Az „átlag” az egyik leggyakrabban használt és legtöbbet visszaélt szó a matematikában. A hétköznapi nyelven ez általában egy konkrét dolgot jelent – ​​összeadjuk a számokat és elosztjuk. De a statisztikában három különböző típusú átlag létezik, amelyek mindegyike más-más helyzetre alkalmas. A rossz választás félrevezető következtetésekhez vezet.

Az átlag három típusa

1. Átlag (számtani átlag)

A legtöbb ember az átlagot érti „átlagos” alatt. Adja hozzá az összes értéket, és ossza el a számok számával.

Mean = Sum of all values / Number of values

Példa: Teszteredmények: 72, 85, 91, 68, 77, 95, 82

Összeg = 72 + 85 + 91 + 68 + 77 + 95 + 82 = 570 Szám = 7 Átlag = 570/7 = 81,4

Mikor érdemes használni: Ha az adatok nagyjából szimmetrikusak, szélsőséges kiugró értékek nélkül. Jól működik magasságokhoz, teszteredményekhez, hőmérsékletekhez.

Mikor NE használja: Ha vannak kiugró értékek. Egy milliárdos az átlagos keresetűek szobájában rendkívül félrevezetővé teszi az átlagjövedelmet.

2. Medián (közepes érték)

A medián a középső érték, amikor az adatok sorrendben vannak rendezve. Half the values are above it, half below.

Páratlan számú érték esetén: rendezze és vegye a középsőt. Páros szám esetén: rendezze és vegye ki a két középső érték átlagát.

Példa (páratlan): 72, 68, 85, 91, 77, 95, 82 Rendezés: 68, 72, 77, 82, 85, 91, 95 Medián = 82

Példa (páros): 68, 72, 77, 82, 85, 91 Középső kettő: 77 és 82 Medián = (77 + 82) / 2 = 79,5

Mikor érdemes használni: Ha az adatok kiugró értékeket tartalmaznak vagy torzak. A lakásárak, fizetések és jövedelemeloszlások mindig mediánt használnak, mert néhány szélsőséges érték torzítaná az átlagot.

3. Mód (leggyakoribb érték)

A mód a leggyakrabban megjelenő érték. Egy adatkészletnek lehet egy üzemmódja (unimodális), kettő (bimodális) vagy több (multimodális). Ha nem ismétlődik érték, akkor nincs mód.

Példa: Egy héten belül eladott cipőméretek: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10 Mód = 8 (3-szor jelenik meg)

Mikor érdemes használni: Kategorikus adatok, felmérési válaszok, vagy amikor matematikai központ helyett a leggyakoribb értékre van szüksége. A cipőgyártót a mód érdekli, nem az átlagos cipőméret.

Súlyozott átlag

Ha egyes értékek többet számítanak, mint mások, használja a súlyozott átlagot:

Weighted mean = Σ(value × weight) / Σ(weights)

Példa: Egyetemi modulok osztályzatai különböző kreditsúlyozással:

Modul Fokozat Kredit
Matematika 72 30
angol 85 15
Történelem 68 15
Tudomány 91 40

Súlyozott átlag = (72×30 + 85×15 + 68×15 + 91×40) / (30+15+15+40) = (2160 + 1275 + 1020 + 3640) / 100 = 8095/100 = 80,95

Ez eltér a 79,0 egyszerű átlagtól – a Science modul magasabb kreditsúlyozása felfelé húzza az átlagot.

A GPA-számítások, a befektetési portfólió hozamai és a vizsgajelölések mind súlyozott átlagot használnak.

Geometriai átlag

Az összetett vagy szorzó mennyiségek esetén (növekedési ráták, befektetési hozamok) használja a geometriai átlagot:

Geometric mean = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n)

Példa: +50%, -30%, +20% éves befektetési hozam

Egyszerű átlag = (+50 − 30 + 20) / 3 = +13,3% — félrevezetően optimista

Geometriai átlag = (1,50 × 0,70 × 1,20)^ (1/3) – 1 = (1,26)^(1/3) − 1 = 1,0797 - 1 = +7,97% évente

Ez tükrözi a tényleges összetételt: 1000 GBP → 1500 GBP → 1050 GBP → 1260 GBP, ami 7,97%-os éves növekedést jelent, nem pedig 13,3%-ot.

Melyik átlagot érdemes használni?

Helyzet Legjobb átlag
Szimmetrikus adatok, nincsenek kiugró értékek Átlagos
Torz adatok vagy kiugró értékek jelennek meg Középső
Leggyakrabban szükséges érték Mód
Az értékeknek más a jelentősége Súlyozott átlag
Arányok, arányok vagy összetétel Geometriai átlag
Fizetés/jövedelem összehasonlítása Középső
Lakásár-statisztika Középső
Sportütő átlagok Átlag (vagy konkrét képlet)
A befektetés megtérülése az évek során Geometriai átlag

Gyakori hibák

Az „átlagos” feltételezése mindig átlagot jelent. Ha az „átlagfizetést” látja a híradásokban, kérdezze meg, hogy ez átlagos vagy medián. Az átlag jellemzően 20-30%-kal magasabb a mediánnál, mivel a magas keresetűek torzítják az adatokat.

Átlagos százalékok súlyozás nélkül. Ha portfóliójában 1000 GBP van az A alapban (+10%) és 9000 GBP a B alapban (+2%), akkor az átlagos hozam NEM 6%. Ez (100 GBP + 180 GBP) / 10 000 GBP = 2,8%.

Az eloszlás figyelmen kívül hagyása. Az átlagérték azonos lehet nagyon különböző adatkészleteknél. Egy osztály, ahol mindenki 70%-ot ér el, és egy olyan osztály, ahol a fele 40%-os, a fele pedig 100%-os, azonos átlaggal – de nagyon eltérő tanulási eredményekkel.

Használja [Átlag, Medián, Módus kalkulátor] (/en/math/statistics/mean-median-mode) és [Súlyozott átlag kalkulátor] (/en/math/statistics/weighted-average) bármilyen típusú átlag kiszámításához saját adataiból.