Cos'è Bond Duration & Convexity?
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La durata e la convessità sono le due misure fondamentali della sensibilità di un'obbligazione alle variazioni dei tassi di interesse. Insieme consentono agli investitori di stimare quanto cambierà il prezzo di un'obbligazione al variare dei rendimenti, consentendo una gestione precisa del rischio di tasso di interesse nei portafogli a reddito fisso. La durata ha due forme principali. La Macaulay Duration, introdotta da Frederick Macaulay nel 1938, è il tempo medio ponderato necessario per ricevere i flussi di cassa dell'obbligazione (pagamenti di cedole e capitale), con pesi proporzionali al valore attuale di ciascun flusso di cassa. È espresso in anni e rappresenta l'effettivo “tempo di recupero” dell'investimento obbligazionario. La durata Macaulay di un'obbligazione a cedola zero equivale alla sua scadenza poiché tutto il flusso di cassa viene ricevuto alla fine; La durata Macaulay di un'obbligazione con cedola è inferiore alla scadenza perché i pagamenti cedolari intermedi riducono il tempo di attesa effettivo. La Duration modificata converte la Duration Macaulay in una misura diretta della sensibilità del prezzo: stima la variazione percentuale del prezzo delle obbligazioni per una variazione del rendimento dell'1% (100 punti base). Duration modificata = Duration Macaulay / (1 + y/m), dove y è il rendimento alla scadenza e m è il numero di periodi cedolari all'anno. Ad esempio, si prevede che un’obbligazione con Duration Modificata pari a 7 diminuirà di circa il 7% se i rendimenti salgono di 100 punti base – o salirà del 7% se i rendimenti scendono di 100 punti base. La convessità è la misura di secondo ordine della sensibilità del prezzo: cattura la curvatura della relazione prezzo-rendimento che la sola durata non riesce a cogliere. Poiché i prezzi e i rendimenti obbligazionari hanno una relazione convessa (curva) anziché lineare, la durata sottostima i guadagni dei prezzi quando i rendimenti scendono e sovrastima i cali dei prezzi quando i rendimenti aumentano. L’aggiunta dell’aggiustamento della convessità produce una stima della variazione di prezzo più accurata, soprattutto per movimenti di rendimento ampi. La convessità positiva (caratteristica delle obbligazioni standard) significa che l'obbligazione beneficia dei movimenti dei tassi di interesse in entrambe le direzioni rispetto all'approssimazione della durata lineare. I titoli garantiti da ipoteca possono mostrare una convessità negativa quando i tassi in calo innescano rimborsi anticipati. Questi concetti sono fondamentali per l’immunizzazione del portafoglio obbligazionario, le strategie di investimento orientato alla responsabilità (LDI) e la gestione del rischio a reddito fisso presso banche, compagnie assicurative e fondi pensione.
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Formula
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Durata modificata = Durata Macaulay / (1 + a/m)
ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)². Questa formula calcola la convessità della durata mettendo in relazione le variabili di input attraverso la loro relazione matematica. Ciascun componente rappresenta una quantità misurabile che può essere verificata in modo indipendente.Leggenda delle variabili
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| Simbolo | Nome | Unità | Descrizione |
|---|---|---|---|
| D_Mac | Durata di Macaulay | years | Il tempo medio ponderato per ricevere tutti i flussi di cassa, con pesi pari al valore attuale di ciascun flusso di cassa diviso per il prezzo totale delle obbligazioni. |
| D_mod | Durata modificata | years (% per 1% yield change) | La variazione percentuale approssimativa del prezzo per una variazione dell'1% nel rendimento: D_mod = D_Mac / (1 + y/m). |
| C | Convessità | years squared | La misura di secondo ordine della sensibilità del prezzo; cattura la curvatura della relazione prezzo-rendimento non catturata dalla durata. |
| y | Rendimento alla scadenza | % | Il rendimento attuale dell'obbligazione alla scadenza, utilizzato per attualizzare i flussi di cassa e calcolare la durata. |
| m | Frequenza dei coupon | payments per year | Numero di pagamenti di cedole all'anno (ad esempio, 2 per semestrale, 1 per annuale). |
| ΔP/P | Variazione del prezzo (%) | % | Variazione percentuale stimata del prezzo delle obbligazioni: ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)² |
Come Bond Duration & Convexity
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- 1Elenca tutti i futuri flussi di cassa dell'obbligazione con la loro tempistica: pagamenti della cedola (cedola = valore nominale × tasso della cedola / m) ad ogni periodo e rimborso del valore nominale alla scadenza.
- 2Sconto di ciascun flusso di cassa al suo valore attuale utilizzando il rendimento alla scadenza: PV_t = CF_t / (1 + y/m)^t, dove t è il numero del periodo.
- 3Somma tutti i valori attuali per ottenere il prezzo dell'obbligazione: P = Σ PV_t.
- 4Calcola la durata Macaulay: D_Mac = Σ [t × PV_t] / P — il tempo medio ponderato (in periodi), quindi dividi per m per convertirlo in anni.
- 5Calcola la durata modificata: D_mod = D_Mac / (1 + a/m). Questa è la sensibilità al prezzo di primo ordine dell'obbligazione: moltiplica per −1 e la variazione del rendimento per stimare la variazione percentuale del prezzo.
- 6Calcola la convessità: C = [Σ t(t+1) × PV_t / (1+y/m)²] / (P × m²). Questo termine di secondo ordine aggiusta la stima della durata per la curvatura della curva prezzo-rendimento.
- 7Per una data variazione di rendimento Δy: stima ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)². Per Δy piccoli (< 25 bps), il solo termine di durata è solitamente sufficiente; per cambiamenti più grandi, la convessità diventa materiale.
Esempi risolti
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Obbligazione alla pari: prezzo = $ 1.000. Un aumento del rendimento di 100 punti base → ca. Variazione prezzi -7,93%.
Quando il tasso cedolare di un'obbligazione è pari al suo rendimento alla scadenza, viene scambiato alla pari ($ 1.000). La durata Macaulay di 8,11 anni riflette il tempo medio ponderato per ricevere i flussi di cassa in 10 anni di cedole semestrali più capitale finale. Una Duration modificata di 7,93 significa che l'obbligazione perde circa il 7,93% del prezzo per ogni aumento dell'1% dei rendimenti. Per un aumento del rendimento di 100 punti base: ΔP/P ≈ −7,93% × 1% + 0,5 × 79,5 × (0,01)² ≈ −7,93% + 0,40% = −7,53%, mostrando come la convessità compensi parzialmente il calo della durata.
Zero coupon: la durata equivale alla scadenza. Durata massima per una determinata scadenza: massima sensibilità al tasso.
Un’obbligazione a cedola zero non paga cedole provvisorie: tutto il flusso di cassa arriva alla scadenza. Pertanto, la sua durata Macaulay è esattamente uguale alla sua scadenza (20 anni). Con una Duration Modificata di 19,05, un aumento del rendimento dell'1% provoca un calo del prezzo di circa il 19,05%, rendendo questa obbligazione estremamente sensibile alle variazioni dei tassi di interesse. L’altissima convessità di 399,7 fornisce una protezione sostanziale contro grandi movimenti dei rendimenti, ma l’obbligazione rimane lo strumento più sensibile al tasso di interesse per la sua scadenza. Le obbligazioni zero coupon sono ampiamente utilizzate nelle strategie di investimento orientate alle passività per far fronte con precisione alle passività a lungo termine.
Cedola elevata rispetto al rendimento: operazioni sopra la pari (obbligazioni a premio). Sensibilità alle basse frequenze.
Con una cedola del 6% e un YTM del 5%, questa obbligazione viene scambiata al di sopra della pari (obbligazione premium, prezzo ≈ $ 1.027,23). La cedola elevata accelera la ricezione dei flussi di cassa, riducendo la Macaulay Duration a 2,74 anni nonostante una scadenza di 3 anni. Una Duration modificata di 2,67 significa solo una variazione di prezzo del 2,67% per ogni variazione del rendimento dell'1%, rendendo questo titolo molto meno sensibile ai tassi di interesse rispetto ai titoli del Tesoro a 10 anni o ai titoli a cedola zero. Le obbligazioni societarie a breve scadenza vengono utilizzate per ridurre il rischio di tasso di interesse pur continuando a guadagnare spread creditizi superiori ai rendimenti dei titoli di stato.
La durata del portafoglio è la media ponderata per il valore delle durate dei componenti.
Durata del portafoglio = 0,40 × 4,3 + 0,60 × 11,2 = 1,72 + 6,72 = 8,44. Questa scala obbligazionaria che combina obbligazioni corte e lunghe raggiunge una durata intermedia di 8,44 anni – simile a un titolo del Tesoro a 10 anni – senza detenere una singola obbligazione a 10 anni. Il laddering offre vantaggi in termini di liquidità (le obbligazioni maturano periodicamente) e consente un targeting preciso della durata. Un gestore di portafoglio che mira a una durata pari a 8,0 potrebbe aggiustare i pesi tra Obbligazione A e Obbligazione B per raggiungere l'obiettivo esatto utilizzando una semplice algebra lineare.
Applicazioni pratiche
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Immunizzazione del portafoglio obbligazionario: abbinamento della durata delle attività alla durata delle passività per fondi pensione e compagnie assicurative. Questa applicazione è comunemente utilizzata dai professionisti che necessitano di analisi quantitative precise per supportare il processo decisionale, il budget e la pianificazione strategica nei rispettivi campi
Copertura del tasso di interesse: calcolo dei futures del Tesoro o dei rapporti di copertura degli swap sui tassi di interesse utilizzando DV01. Gli operatori del settore si affidano a questo calcolo per valutare le prestazioni, confrontare le alternative e garantire la conformità agli standard stabiliti e ai requisiti normativi
Gestione del rischio obbligazionario: calcolo della durata del portafoglio e limiti DV01 per i trading desk. Ricercatori accademici e studenti utilizzano questo calcolo per convalidare modelli teorici, completare i compiti dei corsi e sviluppare una comprensione più profonda dei principi matematici sottostanti
Costruzione della strategia Liability-Driven Investment (LDI) per le attività dei piani pensionistici a benefici definiti. Gli analisti e i pianificatori finanziari incorporano questo calcolo nel loro flusso di lavoro per produrre previsioni accurate, valutare scenari di rischio e presentare raccomandazioni basate sui dati alle parti interessate
Capitale di vigilanza: calcoli del capitale di rischio di tasso di interesse basato sulla durata secondo gli standard del primo pilastro di Basilea 3 e dell'IRRBB. Questa applicazione è comunemente utilizzata dai professionisti che necessitano di analisi quantitative precise per supportare il processo decisionale, il budget e la pianificazione strategica nei rispettivi campi
Casi speciali
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In pratica, questo caso limite richiede un’attenta considerazione perché le ipotesi standard potrebbero non reggere. Quando si incontra questo scenario nei calcoli del calcolatore della durata delle obbligazioni e della convessità, i professionisti dovrebbero verificare le condizioni al contorno, controllare i rischi di divisione per zero e considerare se le ipotesi del modello rimangono valide in queste condizioni estreme.
In pratica, questo caso limite richiede un’attenta considerazione perché le ipotesi standard potrebbero non reggere. Quando si incontra questo scenario nei calcoli del calcolatore della durata delle obbligazioni e della convessità, i professionisti dovrebbero verificare le condizioni al contorno, controllare i rischi di divisione per zero e considerare se le ipotesi del modello rimangono valide in queste condizioni estreme.
In pratica, questo caso limite richiede un’attenta considerazione perché le ipotesi standard potrebbero non reggere. Quando si incontra questo scenario nei calcoli del calcolatore della durata delle obbligazioni e della convessità, i professionisti dovrebbero verificare le condizioni al contorno, controllare i rischi di divisione per zero e considerare se le ipotesi del modello rimangono valide in queste condizioni estreme.
Duration tipica e convessità per tipologia di obbligazione (approssimativa, contesto tariffario al 2024)
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| Tipo di obbligazione | Scadenza | Durata modificata | Convessità | Sensibilità al prezzo fino a +100 pb |
|---|---|---|---|---|
| Buono del Tesoro a 3 mesi | 3 mesi | 0.25 | 0.06 | −0,25% |
| Nota del Tesoro a 2 anni | 2 anni | 1.85 | 3.9 | −1,85% |
| Nota del Tesoro a 5 anni | 5 anni | 4.40 | 21.0 | −4,40% |
| Buono del Tesoro a 10 anni | 10 anni | 7.95 | 79.5 | −7,55% |
| Buono del Tesoro a 30 anni | 30 anni | 16.50 | 367.0 | −14,66% |
| Obbligazione a cedola zero a 10 anni | 10 anni | 9.52 | 98.0 | −9,05% |
| Obbligazione societaria IG (10 anni) | 10 anni | 7.40 | 72.0 | −7,04% |
| Obbligazione ad alto rendimento (5 anni) | 5 anni | 3.80 | 16.5 | −3,61% |
| Passaggio MBS | ~30 anni nominali | 3.0 – 5.0 | Negativo | Da −3% a −5% |
Domande frequenti
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Qual è la differenza pratica tra Macaulay e Durata modificata?
La Macaulay Duration è espressa in anni e rappresenta il tempo medio ponderato necessario per ricevere i flussi di cassa dell'obbligazione: è una misura del tempo, non direttamente una misura della sensibilità del prezzo. La Duration Modificata è la prima derivata del prezzo dell'obbligazione rispetto alla variazione del rendimento (divisa per il prezzo) e misura direttamente la variazione percentuale del prezzo per una variazione dell'1% del rendimento. Per le applicazioni pratiche, ovvero la stima di quanto cambierà il valore di un'obbligazione al variare dei tassi, la Duration Modificata è la misura rilevante. La Macaulay Duration è più utile concettualmente (per comprendere la tempistica dei flussi di cassa) e per costruire portafogli immunizzati (abbinando la durata delle attività alla durata delle passività in anni).
Perché la convessità è importante e quando diventa importante?
La convessità cattura la curvatura della relazione prezzo-rendimento. La sola Duration fornisce un’approssimazione lineare delle variazioni di prezzo, ma la curva prezzo-rendimento effettiva è convessa: curva verso l’alto. Per variazioni di rendimento modeste (meno di 25 punti base), la durata è solitamente sufficiente. Per movimenti di rendimento più ampi (50–200+ punti base), la convessità diventa sempre più rilevante. Durante i drammatici movimenti dei tassi del 2022 (la Federal Reserve ha aumentato i tassi di 425 punti base in un anno), gli investitori che hanno calcolato correttamente la convessità sono stati molto più accurati nella stima delle perdite di portafoglio rispetto a quelli che si affidavano solo alla durata. Una maggiore convessità è generalmente auspicabile in quanto significa che l’obbligazione perde meno quando i tassi salgono e guadagna di più quando i tassi scendono.
Cos'è la convessità negativa e quali obbligazioni la mostrano?
La maggior parte delle obbligazioni standard ha una convessità positiva: i guadagni di prezzo accelerano quando i rendimenti scendono e le perdite di prezzo rallentano quando i rendimenti aumentano. La convessità negativa è il contrario: i guadagni dei prezzi rallentano quando i rendimenti scendono e le perdite dei prezzi accelerano quando i rendimenti aumentano. Ciò si verifica con le obbligazioni callable (l'emittente richiama l'obbligazione quando i tassi scendono, limitando l'apprezzamento dei prezzi) e con i titoli garantiti da ipoteca (i proprietari di case pagano anticipatamente i mutui quando i tassi scendono, abbreviando la durata del titolo proprio quando si desidera che sia lunga). I corpi mobili inversi possono anche mostrare una convessità negativa. I titoli con convessità negativa offrono generalmente rendimenti più elevati per compensare gli investitori per questa caratteristica sfavorevole.
Come viene utilizzata la durata nell’immunizzazione del portafoglio obbligazionario?
L’immunizzazione è la strategia di far corrispondere la durata di un portafoglio alla durata delle sue passività target, in modo che le variazioni dei tassi di interesse influenzino equamente sia le attività che le passività, lasciando invariato il surplus di finanziamento. Un fondo pensione con passività aventi una durata effettiva di 12 anni punterebbe a un portafoglio obbligazionario con una durata modificata di 12 anni. Quando i tassi salgono, sia il valore delle attività che quello delle passività diminuiscono proporzionalmente, lasciando il rapporto di finanziamento pressoché invariato. L’immunizzazione completa richiede anche una convessità di abbinamento: se la convessità delle attività supera quella delle passività, il portafoglio è posizionato positivamente (guadagni derivanti da qualsiasi variazione di rendimento). Le strategie di Liability-Driven Investment (LDI) utilizzate dai fondi pensione e dalle compagnie assicurative si basano su questo quadro.
Cos'è la durata del dollaro (DV01) e come viene utilizzata?
La durata del dollaro, comunemente espressa come DV01 (valore del dollaro di un punto base) o PVBP (valore del prezzo di un punto base), misura la variazione del prezzo di un'obbligazione in termini di dollari per una variazione del rendimento di 1 punto base (0,01%). DV01 = Duration modificata × Prezzo obbligazionario × 0,0001. Ad esempio, un'obbligazione con durata modificata pari a 8 e prezzo di $ 1.000.000 ha DV01 = 8 × $ 1.000.000 × 0,0001 = $ 800. DV01 è ampiamente utilizzato dai trader a reddito fisso e dai gestori di portafoglio per dimensionare le posizioni, calcolare i rapporti di copertura e comunicare il rischio in termini di dollari anziché in percentuali, il che è più intuitivo per portafogli e trading desk di grandi dimensioni.
In che modo il tasso cedolare influisce sulla durata?
Tassi cedolari più elevati producono durate più brevi, mentre tassi cedolari più bassi (o pari a zero) producono durate più lunghe, per obbligazioni con la stessa scadenza. Questo perché cedole più elevate significano che l'investitore riceve prima una percentuale maggiore dei flussi di cassa totali (come pagamenti di cedole intermedie), riducendo il tempo medio ponderato per la ricezione dei flussi di cassa (durata Macaulay). Un’obbligazione con cedola alta è quindi meno sensibile ai tassi di interesse rispetto a un’obbligazione con cedola bassa e con la stessa scadenza. Questa relazione spiega perché le obbligazioni zero coupon hanno la durata massima possibile (pari alla scadenza) per qualsiasi durata di scadenza e livello di rendimento.
In che modo il livello di rendimento influisce sulla durata e sulla convessità?
La Duration e la Convessità sono entrambe sensibili al livello di rendimento prevalente. Quando i rendimenti sono bassi, la durata è generalmente più elevata (perché i tassi di sconto sono bassi, rendendo più preziosi i flussi di cassa distanti) e anche la convessità è più elevata. Quando i rendimenti sono elevati, la durata è inferiore e la convessità è inferiore. Ciò è particolarmente rilevante nel contesto attuale in cui i tassi sono aumentati in modo significativo da livelli prossimi allo zero: i portafogli che sembravano avere un rischio di durata elevata nel 2020-2021 ora hanno una durata effettiva inferiore a livelli di rendimento più elevati. Questa dipendenza dal rendimento implica che la durata deve essere ricalcolata ogni volta che i rendimenti variano in modo significativo e le stime statiche della durata possono diventare rapidamente obsolete in ambienti di tassi volatili.
Errori comuni da evitare
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- !Confondendo la Macaulay Duration (in anni, basata sul tempo) con la Modified Duration (in anni, ma in realtà una misura della sensibilità al prezzo): hanno interpretazioni e usi diversi.
- !Ignorando la convessità per movimenti di rendimento ampi: per variazioni di rendimento superiori a 50 punti base, il termine convessità diventa materiale e dovrebbe essere incluso nelle stime di variazione dei prezzi.
- !Supponendo che la durata sia costante, la durata cambia con il variare dei rendimenti, con il passare del tempo e con la ricezione dei flussi di cassa; deve essere ricalcolato regolarmente per un accurato monitoraggio del rischio di portafoglio.
- !Applicazione della Duration modificata alle obbligazioni con opzioni integrate (callable, putable, garantite da ipoteca): per questi titoli è necessario utilizzare la durata aggiustata per l'opzione (OAD) o la durata effettiva.
- !Utilizzando la sola durata per confrontare portafogli obbligazionari con diversi profili di convessità: due portafogli con uguale durata ma convessità molto diversa hanno profili di rischio significativamente diversi in ambienti di tasso non lineare.
Consiglio Pro
Per una gestione pratica del rischio nel reddito fisso, utilizzare la Dollar Duration (DV01) per comunicare il rischio in termini monetari anziché in termini percentuali. Un portafoglio con $ 5.000 DV01 cambia di valore di $ 5.000 per ogni variazione di punto base dei rendimenti, immediatamente interpretabile da trader, gestori del rischio e gestori di portafoglio.
Lo sapevi?
L'articolo di Frederick Macaulay del 1938 che introduce la Macaulay Duration faceva parte di uno studio fondamentale commissionato dal National Bureau of Economic Research sui tassi di interesse statunitensi che abbracciavano più di un secolo. Il concetto di durata fu in gran parte ignorato per quasi tre decenni, finché la teoria dell’immunizzazione non ne fece rivivere l’interesse durante gli anni ’60 e ’70.
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Riferimenti
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