Cos'è Present Value of Annuity?
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Una rendita è un contratto finanziario in base al quale viene effettuata una serie di pagamenti a intervalli regolari durante un determinato periodo o per tutta la vita. Il valore attuale di una rendita è l’equivalente forfettario corrente di tutti quei pagamenti futuri – la quantità di denaro oggi che, se investita a un dato tasso di sconto, produrrebbe esattamente il flusso di pagamenti promesso dalla rendita. Comprendere il valore attuale è fondamentale per la pianificazione assicurativa, pensionistica e finanziaria perché consente un confronto significativo tra una somma forfettaria ricevuta oggi e un flusso di pagamenti futuri, o tra due diversi flussi di pagamento. Il concetto di valore attuale incarna il valore temporale del denaro: un dollaro ricevuto oggi vale più di un dollaro ricevuto in futuro perché il dollaro di oggi può essere investito e generare rendimenti. La formula del valore attuale sconta ogni pagamento futuro al presente utilizzando un tasso di sconto che riflette il costo opportunità del capitale o l'ipotesi del tasso di interesse utilizzato dall'assicuratore o dal fondo pensione. Esistono due tipi principali di rendite dal punto di vista temporale: una rendita ordinaria (o rendita arretrata) effettua i pagamenti alla fine di ogni periodo, mentre una rendita dovuta effettua i pagamenti all'inizio. La differenza influisce sul valore attuale esattamente per il fattore di sconto di un periodo. Nei contesti assicurativi e pensionistici, i calcoli del valore attuale vengono utilizzati per prezzare le rendite immediate a premio unico (SPIA), per valutare gli obblighi pensionistici, per calcolare i valori delle liquidazioni strutturate, per prezzare i prodotti di rendita vitalizia che incorporano i tassi di mortalità e per determinare l'equivalente forfetario dei benefici pensionistici a benefici definiti. Gli attuari estendono la formula di base incorporando le probabilità di sopravvivenza, creando il valore attuale attuariale: il valore attuale ponderato in base alle probabilità che tiene conto del rischio che un beneficiario della rendita possa morire prima di ricevere tutti i pagamenti promessi.
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Formula
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Calcolo della rendita al valore attuale:
Passaggio 1: identificare l'importo del pagamento (PMT), il numero di periodi (n) e il tasso di sconto per periodo (r).
Passo 2: Per una rendita ordinaria (pagamenti alla fine del periodo), utilizzare la formula: PV = PMT × [1 − (1 + r)^(-n)] / r.
Passo 3: Per una rendita dovuta (pagamenti all'inizio del periodo), moltiplicare il risultato della rendita ordinaria per (1 + r).
Passo 4: Per una rendita crescente con tasso di crescita costante g, utilizzare: PV = PMT / (r − g) × [1 − ((1 + g)/(1 + r))^n].
Passo 5: Per una rendita perpetua (pagamenti infiniti), la formula si semplifica in: PV = PMT / r.
Passo 6: Per una rendita vitalizia che incorpora la mortalità, utilizzare il valore attuale attuariale: moltiplicare ciascun pagamento per la probabilità di sopravvivenza per quel periodo, quindi scontare al valore attuale.
Passaggio 7: verificare i risultati confermando che la somma di tutti i singoli pagamenti scontati equivale al valore attuale calcolato.
Ogni passaggio si basa sul precedente, combinando i calcoli dei componenti in un risultato di rendita annuale completo. La formula cattura le relazioni matematiche che governano il comportamento delle rendite al valore attuale.Leggenda delle variabili
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| Simbolo | Nome | Unità | Descrizione |
|---|---|---|---|
| PV | Valore attuale | dollars ($) | Il valore forfettario attuale equivalente all'intero flusso di pagamenti futuri, attualizzato al tasso r. |
| PMT | Pagamento periodico | dollars ($) | L'importo di ciascun pagamento regolare nel flusso di rendite (presunto costante per una rendita di livello). |
| r | Tasso di sconto | percent (%/period) | Il tasso di interesse o di sconto per periodo utilizzato per convertire i pagamenti futuri nel valore attuale; riflette il valore temporale del denaro. |
| n | Numero di periodi | periods | Il numero totale di periodi di pagamento nel flusso di rendite (mesi, anni o trimestri). |
| FV | Valore futuro | dollars ($) | Il valore accumulato di tutti i pagamenti di rendita alla fine del periodo di pagamento, capitalizzato al tasso r. |
Come Present Value of Annuity
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- 1Identificare l'importo del pagamento (PMT), il numero di periodi (n) e il tasso di sconto per periodo (r).
- 2Per una rendita ordinaria (pagamenti a fine periodo), utilizzare la formula: PV = PMT × [1 − (1 + r)^(-n)] / r.
- 3Per una rendita dovuta (pagamenti all'inizio del periodo), moltiplicare il risultato della rendita ordinaria per (1 + r).
- 4Per una rendita crescente con tasso di crescita costante g, utilizzare: PV = PMT / (r − g) × [1 − ((1 + g)/(1 + r))^n].
- 5Per una rendita perpetua (pagamenti infiniti), la formula si semplifica in: PV = PMT / r.
- 6Per una rendita vitalizia che incorpora la mortalità, utilizzare il valore attuale attuariale: moltiplicare ciascun pagamento per la probabilità di sopravvivenza per quel periodo, quindi scontare al valore attuale.
- 7Verificare i risultati confermando che la somma di tutti i singoli pagamenti scontati equivale al valore attuale calcolato.
Esempi risolti
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Se il tuo tasso di sconto personale (aspettativa di rendimento dell'investimento) è superiore al 5,05%, prendi la somma forfettaria; al di sotto di questo, la rendita ha più valore
Il valore attuale di $ 50.000/anno per 20 anni con un tasso di sconto del 5% è pari a $ 623.111, ovvero leggermente superiore alla somma forfettaria offerta di $ 620.000. La decisione dipende dalla capacità del vincitore di investire la somma forfettaria. Se il vincitore può investire al 5,05% o superiore, la somma forfettaria e l'investimento autogestito producono risultati uguali o migliori. La maggior parte dei consulenti finanziari consiglia ai vincitori della lotteria di consultare un pianificatore finanziario per modellare i risultati al netto delle imposte, poiché le tasse statali si applicano in modo diverso alle somme forfettarie rispetto ai pagamenti delle rendite in molte giurisdizioni.
Questo è il valore attuale dell’obbligazione pensionistica all’età di 65 anni – utile per il confronto con un’offerta di riscatto in capitale
Convertendo il tasso di sconto mensile a 4%/12 = 0,3333%/mese su 300 mesi, il valore attuale di $ 3.500/mese è di circa $ 654.848. Se l'istituto di previdenza offre un riscatto in capitale, dal confronto di questa cifra con l'offerta si capisce subito se il riscatto corrisponde al giusto valore. Le offerte di riscatto della pensione sono spesso scontate rispetto al valore attuariale, riflettendo il desiderio del piano di ridurre la propria passività. Un'offerta inferiore a $ 654.848 (utilizzando un tasso di sconto del 4%) potrebbe essere inferiore al valore equo, sebbene il tasso di sconto appropriato sia discutibile.
Età di pareggio per SPIA: 84,6 anni. Il pensionato deve vivere oltre gli 84 anni per "vincere" la scommessa contro l'assicuratore
Partendo da un premio di $ 200.000 e da un pagamento di $ 1.050 al mese, il tasso di rendimento interno implicito della rendita presuppone circa 246 mesi (20,5 anni) di pagamenti. All'età di 65 anni, l'aspettativa di vita di un maschio è di circa 18-19 anni (fino a 83-84 anni), il che significa che il prezzo implicito è leggermente conservativo. Il vantaggio di mortalità della rendita – l’assicuratore condivide il rischio di longevità tra molti beneficiari di rendite – significa che coloro che vivono oltre l’aspettativa di vita ricevono più di quanto hanno pagato, sovvenzionato da coloro che muoiono prematuramente. Questa funzione di assicurazione sulla longevità è la proposta di valore principale delle rendite vitalizie.
Inoltre: PV di questa somma forfettaria futura scontata al 6% negli ultimi 30 anni = $ 87.538 - il valore oggi di quei risparmi futuri
Utilizzando il valore futuro di una formula di rendita con $ 500 al mese, 360 periodi e tasso mensile dello 0,5%, il risparmio accumulato raggiunge $ 502.257 dopo 30 anni. Ciò illustra il potere della crescita composta sui contributi regolari. Se oggi ti venissero offerti $ 87.538 in cambio del tuo obbligo di risparmio previdenziale, quella sarebbe la somma forfettaria matematicamente equivalente con un tasso di sconto del 6%. I calcoli del valore presente e futuro consentono questi confronti diretti tra le somme attuali e future.
Applicazioni pratiche
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Valutazione delle pensioni: gli attuari calcolano il valore attuale delle obbligazioni pensionistiche a benefici definiti per la rendicontazione del bilancio, rappresentando un'importante area di applicazione per la rendita al valore attuale in contesti professionali e analitici in cui calcoli accurati delle rendite al valore attuale supportano direttamente il processo decisionale informato, la pianificazione strategica e l'ottimizzazione delle prestazioni
Gli individui utilizzano la rendita con valore attuale per la pianificazione personale, il budget e il processo decisionale della rendita con valore attuale, consentendo scelte informate supportate dal rigore matematico piuttosto che da stime approssimative, il che è particolarmente utile per decisioni significative sulla vita legate alla rendita con valore attuale
Determinazione dei prezzi dei prodotti assicurativi: gli assicuratori calcolano gli equivalenti dei premi per i prodotti di rendita utilizzando il valore attuale dei benefici attesi, rappresentando un'importante area di applicazione per la rendita al valore attuale in contesti professionali e analitici in cui calcoli accurati delle rendite al valore attuale supportano direttamente il processo decisionale informato, la pianificazione strategica e l'ottimizzazione delle prestazioni
Analisi dei premi della lotteria: i pianificatori finanziari calcolano il PV dei pagamenti delle rendite della lotteria rispetto alle alternative forfettarie per l'ottimizzazione fiscale, rappresentando un'importante area di applicazione per la rendita con valore attuale in contesti professionali e analitici in cui calcoli accurati delle rendite con valore attuale supportano direttamente il processo decisionale informato, la pianificazione strategica e l'ottimizzazione delle prestazioni
Pianificazione del reddito pensionistico: i consulenti finanziari calcolano la quantità di capitale necessaria al momento del pensionamento per finanziare uno specifico flusso di reddito mensile, rappresentando un'importante area di applicazione per la rendita con valore attuale in contesti professionali e analitici in cui calcoli accurati della rendita con valore attuale supportano direttamente il processo decisionale informato, la pianificazione strategica e l'ottimizzazione delle prestazioni
Casi speciali
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{'case': 'Perpetuità — flusso di pagamenti infinito', 'description': 'Una rendita perpetua paga un importo fisso per sempre — senza data di scadenza. Il valore attuale si semplifica in PV = PMT / r. Una rendita perpetua di $ 1.000 all'anno con un tasso di sconto del 5% vale oggi $ 20.000. I dividendi delle azioni privilegiate e i pagamenti di alcuni fondi di dotazione sono modellati come rendite perpetue.'}
Nella rendita al valore attuale, questo scenario richiede ulteriore cautela nell'interpretazione dei risultati della rendita al valore attuale. La formula standard potrebbe non tenere pienamente conto di tutti i fattori presenti in questo caso limite e potrebbero essere giustificate analisi supplementari o consulenza di esperti. La migliore pratica professionale prevede la documentazione delle ipotesi, l'esecuzione di analisi di sensibilità e il confronto incrociato dei risultati con metodi alternativi quando i calcoli delle rendite con valore attuale rientrano in un territorio non standard.
{'caso': 'Prezzo delle rendite contingenti sulla vita', 'descrizione': 'Per le rendite vitalizie prezzate dalle compagnie di assicurazione, gli attuari utilizzano il quadro della funzione di commutazione basato su tabelle di mortalità standard (ad esempio, tabella SOA 2012 Individual Annuity Mortality) per calcolare l'APV incorporando sia l'attualizzazione degli interessi che la mortalità. Il risultato è il premio unico netto prima del caricamento delle spese e del profitto.'}
Valore attuale della rendita di $ 1.000 al mese per tasso di sconto e durata
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| Tasso di sconto | 10 anni | 20 anni | 30 anni | Vita (65 anni maschio, circa) |
|---|---|---|---|---|
| 2% | $ 108.977 | $ 197.928 | $ 270.471 | $ 188.000 |
| 4% | $ 98.771 | $ 165.024 | $ 209.461 | $ 163.000 |
| 5% | $ 94.281 | $ 151.525 | $ 186.282 | $ 152.000 |
| 6% | $ 90.073 | $ 139.581 | $ 166.791 | $ 141.000 |
| 8% | $ 82.421 | $ 119.554 | $ 136.283 | $ 122.000 |
Domande frequenti
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Qual è la differenza tra rendita ordinaria e rendita spettante?
Una rendita ordinaria (chiamata anche rendita in arretrato) effettua i suoi pagamenti periodici alla fine di ciascun periodo di pagamento. Un esempio è la rata di un mutuo dovuta alla fine del mese: prendi in prestito il denaro, lo usi per un mese e poi paghi alla fine del mese. Una rendita dovuta effettua i pagamenti all'inizio di ogni periodo. L'affitto è in genere una rendita dovuta: si paga all'inizio del periodo di noleggio. Una rendita dovuta vale leggermente di più di una rendita ordinaria equivalente perché ogni pagamento viene ricevuto un periodo prima, consentendo un periodo aggiuntivo di capitalizzazione o investimento. Il valore attuale di una rendita dovuta è uguale al valore attuale di una rendita ordinaria moltiplicato per (1 + r), dove r è il tasso di sconto del periodo. Per la maggior parte dei calcoli finanziari che coinvolgono mutui, prestiti e prodotti assicurativi, la rendita ordinaria è la convenzione predefinita, salvo diversa indicazione.
Quale tasso di sconto dovrei utilizzare per le valutazioni delle rendite?
Il tasso di sconto appropriato dipende dallo scopo del calcolo. Per le valutazioni attuariali di assicurazioni e pensioni, le autorità di regolamentazione in genere specificano tassi di sconto standardizzati basati sui rendimenti prevalenti dei titoli del Tesoro o di investment grade: storicamente questi sono stati compresi tra il 4 e il 6%, sebbene si siano compressi al 2-3% durante i bassi tassi degli anni 2010. Per le decisioni finanziarie personali, come il confronto tra una somma forfettaria della pensione e una rendita, il tasso appropriato è il costo opportunità, ovvero il rendimento che potresti ottenere dalla somma forfettaria attraverso investimenti con rischio comparabile. Per gli investitori conservatori, il 3–5% potrebbe essere appropriato; per coloro che si sentono a proprio agio con il rischio del mercato azionario, potrebbe applicarsi il 6–8%. L’utilizzo di un tasso di sconto più elevato riduce il valore attuale della rendita, rendendo le somme forfettarie più attraenti. Tassi più bassi aumentano il valore attuale, favorendo la scelta della rendita. Non esiste un unico tasso universalmente corretto: deve riflettere le circostanze specifiche del decisore e la sua tolleranza al rischio.
Che cos'è il valore attuale attuariale e in cosa differisce dal PV normale?
Un calcolo regolare del valore attuale presuppone che tutti i pagamenti programmati verranno sicuramente ricevuti: sconta il tempo ma non il rischio di morte o altri imprevisti. Un valore attuale attuariale (APV) incorpora inoltre la probabilità di sopravvivenza (o altra contingenza) a ciascuna data di pagamento, ponderando ciascun pagamento in base alla probabilità che venga effettivamente pagato. Per una rendita vitalizia, l’APV utilizza tabelle di vita attuariali – tabelle statistiche derivate da ampi studi sulla mortalità della popolazione – per assegnare una probabilità di sopravvivenza a ciascun periodo di pagamento futuro. L'APV di una rendita vitalizia è inferiore al PV regolare dello stesso flusso di pagamenti perché alcuni beneficiari moriranno prima di ricevere tutti i pagamenti. Gli assicuratori valutano le rendite in base all'APV più un caricamento per profitti e spese. Comprendere l'APV è essenziale per un confronto equo tra una rendita vitalizia e una rendita o una somma forfettaria a un determinato periodo.
Cos'è una rendita differita rispetto a una rendita immediata?
Una rendita immediata (in particolare una rendita immediata a premio unico o SPIA) inizia a effettuare i pagamenti entro un periodo (di solito un mese) dal pagamento del premio. L'acquirente paga una somma forfettaria e inizia immediatamente a ricevere un reddito periodico, più comunemente utilizzato dai pensionati che convertono i risparmi accumulati in un reddito garantito a vita. Una rendita differita accumula fondi durante una fase di accumulo, con i pagamenti del reddito che iniziano a una data futura (tipicamente il pensionamento). Durante la fase di accumulazione, i fondi crescono su base fiscale differita. Le rendite differite possono essere fisse (tasso di interesse garantito), variabili (investite in sottoconti di mercato) o indicizzate fisse (rendimenti legati a un indice di mercato con una garanzia minima). Le rendite differite sono principalmente veicoli di risparmio con caratteristiche assicurative; le rendite immediate sono principalmente strumenti di distribuzione del reddito.
In che modo l’inflazione influisce sul valore reale dei pagamenti delle rendite?
I pagamenti di rendite fisse perdono potere d’acquisto nel tempo a causa dell’inflazione. Una rendita di 3.000 dollari al mese che oggi sembra generosa acquisterà sostanzialmente meno tra 20 anni se l'inflazione è in media del 3% annuo: il suo valore reale sarebbe di circa 1.661 dollari al mese in dollari di oggi. Questa erosione dell’inflazione rappresenta un rischio significativo per i pensionati che dipendono da una rendita fissa. Le opzioni per mitigare il rischio di inflazione includono: rendite indicizzate all'inflazione (i pagamenti aumentano con l'indice dei prezzi al consumo, anche se iniziano a scendere), fattori di aggiustamento annuale del costo della vita (in genere aumenti percentuali fissi dell'1-3%), investimenti in rendite variabili con sottoconti azionari (i rendimenti possono tenere il passo con l'inflazione ma aggiungono rischio di investimento) e mantenere un portafoglio di investimenti diversificato separato insieme a una rendita immediata più piccola. Le prestazioni della previdenza sociale, indicizzate all’inflazione, forniscono una protezione parziale dall’inflazione per la maggior parte dei pensionati.
Qual è la differenza tra rendita fissa e variabile?
Una rendita fissa paga un tasso di interesse garantito e specificato durante la fase di accumulazione e fornisce pagamenti di reddito garantiti durante la fase di distribuzione. La compagnia assicurativa si assume il rischio dell’investimento. Una rendita variabile consente al valore accumulato e ai pagamenti futuri di fluttuare in base alla performance dei sottoconti di investimento sottostanti (simili ai fondi comuni di investimento). Lo stipulante si assume il rischio dell'investimento ma partecipa anche al potenziale di rialzo. Le rendite variabili in genere includono un beneficio minimo garantito in caso di morte: se l'assicurato muore, i beneficiari ricevono almeno il premio originale (o talvolta il valore più alto raggiunto sul conto), anche se la performance dell'investimento è stata negativa. Le rendite variabili sono più costose di quelle fisse, con costi annuali totali (gestione degli investimenti più oneri assicurativi) che spesso vanno dall'1,5 al 3,5%, il che può ridurre significativamente i rendimenti netti a lungo termine rispetto all'investimento diretto in fondi comuni di investimento.
Quando ha senso finanziario acquistare una rendita immediata?
Le rendite immediate hanno senso finanziario in circostanze specifiche. Sono più appropriati per gli individui che: affrontano il rischio di longevità (una storia familiare di lunga vita), hanno limitate altre fonti di reddito garantite (piccola previdenza sociale, nessuna pensione), sono ansiosi di sopravvivere ai propri risparmi, non hanno eredi o obiettivi di pianificazione patrimoniale per i loro beni e apprezzano il beneficio psicologico della certezza del reddito garantito rispetto al massimo accumulo di ricchezza atteso. L’effetto di mortalità della rendita – secondo cui coloro che muoiono prematuramente sovvenzionano effettivamente quelli che vivono a lungo – significa che gli individui longevi ricevono sostanzialmente più pagamenti totali di quanto otterrebbero da investimenti autogestiti, mentre coloro che muoiono presto ricevono meno. Le rendite sono generalmente meno appropriate per gli individui con problemi di salute significativi che limitano l’aspettativa di vita, quelli con un ampio reddito garantito da altre fonti (previdenza sociale, pensione) o coloro che danno priorità al trasferimento di ricchezza agli eredi.
Errori comuni da evitare
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- !Utilizzo del tasso di sconto annuale direttamente con i pagamenti mensili: converti sempre nel tasso del periodo corrispondente: tasso mensile = tasso annuale / 12.
- !Confondere la rendita ordinaria con la rendita dovuta: i pagamenti alla fine del periodo rispetto all'inizio del periodo modificano il valore attuale del fattore di sconto di un periodo.
- !Ignorare l’inflazione quando si valuta il reddito di rendita fissa: un reddito fisso di 3.000 dollari al mese sembra conveniente oggi, ma avrà un potere d’acquisto significativamente inferiore tra 20 anni con un’inflazione del 3%.
- !Utilizzando il numero sbagliato di periodi: ricontrolla se il termine è espresso in anni o mesi e se la tariffa corrisponde a tale unità di periodo.
- !Confrontando una rendita vitalizia PV (che incorpora la mortalità) con una certa rendita PV (che non la include) senza riconoscere la differenza strutturale: il carico di mortalità è una caratteristica economica reale, non un errore.
Consiglio Pro
Il valore attuale di una rendita diminuisce all’aumentare del tasso di sconto. Quando i tassi di interesse sono bassi, le rendite appaiono più costose perché i pagamenti futuri vengono scontati meno pesantemente.
Lo sapevi?
La parola rendita deriva dal latino annus (anno). Uno dei più antichi contratti di rendita risale all'epoca romana: i soldati romani ricevevano rendite come compenso per il servizio militare, una prima forma di pensione.
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Riferimenti
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