שנים תתמקד בתיק אג"ח עם משך זמן שונה של 12 שנים. כאשר השיעורים עולים, הן ערכי הנכסים והן ערכי ההתחייבות יורדים באופן יחסי, ומשאירים את יחס המימון כמעט ללא שינוי. חיסון מלא מצריך גם קמורות תואמת: אם קמורות הנכס עולה על קמורות ההתחייבות, התיק ממוקם בצורה חיובית (רווחים מכל שינוי תשואה). אסטרטגיות השקעות מונעות אחריות (LDI) המשמשות קרנות פנסיה וחברות ביטוח בנויות על מסגרת זו.
מהו משך הדולר (DV01) וכיצד משתמשים בו?
משך דולר, המבוטא בדרך כלל כ-DV01 (ערך דולר של נקודת בסיס) או PVBP (ערך מחיר של נקודת בסיס), מודד את השינוי במחיר האג"ח במונחים דולריים עבור שינוי של נקודת בסיס אחת (0.01%) בתשואה. DV01 = משך שונה × מחיר אג"ח × 0.0001. לדוגמה, אג"ח עם משך זמן שונה של 8 ומחיר של $1,000,000 יש DV01 = 8 × $1,000,000 × 0.0001 = $800. DV01 נמצא בשימוש נרחב על ידי סוחרי הכנסה קבועה ומנהלי תיקים כדי להגדיל את הפוזיציות, לחשב יחסי גידור ולתקשר סיכון במונחים דולריים ולא באחוזים - וזה יותר אינטואיטיבי עבור תיקים גדולים ודסקי מסחר.
איך שיעור הקופון משפיע על משך הזמן?
שיעורי קופון גבוהים יותר מייצרים משכי זמן קצרים יותר, ושיעורי קופון נמוכים יותר (או אפסיים) מייצרים משכי זמן ארוכים יותר, עבור אג"ח עם אותו מועד. הסיבה לכך היא שקופונים גבוהים יותר פירושם שהמשקיע מקבל חלק גדול יותר מכלל תזרימי המזומנים מוקדם יותר (כתשלומי קופונים ביניים), מה שמפחית את הזמן הממוצע המשוקלל עד לקבלת תזרים המזומנים (משך מקאוליי). אג"ח עם קופון גבוה פחות רגיש לריבית מאשר אג"ח עם קופון נמוך באותו מועד. קשר זה מסביר מדוע לאג"ח קופון אפס יש את משך הזמן המקסימלי האפשרי (שווה לפדיון) עבור כל אורך פדיון ורמת תשואה נתונה.
כיצד משפיעה רמת התפוקה על משך הזמן והקמור?
משך הזמן והקמור שניהם רגישים לרמת התשואה הרווחת. כאשר התשואות נמוכות, משך הזמן הוא בדרך כלל גבוה יותר (מכיוון ששיעורי ההיוון נמוכים, מה שהופך את תזרימי המזומנים המרוחקים ליותר ערך), והקמורות גבוהה יותר. כאשר התשואות גבוהות, משך הזמן נמוך יותר והקמור נמוך יותר. זה רלוונטי במיוחד בסביבה הנוכחית שבה התעריפים עלו משמעותית מרמות כמעט אפס - לתיקים שנראה היה להם סיכון משך גבוה בשנים 2020-2021 יש כעת משך אפקטיבי נמוך יותר ברמות תשואה גבוהות יותר. תלות זו בתשואות פירושה שיש לחשב מחדש את משך הזמן בכל פעם שהתשואות נעות באופן משמעותי, והערכות משך זמן סטטיות יכולות להתייאש במהירות בסביבות קצב תנודתיות.
Common Mistakes to Avoid
▾
- !מבלבלים בין משך Macaulay (בשנים, מבוסס זמן) עם משך שונה (בשנים, אבל למעשה מדד רגישות למחיר) - יש להם פרשנויות ושימושים שונים.
- !התעלמות מקמורות עבור תנועות תשואה גדולות - עבור שינויים בתשואה העולים על 50 נקודות בסיס, מונח הקמור הופך מהותי ויש לכלול אותו בהערכות שינויי המחיר.
- !בהנחה שהמשך קבוע - משך הזמן משתנה ככל שהתשואות נעות, הזמן חולף ותזרימי המזומנים מתקבלים; יש לחשב אותו מחדש באופן קבוע לצורך ניטור סיכוני תיקים מדויק.
- !החלת משך זמן שונה על אג"ח עם אופציות משובצות (ניתנות להמרה, ניתנות להנחה, מגובות משכנתא) - יש להשתמש בתקופת אופציה מותאמת (OAD) או משך זמן אפקטיבי עבור ניירות ערך אלה.
- !שימוש במשך זמן בלבד כדי להשוות בין תיקי אג"ח עם פרופילי קמור שונים - לשני תיקים בעלי משך זמן שווה אך בעל קמורות שונה מאוד, יש פרופילי סיכון שונים באופן משמעותי בסביבות שערים לא ליניאריים.
Pro Tip
לניהול סיכוני הכנסה קבועה מעשי, השתמש ב-Dollar Duration (DV01) כדי להעביר סיכון במונחים כספיים ולא באחוזים. תיק עם $5,000 DV01 משתנה בערך ב-$5,000 עבור כל מהלך של נקודת בסיס בתשואות - ניתן לפירוש מיד על ידי סוחרים, מנהלי סיכונים ומנהלי תיקים.
Did you know?
המאמר של פרדריק מקאוליי משנת 1938 המציג את משך Macaulay היה חלק ממחקר ציון דרך שהוזמן על ידי הלשכה הלאומית למחקר כלכלי על שיעורי הריבית בארה"ב שנפרשו על פני יותר ממאה שנה. מושג משך הזמן התעלם במידה רבה במשך כמעט שלושה עשורים עד שתיאוריית החיסונים התעוררה בה מחדש במהלך שנות ה-60 וה-70.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
References
קבל טיפים שבועיים למתמטיקה
הצטרפו למנויי 12,000+ שמקבלים טיפים למחשבון מדי שבוע.