Apa itu Black-Scholes Option Pricing?
▾
Model Black-Scholes menghitung harga wajar opsi gaya Eropa — kontrak yang memberi Anda hak, namun bukan kewajiban, untuk membeli (menelepon) atau menjual (menempatkan) saham pada harga tetap pada tanggal tertentu di masa depan. Sebelum tahun 1973, pilihan ditentukan berdasarkan intuisi dan negosiasi. Fischer Black dan Myron Scholes mengubah segalanya dengan satu persamaan yang memperlakukan penetapan harga opsi sebagai kepastian matematis dengan lima masukan yang dapat diamati. Seiring dengan penyempurnaan Robert Merton, karya ini membuat Scholes dan Merton mendapatkan Hadiah Nobel Ekonomi pada tahun 1997 dan melahirkan pasar derivatif modern yang bernilai ratusan triliun dolar. Model ini mengasumsikan harga saham mengikuti pergerakan acak dengan volatilitas konstan, tidak ada dividen, dan Anda dapat berdagang terus menerus tanpa biaya transaksi. Dalam praktiknya, para pedagang menggunakannya sebagai tolok ukur - mereka memasukkan harga pasar saat ini untuk memecahkan masalah 'volatilitas tersirat', yaitu perkiraan konsensus pasar mengenai seberapa besar pergerakan saham. Setiap pedagang opsi memperhatikan volatilitas tersirat karena ini memberi tahu Anda apakah opsi itu murah atau mahal dibandingkan dengan sejarah. Jika volatilitas tersirat tinggi, opsi akan lebih mahal; jika rendah, biayanya lebih murah. Model ini mempunyai keterbatasan – model ini meremehkan kemungkinan pergerakan pasar yang ekstrim (fat tails) dan menguraikan opsi-opsi gaya Amerika yang dapat dilaksanakan lebih awal – namun model ini tetap menjadi titik awal universal untuk semua penetapan harga opsi dan manajemen risiko.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Rumus
▾
Harga Panggilan = S·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂)
Harga Jual = K·e^(−rT)·N(−d₂) − S·N(−d₁)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] / (σ·√T)
d₂ = d₁ − σ·√T
N(x) = fungsi distribusi kumulatif normal standarKeterangan variabel
▾
| Simbol | Nama | Satuan | Deskripsi |
|---|---|---|---|
| S | Harga Saham Saat Ini | currency | Nilai harga saham saat ini, yang berfungsi sebagai parameter masukan penting dalam perhitungan black scholes dan secara langsung mempengaruhi besaran dan keakuratan hasil keluaran yang dihitung |
| K | Harga Teguran | currency | Nilai strike price, yang berfungsi sebagai parameter masukan penting dalam perhitungan black scholes dan secara langsung mempengaruhi besaran dan keakuratan hasil keluaran yang dihitung |
| r | Tarif Bebas Risiko | % per year | Nilai tarif bebas risiko, yang berfungsi sebagai parameter masukan penting dalam perhitungan black scholes dan secara langsung mempengaruhi besaran dan keakuratan hasil keluaran yang dihitung |
| T | Saatnya Kedaluwarsa | years | Waktu yang tersisa hingga opsi berakhir, dinyatakan dalam tahun (misalnya, 90 hari = 0,247 tahun) |
| σ | Keriangan | % per year | Deviasi standar tahunan dari log-return saham; masukan model yang penting dan satu-satunya yang tidak dapat diobservasi |
Cara Black-Scholes Option Pricing
▾
- 1Kumpulkan lima input: harga saham saat ini (S), harga kesepakatan (K), suku bunga bebas risiko (r), waktu kadaluarsa dalam beberapa tahun (T), dan volatilitas yang diharapkan (σ).
- 2Hitung d₁: ini menunjukkan seberapa menguntungkan opsi tersebut, disesuaikan dengan waktu dan volatilitas.
- 3Hitung d₂ = d₁ − σ√T: ini adalah d₁ yang disesuaikan ke bawah untuk ketidakpastian jalur saham.
- 4Carilah N(d₁) dan N(d₂) dari distribusi normal standar — ini mewakili probabilitas opsi yang akan berakhir masa berlakunya.
- 5Untuk panggilan: kalikan harga saham dengan N(d₁) lalu kurangi harga kesepakatan yang didiskon dikalikan N(d₂).
- 6Untuk put: gunakan paritas put-call atau rumus put langsung. Put = Panggil − S + K·e^(−rT).
- 7Bandingkan harga model dengan harga pasar; jika berbeda, perbedaan tersebut dijelaskan oleh asumsi volatilitas yang berbeda — bahwa volatilitas yang tersirat adalah sinyal pasar yang sebenarnya.
Contoh Terpecahkan
▾
Opsi at-the-money (S=K) adalah yang paling umum diperdagangkan; harganya paling sensitif terhadap perubahan volatilitas.
Dengan saham yang tepat pada harga kesepakatan, opsi tersebut tidak memiliki nilai intrinsik — semua $10,45 adalah nilai waktu. Sekitar setengah dari premi berasal dari potensi kenaikan saham di atas $100, dan komponen suku bunga (nilai waktu uang) memberikan diskon kecil pada pemogokan.
Volatilitas yang tinggi meningkatkan harga opsi out-of-the-money secara dramatis — saham memiliki waktu 6 bulan untuk naik sebesar 25%.
Meskipun 20% out-of-the-money, opsi ini memiliki nilai yang berarti karena volatilitas tersirat yang tinggi (40%) dan sisa waktu 6 bulan. Volatilitas tahunan sebesar 40% berarti sekitar ±25% pergerakan selama 6 bulan berada dalam satu standar deviasi, membuat kenaikan ke $100 masuk akal.
Investasi deep in-the-money memiliki harga yang mendekati nilai intrinsik (K−S=$30) dengan premi waktu yang kecil.
Put ini bernilai hampir seluruh nilai intrinsiknya sebesar $30 karena sejauh ini merupakan in-the-money. Diskon kecil mulai dari $30 mencerminkan bunga bebas risiko yang diperoleh dengan menunggu (Anda dapat melakukan short stock dan menginvestasikan $100 pada 3%). Premi waktunya kecil karena hanya ada sedikit ketidakpastian apakah put ini akan kedaluwarsa.
Pedagang menggunakan Black-Scholes secara terbalik untuk mengekstrak perkiraan volatilitas pasar dari harga opsi.
Ketika harga model pada volatilitas 20% hanya $5,50 tetapi pasar diperdagangkan pada $8,00, pasar menyiratkan volatilitas yang lebih tinggi — sekitar 28,5%. Volatilitas yang tersirat ini adalah sinyal sebenarnya: ini memberi tahu Anda bahwa pasar memperkirakan pergerakan yang lebih besar dari rata-rata. Trader membandingkan volatilitas tersirat dengan volatilitas historis untuk memutuskan apakah opsi tersebut murah atau mahal.
Aplikasi nyata
▾
Menentukan harga opsi ekuitas, indeks, dan ETF di bursa di seluruh dunia, memungkinkan para praktisi untuk membuat keputusan kuantitatif yang terinformasi dengan baik berdasarkan metode komputasi yang tervalidasi dan pendekatan standar industri, yang memerlukan analisis kuantitatif yang tepat untuk mendukung keputusan berbasis bukti, alokasi sumber daya strategis, dan optimalisasi kinerja di beragam konteks organisasi dan disiplin profesional
Menilai opsi saham karyawan untuk pelaporan keuangan (ASC 718 / IFRS 2), membantu analis menghasilkan hasil akurat yang mendukung perencanaan strategis, alokasi sumber daya, dan tolok ukur kinerja di seluruh organisasi, di mana penghitungan numerik yang akurat sangat penting untuk menghasilkan keluaran yang andal yang menginformasikan proses perencanaan, evaluasi, dan perbaikan berkelanjutan baik di lingkungan perusahaan maupun individu
Mengekstraksi volatilitas tersirat untuk membangun indeks VIX dan tolok ukur vol lainnya, memungkinkan para profesional untuk mengukur hasil secara sistematis dan membandingkan skenario menggunakan kerangka matematika yang dapat diandalkan dan rumus yang telah ditetapkan, menuntut pendekatan perhitungan sistematis yang menerjemahkan data masukan mentah menjadi wawasan yang dapat ditindaklanjuti bagi para pemangku kepentingan yang bergantung pada ketelitian kuantitatif dalam aktivitas profesional mereka sehari-hari.
Buku opsi lindung nilai menggunakan delta, gamma, dan vega yang dihitung dari model, mendukung proses evaluasi berbasis data di mana presisi numerik sangat penting untuk tujuan kepatuhan, pelaporan, dan pengoptimalan, sehingga memerlukan metode komputasi yang kuat yang memberikan hasil yang konsisten dan dapat diverifikasi yang sesuai untuk pelaporan, audit, dan analisis tren jangka panjang di lingkungan profesional
Kasus khusus
▾
Saham yang membayar dividen
Model standar mengabaikan dividen. Untuk saham yang membayar dividen yang diketahui, kurangi nilai sekarang dari dividen yang diharapkan dari harga saham saat ini sebelum menerapkan rumus tersebut. Untuk hasil dividen berkelanjutan (umum untuk opsi indeks), ganti S dengan S·e^(−qT) di mana q adalah hasil dividen berkelanjutan — ini adalah ekstensi Merton (1973).
Kadaluwarsa sangat pendek atau sangat panjang
Mendekati masa kadaluarsa (hari), model dapat memberikan hasil yang tidak akurat jika stok mendekati kesepakatan — fungsi probabilitas menjadi sangat sensitif terhadap perubahan masukan yang kecil. Untuk opsi jangka panjang (LEAPS, 2+ tahun), ketidakpastian suku bunga dan kecenderungan pengembalian rata-rata membuat asumsi volatilitas yang konstan semakin tidak realistis.
Opsi biner dan penghalang
Black-Scholes dalam bentuk standarnya tidak memberi harga pada opsi eksotik seperti penghalang (opsi yang mengaktifkan atau menonaktifkan pada ambang harga) atau biner (hasil tetap jika kondisi terpenuhi). Ini memerlukan formula atau metode numerik yang dimodifikasi, meskipun blok penyusun Black-Scholes muncul dalam turunannya.
Perkiraan Harga Opsi Call — S=$100, r=4%, T=0,5 tahun
▾
| Pukulan (K) | σ=15% | σ=25% | σ=35% | σ=50% |
|---|---|---|---|---|
| $80 (ITM dalam) | $21,50 | $22,60 | $24,10 | $26,80 |
| $95 (sedikit ITM) | $7,80 | $9,90 | $12,10 | $15,30 |
| $100 (ATM) | $4,30 | $7,10 | $9,80 | $13,50 |
| $105 (sedikit OTM) | $2,00 | $4,90 | $7,60 | $11,40 |
| $120 (OTM dalam) | $0,10 | $1,20 | $3,20 | $7,00 |
Pertanyaan yang sering diajukan
▾
Apa yang dimaksud dengan volatilitas tersirat dan mengapa hal itu penting?
Volatilitas tersirat (IV) adalah nilai volatilitas yang, ketika dimasukkan ke dalam rumus Black-Scholes, menghasilkan harga pasar opsi saat ini. Ini mewakili perkiraan konsensus pasar mengenai pergerakan harga di masa depan. Ketika IV tinggi, opsi menjadi mahal — pasar takut akan pergerakan besar. Jika IV rendah, pilihannya murah. Trader membandingkan IV saat ini dengan volatilitas historis untuk menemukan opsi yang terlalu mahal atau terlalu rendah. Indeks VIX, sering disebut 'pengukur ketakutan', adalah volatilitas tersirat dari opsi S&P 500.
Mengapa Black-Scholes tidak bisa menentukan harga opsi Amerika dengan tepat?
Opsi Amerika dapat dieksekusi kapan saja sebelum habis masa berlakunya, yang menciptakan premi eksekusi awal yang tidak dapat diperoleh oleh Black-Scholes dengan formula bentuk tertutupnya. Untuk pembelian saham Amerika yang tidak membayar dividen, pelaksanaan awal tidak pernah optimal (sebaiknya Anda menjual opsi tersebut), sehingga harga pembelian Black-Scholes tepat. Untuk saham Amerika yang membayar dividen, praktisi menggunakan pohon binomial (model Cox-Ross-Rubinstein) atau metode numerik seperti skema perbedaan hingga.
Apa yang dimaksud dengan senyum volatilitas dan mengapa hal itu terjadi?
Jika Black-Scholes benar, maka volatilitas yang tersirat akan konstan di semua harga kesepakatan. Dalam praktiknya, perdagangan out-of-the-money (asuransi kecelakaan) memiliki volatilitas tersirat yang lebih tinggi dibandingkan opsi at-the-money, dan out-of-the-money call terkadang juga menunjukkan peningkatan IV. Pola ini – yang disebut dengan senyum volatilitas atau kemiringan – mencerminkan ketakutan pelaku pasar terhadap kejadian-kejadian yang diremehkan oleh Black-Scholes. Hal ini muncul secara menonjol setelah jatuhnya pasar saham pada tahun 1987.
Apa yang Delta katakan kepada saya tentang suatu pilihan?
Delta (∂V/∂S) memberi tahu Anda seberapa besar perubahan harga opsi untuk pergerakan $1 di saham. Delta 0,60 berarti harga opsi naik $0,60 ketika saham naik $1. Delta juga memperkirakan kemungkinan bahwa opsi akan kedaluwarsa dalam uang (in-the-money): panggilan delta 0,60 memiliki peluang sekitar 60% untuk kedaluwarsa dalam uang (in-the-money). Pedagang menggunakan delta untuk lindung nilai: untuk menjadi 'delta-netral', Anda memegang saham secara proporsional dengan delta opsi untuk mengimbangi eksposur terarah.
Bagaimana peluruhan waktu (theta) mempengaruhi nilai opsi?
Opsi kehilangan nilainya ketika masa kadaluarsa semakin dekat — erosi ini disebut peluruhan waktu atau theta. Semua hal lainnya sama, sebuah opsi kehilangan nilainya setiap hari seiring berjalannya waktu. Opsi at-the-money memiliki peluruhan waktu tertinggi secara absolut; Opsi deep in-the-money atau far out-of-the-money memiliki theta yang lebih rendah. Inilah sebabnya mengapa pembelian opsi mengharuskan saham bergerak cukup untuk mengimbangi erosi nilai waktu yang sedang berlangsung — pembeli opsi melawan peluruhan waktu setiap hari mereka memegang posisi.
Bisakah Black-Scholes digunakan untuk opsi mata uang kripto?
Ya, dengan peringatan yang signifikan. Black-Scholes dapat menentukan harga opsi kripto jika Anda memasukkan volatilitas tersirat yang sesuai. Perdagangan opsi Bitcoin di Deribit dan CME dengan IV seringkali berkisar 50–150% — jauh lebih tinggi daripada pasar ekuitas. Asumsi volatilitas konstan model ini bahkan lebih dilanggar untuk kripto, dimana volatilitas itu sendiri sangat fluktuatif (sering disebut 'vol of vol'). Model yang lebih canggih seperti SABR atau Heston, yang memungkinkan volatilitas stokastik, lebih sesuai untuk penetapan harga opsi kripto yang akurat.
Siapakah Fischer Black dan mengapa dia bukan peraih Nobel?
Fischer Black adalah ahli matematika terapan dan ekonom keuangan yang ikut mengembangkan model ini bersama Myron Scholes. Dia bekerja di Goldman Sachs menerapkan model tersebut dalam praktik. Hadiah Nobel Ekonomi dianugerahkan pada tahun 1997 kepada Scholes dan Robert Merton atas karya mereka mengenai metodologi penetapan harga opsi. Fischer Black meninggal karena kanker tenggorokan pada Agustus 1995 — dua tahun sebelum penghargaan tersebut. Hadiah Nobel tidak diberikan secara anumerta, jadi Black secara eksplisit diakui tetapi tidak dapat menerima hadiah tersebut.
Kesalahan Umum yang Harus Dihindari
▾
- !Menggunakan volatilitas historis secara langsung — model harus menggunakan volatilitas tersirat atau perkiraan masa depan, bukan masa lalu. Menggunakan volume historis baru-baru ini mungkin akan menurunkan harga opsi sebelum peristiwa yang bergejolak seperti pendapatan.
- !Memasukkan waktu dalam hari tanpa mengkonversi ke tahun — T harus dalam tahun (hari/365 atau hari/252 untuk hari perdagangan).
- !Mengabaikan dividen untuk saham-saham yang membayar dividen - menghilangkan penyesuaian dividen secara signifikan akan membuat penilaian terlalu tinggi dan menilai terlalu rendah akan merugikan pembayar dividen mendekati tanggal ex-date.
- !Memperlakukan keluaran model sebagai harga pasar yang 'benar' — model adalah tolok ukur; perdagangan opsi nyata dengan harga yang ditentukan oleh penawaran dan permintaan serta likuiditas.
Tip Pro
Saat membandingkan opsi berdasarkan waktu jatuh tempo atau jatuh tempo, bandingkan volatilitas yang tersirat dan bukan harga opsi. Sebuah opsi mungkin terlihat murah dalam dolar namun mahal dalam hal volatilitas. Selalu normalkan dengan melihat permukaan IV — peta 3D dari volatilitas yang tersirat di seluruh pemogokan dan jatuh tempo — untuk mengidentifikasi peluang nilai relatif.
Tahukah Anda?
Model Black-Scholes memungkinkan Chicago Board Options Exchange (CBOE) dibuka pada bulan April 1973 — secara harfiah pada bulan yang sama ketika makalah tersebut diterbitkan. Dalam sepuluh tahun, volume perdagangan opsi meledak dari ribuan hingga jutaan kontrak per hari. Rumusnya sangat berpengaruh sehingga Texas Instruments memproduksi kalkulator saku khusus yang telah diprogram dengan Black-Scholes segera setelah dipublikasikan.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Referensi
Ratings & comments
Dapatkan Tips Matematika Mingguan
Bergabunglah dengan pelanggan 12.000+ yang mendapatkan tip kalkulator setiap minggu.