What is Portfolio Variance & Std Dev?
▾
שונות בתיק מודד את הסיכון הכולל של שילוב של השקעות על ידי התחשבות לא רק בסיכון האישי של כל נכס, אלא גם איך הם נעים זה ביחס לזה. כאשר שני נכסים נוטים לנוע באותו כיוון בו-זמנית, שילובם אינו מפחית את הסיכון. אבל כשהם נעים בכיוונים מנוגדים - או אפילו רק אחרת - ערבוב ביניהם יוצר תיק תנודתי פחות מכל רכיב בודד. זהו המנוע המתמטי מאחורי הפיזור, וזו הסיבה שהחזקת תמהיל של מניות, אג"ח, נדל"ן וסחורות יכולה להפחית את הסיכון הכולל בתיק מבלי להקריב בהכרח תשואה. רעיון זה נכתב על ידי הארי מרקוביץ במאמרו 'בחירת תיקים' משנת 1952, אשר זיכה אותו בפרס נובל לכלכלה בשנת 1990. לפני מרקוביץ', המשקיעים התמקדו כמעט לחלוטין בבחירת ניירות ערך בודדים טובים. התובנה שלו הייתה שהתיק בכללותו חשוב יותר מכל מניה בודדת - ושקורלציה בין נכסים היא המפתח להבנת הסיכון המשולב. המסגרת שלו, הנקראת כיום תיאוריית התיק המודרנית (MPT), הציגה את הרעיון של הגבול היעיל: קבוצת התיקים המציעים את התשואה הגבוהה ביותר עבור כל רמת סיכון נתונה, או את הסיכון הנמוך ביותר עבור כל תשואה נתונה. למעשה, שונות התיק מחושבת באמצעות משקלו של כל נכס, השונות האינדיבידואלית שלו (או סטיית התקן) והשונות המשותפת הזוגית בין כל שילוב של נכסים. עם שני נכסים זו נוסחה פשוטה; עם עשרים נכסים אתה צריך מטריצת שיתופיות של 20×20. תוכנת אופטימיזציית תיקים מודרנית מטפלת באלגברה מטריצת זו באופן אוטומטי, אך הבנת ההיגיון הבסיסי - שהפחתת מתאם זוגי ממוצע מפחית את השונות בתיק - חיונית לכל משקיע הבונה אסטרטגיה מרובת נכסים. שונות בתיק היא גם מרכזית בדיווח סיכונים בניהול השקעות מקצועי. מודלים של גורמים מפרקים את שונות התיק לתרומות מסיכון שוק, הטיות מגזר, חשיפות בסגנון וסיכון אידיוסינקרטי, ומאפשרים למנהלי תיקים להבין בדיוק מאיפה הסיכון שלהם מגיע והאם הם מקבלים פיצוי על כך.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
נוסחה
▾
שני נכסים: σ²_p = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2·w₁·w₂·ρ₁₂·σ₁·σ₂
N-asset: σ²_p = Σᵢ Σⱼ wᵢ·wⱼ·σᵢⱼ (צורת מטריצה: σ²_p = wᵀ·Σ·w)
Portfolio Std Dev (σ_p) = √σ²_p
שיתופיות: σᵢⱼ = ρᵢⱼ·σᵢ·σⱼVariable Legend
▾
| סמל | שם | יחידה | תיאור |
|---|---|---|---|
| wᵢ | משקל נכס | decimal (0–1) | שיעור שווי התיק שהוקצה לנכס i; כל המשקולות חייבות להסתכם ב-1 |
| σᵢ | סטיית תקן של נכס | % per year | הפרמטר σᵢ מייצג קלט כמותי מרכזי בחישוב שונות התיק, הנמדד ביחידה הסטנדרטית שלו ומשפיע ישירות על התוצאה המחושבת באמצעות הנוסחה המתמטית |
| ρᵢⱼ | מקדם מתאם | dimensionless (−1 to +1) | מתאם פירסון בין תשואות נכס i ו-j; −1 = שלילי מושלם, 0 = לא מתאם, +1 = חיובי מושלם |
| σᵢⱼ | שיתוף פעולה | % squared per year | שונות משותפת של נכסים i ו-j; שווה ρᵢⱼ × σᵢ × σⱼ |
| Σ | מטריצת שיתוף פעולה | matrix | N×N מטריצה סימטרית של כל השונות הזוגית; הקלט הליבה לאופטימיזציה של תיק עבודות |
How to Portfolio Variance & Std Dev
▾
- 1רשום כל נכס בתיק עם שווי השוק הנוכחי שלו, ולאחר מכן מחשב את משקלו של כל נכס כשוויו חלקי ערך התיק הכולל.
- 2אסוף את סטיית התקן השנתית (תנודתיות) עבור כל נכס - בדרך כלל מוערכת מ-3-5 שנים של תשואות חודשיות, ולאחר מכן במדד שנתי (כפיל את σ החודשי ב-√12).
- 3בנה את מטריצת המתאם הזוגית: עבור כל זוג נכסים, חשב את המתאם של סדרת התשואה ההיסטורית שלהם. רוב תוכנות הפורטפוליו או הגיליונות האלקטרוניים יכולים לחשב זאת מהיסטוריית החזרות.
- 4המרת מתאמים ל-covariances: σᵢⱼ = ρᵢⱼ × σᵢ × σⱼ עבור כל זוג.
- 5עבור שני נכסים, החל את הנוסחה הישירה. לנכסים נוספים, חשב את wᵀΣw באמצעות כפל מטריצה - זהו המכפלה הפנימית של וקטור המשקל עם מטריצת השונות.
- 6קח את השורש הריבועי של שונות התיק כדי לקבל סטיית תקן של תיק (σ_p) - מדד הסיכון האינטואיטיבי יותר מבוטא באחוזים.
- 7השווה את σ_p לממוצע המשוקלל של ערכי σ בודדים (Σwᵢσᵢ). ההבדל הוא יתרון הפיזור - כמה סיכון נמנעתם על ידי שילוב נכסים במקום החזקת כל אחד בנפרד.
Worked Examples
▾
σ הממוצע המשוקלל יהיה 0.60×18+0.40×6 = 13.2%; התיק משיג רק 10.5% - חוסך 2.7% מהסיכון באמצעות פיזור.
המתאם השלילי בין מניות לאג"ח (איגרות חוב מתגברות לעתים קרובות כאשר המניות נופלות) הוא המקור להפחתת הסיכון. זו הסיבה שהתיק 60/40 הפך להקצאת ברירת המחדל המאוזנת עבור קרנות פנסיה והקדשים במשך עשרות שנים - הוא לוכד תשואות מניות תוך שיכוך משמעותי של התנודתיות.
לשתי מניות באותו מגזר יש מתאם גבוה מאוד; הפיזור חוסך רק ~1% מהסיכון לעומת הממוצע המשוקלל של 29%.
כאשר נכסים נמצאים בקורלציה גבוהה, שילובם מייצר תועלת גיוון מינימלית. החזקת שתי מניות טכנולוגיה בקושי שונה מהחזקת מניית טכנולוגיה אחת בגודל כפול. גיוון אמיתי דורש נכסים המגיבים אחרת לתנאים הכלכליים - לא רק שמות חברות שונים באותו מגזר.
הוספת זהב (מתאם קרוב לאפס עם שניהם) מפחיתה את התנודתיות בתיק מעבר לקו הבסיס של 60/40.
הקצאת הזהב מביאה את המתאם הנמוך שלה עם מניות ואג"ח כאחד. למרות שהזהב עצמו תנודתי (15%), מכיוון שהוא נע ללא תלות במניות ובאג"ח, הוספתו מפחיתה את השונות הכוללת בתיק. זה מדגים עד כמה התנודתיות של נכס בודד חשובה פחות מהקורלציה שלו לשאר התיק.
במשברים, מתאמים צולבים של נכסים עולים לכיוון 1.0, ומבטלים את הגיוון בדיוק כאשר אתה זקוק לו ביותר.
זוהי המגבלה החשובה ביותר של שונות התיק המחושבת מנתוני תקופה נורמלית: המתאמים אינם יציבים. במהלך המשבר הפיננסי של 2008 ומכירת ה-COVID במרץ 2020, כמעט כל נכסי סיכון נפלו בו זמנית כשהמשקיעים חיסלו הכל כדי לגייס מזומנים. מודלים המבוססים על מתאמים ממוצעים ארוכי טווח הפחיתו באופן דרמטי את הסיכון במהלך פרקים אלו.
Real-World Applications
▾
בניית תיקים יעילים עם שונות ממוצעת ומחשוב הגבול היעיל, המייצגים אזור יישום חשוב לשונות התיק בהקשרים מקצועיים ואנליטיים שבהם חישובי שונות של תיקים מדויקים תומכים ישירות בקבלת החלטות מושכלת, תכנון אסטרטגי ואופטימיזציה של ביצועים
פירוק וייחוס סיכונים בניהול קרנות מוסדיות, המייצגים תחום יישום חשוב לשונות התיק בהקשרים מקצועיים ואנליטיים שבהם חישובי שונות של תיקים מדויקים תומכים ישירות בקבלת החלטות מושכלת, תכנון אסטרטגי ואופטימיזציה של ביצועים
מודלים של הון רגולטורי תחת באזל III עבור בנקים ו-Solvency II עבור מבטחים, המייצגים תחום יישום חשוב לשונות התיק בהקשרים מקצועיים ואנליטיים שבהם חישובי שונות של תיקים מדויקים תומכים ישירות בקבלת החלטות מושכלת, תכנון אסטרטגי ואופטימיזציה של ביצועים
אלגוריתמים של בניית תיקי השקעות של יועץ רובו ותאריכי יעד, המייצגים אזור יישום חשוב לשונות התיק בהקשרים מקצועיים ואנליטיים שבהם חישובי שונות של תיקי תיקים מדויקים תומכים ישירות בקבלת החלטות מושכלת, תכנון אסטרטגי ואופטימיזציה של ביצועים
Special Cases
▾
נכסים לא נזילים - תמחור נדיר
{'title': 'נכסים לא נזילים — תמחור לא תדיר', 'גוף': "נכסים המתומחרים לעתים רחוקות (הון פרטי, נדל"ן) מציגים מתאם נמדד באופן מלאכותי עם השווקים הציבוריים, משום שהערכות השווי שלהם בפיגור. 'אפקט החלקה' זה ממעיט בשונות אמיתית ובקורלציות. יתרונות גיוון של Dimson (1979) טכניקות תיקון או החזרת החלקה עוזרות להתאים לכך."}
זנבות שמנים והחזרות לא נורמליות
{'title': 'זנבות שמנים ותשואות לא נורמליות', 'body': 'שונות תיק סטנדרטי מניחה תשואות בחלוקה נורמלית. במציאות, לתשואות נכסים יש זנבות שמנים - מהלכים גדולים מתרחשים לעתים קרובות הרבה יותר ממה שחוזה התפלגות נורמלית. במהלך המשבר של 2008, התרסקות הקורונה ב-2020 ומכירת האג"ח ב-2022, התשואות היו 5-10 אירועי סטיית תקן לפי תקני הפצה רגילים. צפוי חסרון (CVaR) ומבחני מאמץ משלימים את השונות ללכידת סיכון הזנב.'}
שגיאת אומדן במטריצות שיתופיות
{'title': 'שגיאת אומדן במטריצות שיתופיות', 'גוף': 'מטריצות שיתופיות המוערכות מנתונים היסטוריים רועשות, במיוחד עבור תיקים גדולים. עם 50 נכסים, אתה מעריך 1,225 שונות שיתוף - כל אחד נושא שגיאת אומדן. מבצעי אופטימיזציה מעצימים את השגיאות הללו, ומייצרים תיקים לא יציבים עם משקלים קיצוניים. מערכי הצטמקות (Ledoit-Wolf), מודלים של גורמים, או שיטות אופטימיזציה חזקות מפחיתים את הרגישות לשגיאת אומדן.'}
סטיית תקן לפי מתאם - חלוקה של 50/50, σ₁=20%, σ₂=15%
▾
| מתאם (ρ) | תיק σ | סיכון לעומת ממוצע משוקלל (17.5%) | פֵּשֶׁר |
|---|---|---|---|
| −1.0 (שלילי מושלם) | 2.5% | −15.0% | פיזור מקסימלי - סיכון קרוב לאפס אפשרי |
| -0.5 | 10.4% | −7.1% | יתרון גיוון חזק |
| 0.0 (לא מתאם) | 12.5% | -5.0% | פיזור טוב - נכסים עצמאיים |
| 0.5 | 14.4% | −3.1% | הטבה בינונית - נכסים באותו כיוון |
| 0.8 | 16.5% | -1.0% | תועלת מינימלית - בקורלציה גבוהה |
| +1.0 (חיובי מושלם) | 17.5% | 0% | אין גיוון - זהה לממוצע המשוקלל |
Frequently Asked Questions
▾
מה ההבדל בין שונות תיק לסטיית תקן תיק?
שונות פורטפוליו (σ²_p) היא המדד בריבוע של הסיכון - היחידה היא 'אחוזים בריבוע', וזה לא אינטואיטיבי. סטיית תקן של תיק (σ_p = √σ²_p) ממירה זאת בחזרה למונחי אחוז שניתן להשוות ישירות לתשואות נכסים. אם לתיק שלך יש סטיית תקן שנתית של 12%, זה אומר שהתשואות נופלות בדרך כלל בתוך ±12% מהממוצע בעוד כשני שליש שנים (סטיית תקן אחת). שניהם מודדים את אותו הדבר; סטיית תקן נפוץ יותר בפועל מכיוון שהיחידות תואמות לאלו של התשואות.
מדוע המתאם חשוב יותר מהתנודתיות האישית לגיוון?
הוספת נכס תנודתי לתיק שלך יכולה למעשה להפחית את הסיכון הכולל בתיק אם לנכס זה יש מתאם נמוך או שלילי עם אחזקות קיימות. לדוגמה, לזהב יש תנודתיות שנתית של 15-20%, בהשוואה למניות, אך הוספת 10-15% זהב לתיק אג"ח מפחיתה בדרך כלל את התנודתיות הכוללת של התיק. המתמטיקה מבהירה זאת: המונח חוצה-מוצר (2·w₁·w₂·ρ·σ₁·σ₂) מופחת כאשר ρ שלילי ומתווסף כאשר ρ חיובי. מתאם הוא ממש הפרמטר שקובע אם הגיוון עובד.
כמה נכסים דרושים לפיזור הולם?
מחקר של Evans and Archer (1968) הראה שרוב הסיכון האידיוסינקרטי (ספציפי לחברה) נמחק עם כ-20-30 מניות שנבחרו באקראי. מעבר לכך, הוספת עוד מניות מפחיתה את הסיכון באופן שולי. עם זאת, תיק של 30 מניות בארה"ב מגוונת רק מול סיכון ספציפי לחברה - עדיין יש לו חשיפה מלאה לסיכון שוק המניות בארה"ב, סיכוני מגזר וסיכוני גורמים. פיזור אמיתי מחייב חציית סוגי נכסים (מניות, אג"ח, נדל"ן, סחורות, חלופות) וגיאוגרפיות (שווקים מתפתחים מקומיים, בינלאומיים מפותחים).
מהי מטריצת שיתופיות וכיצד אני בונה אחת?
מטריצת שיתופיות (Σ) היא רשת N×N שבה כל ערך [i,j] מראה את השונות בין נכס i לנכס j. הערכים האלכסוניים הם השונות האישיות (σᵢ²). המטריצה היא סימטרית (כניסה [i,j] = [j,i]) מכיוון שהשונות בין A ל-B שווה לשונות בין B ל-A. כדי לבנות אחת מנתונים היסטוריים: אסוף תשואות חודשיות עבור כל הנכסים, חישב שונות שיתוף פעולה זוגית באמצעות פונקציית ה-COVAR של Excel או numpy.cov() של Python, ולאחר מכן הכפל מדי חודש ב-12 בקלט מדי שנה.
מהו תיק השונות המינימלי?
תיק השונות המינימלי הוא שילוב הנכסים - הספציפי למשקלים של כל נכס - המייצר את שונות התיק הנמוכה ביותר האפשרית על פני כל שילובי ההקצאה האפשריים. הוא יושב בנקודה השמאלית ביותר של הגבול היעיל. זה לא בהכרח התיק האופטימלי (הוא מקריב את התשואה הצפויה), אבל הוא מייצג את תועלת הפיזור המקסימלית שניתן להשיג בהינתן הנכסים הזמינים. במקרה של שני נכסים, משקל השונות המינימלי עבור נכס 1 הוא: w₁ = (σ₂² − σ₁₂) / (σ₁² + σ₂² − 2σ₁₂), כאשר σ₁₂ היא השונות.
כיצד מינוף משפיע על שונות בתיק?
מינוף מגביר את שונות התיק בריבוע של יחס המינוף. אם אתה לווה 50% מערך התיק להשקעה (מינוף של 1.5×), השונות בתיק גדלה בפקטור של 1.5² = 2.25, וסטיית התקן גדלה ב-1.5×. המשמעות היא שסטיית תקן שנתית של 12% ב-1× הופכת ל-18% ב-1.5×. לא ניתן לגוון את המינוף - הוא מרחיב את כל הרכיבים באופן פרופורציונלי. זו הסיבה שקרנות ממונפות מאוד (למשל תעודות סל 2× ו-3×) הן בעלות תנודתיות גבוהה באופן דרמטי מהמדדים הבסיסיים שלהן.
מה ההבדל בין שונות בתיק ב-MPT לבין סיכון מודל גורם?
MPT מחשב את השונות הכוללת של התיק מהיסטוריית התשואה הגולמית. מודלים של גורמים (CAPM, Fama-French, Barra) מפרקים את שונות התיק למרכיבים שיטתיים (סיכון שוק, סיכון גודל, סיכון ערך, סיכון מומנטום) ומרכיב אידיוסינקרטי. שונות של מודל גורמים נותנת תובנות נוספות לגבי הסיבה שיש לך את הסיכון שיש לך - האם זה בטא שוק, ריכוז מגזר או הטיות גורמים? עבור ניהול תיקים, פירוק סיכון גורם הוא יותר בר-פעולה; עבור חישוב שונות מדויקת, גישת מטריצת השונות מדויקת יותר.
Common Mistakes to Avoid
▾
- !שימוש בסטיות תקן של נכסים באחוזים (לדוגמה, 20) ולא בעשרונים (0.20) - הנוסחה דורשת עשרוניות, וערבוב ביניהן מייצר תוצאות שטויות.
- !התעלמות מתאם ופשוט ממוצע סטיות תקן של נכסים - זה מעריך יתר על המידה את סיכון התיק ומפספס את כל נקודת הפיזור.
- !בהנחה שהמתאמים ההיסטוריים יציבים - המתאמים משתנים באופן דרמטי בין משטרים נורמליים למשבר. תמיד מבחן מאמץ עם הנחות מתאם גבוהות.
- !שימוש בתשואות חודשיות ללא עיבוד שנתי - הכפל את השונות החודשית ב-12 כדי לקבל שונות שנתית, או הכפל את ה-σ החודשי ב-√12 כדי לקבל את ה-σ השנתי.
- !התייחסות לתיק של מניות באותו מגזר כמגוונת - למניות המגזר יש מתאמים מעל 0.7 ומספקות הפחתת שונות מינימלית.
Pro Tip
הפעל שני חישובי שונות בתיק: אחד באמצעות מתאמים ממוצעים לטווח ארוך (תקופה רגילה) ואחד באמצעות מתאמים של תקופת משבר (נניח שכל מתאמי הנכסים המסוכנים זינקו ל-0.80+). הפער בין שני המספרים הללו הוא 'אשראי הגיוון' שלך - כמות הפחתת הסיכון שעלולה להיעלם במשבר אמיתי. הגדל את תקציב הסיכון שלך באופן שמרני מול תרחיש המתאם המשבר.
Did you know?
על פי הדיווחים, הארי מרקוביץ פיתח את מסגרת השונות שלו בפורטפוליו כסטודנט לדוקטורט בשנות ה-50 בזמן שקרא את 'תיאוריית ערך ההשקעות' של ג'ון בר וויליאמס בספריית אוניברסיטה. התובנה שלו - שלמשקיעים צריך להיות אכפת מתיקים, לא מניות בודדות - הגיעה אחר הצהריים אחד. בנאומו של זוכה פרס נובל צוין שמילטון פרידמן הציע בתחילה שהעבודה אינה כלכלה. עשרות שנים מאוחר יותר, מטריצת השונות של מרקוביץ מוטמעת בכל תהליך השקעה מוסדית בעולם.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
References
קבל טיפים שבועיים למתמטיקה
הצטרפו למנויי 12,000+ שמקבלים טיפים למחשבון מדי שבוע.