Cos'è Value at Risk (VaR)?
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Il Value at Risk (VaR) è una misura statistica che quantifica la potenziale perdita finanziaria che un portafoglio potrebbe subire in un orizzonte temporale definito a un dato livello di confidenza. Ad esempio, un VaR del 95% su 1 giorno di 1 milione di dollari significa che esiste una probabilità del 95% che il portafoglio non perderà più di 1 milione di dollari in un singolo giorno di negoziazione o, equivalentemente, una probabilità del 5% che le perdite supereranno 1 milione di dollari in un dato giorno. Il VaR è diventato il parametro di rischio dominante negli istituti finanziari in seguito alla pubblicazione della metodologia RiskMetrics da parte di J.P. Morgan nel 1994 ed è stato successivamente incorporato nei quadri normativi di Basilea II e Basilea III per l'adeguatezza patrimoniale delle banche. Il VaR può essere calcolato utilizzando tre approcci principali. Il metodo della simulazione storica utilizza la distribuzione storica effettiva dei rendimenti del portafoglio, riproducendo le osservazioni dei rendimenti passati per costruire una distribuzione delle perdite e leggere il relativo percentile. Il metodo parametrico (varianza-covarianza) presuppone che i rendimenti siano distribuiti normalmente e utilizza il rendimento medio del portafoglio, la deviazione standard e il punteggio z della distribuzione normale per calcolare analiticamente il VaR. Il metodo Monte Carlo Simulation genera migliaia di scenari di rendimento casuale basati su ipotesi e correlazioni distribuzionali specificate, producendo una distribuzione sintetica delle perdite da cui viene stimato il VaR. Ogni metodo ha punti di forza e limiti. La simulazione storica è intuitiva ma limitata dalla qualità e dalla lunghezza del set di dati storici. Il metodo parametrico è computazionalmente semplice ma fallisce quando le distribuzioni di rendimento hanno code spesse o esposizioni al rischio non lineari (ad esempio, opzioni). Monte Carlo è il più flessibile ma computazionalmente intensivo e sensibile alle ipotesi del modello. Il VaR è ampiamente utilizzato da banche commerciali, banche di investimento, hedge fund, gestori patrimoniali, compagnie assicurative e fondi pensione. Si tratta di un requisito normativo per i calcoli del capitale di rischio di mercato ai sensi di Basilea III (utilizzando l'approccio dei modelli interni) ed è divulgato nelle relazioni annuali delle principali istituzioni finanziarie. Nonostante la sua ubiquità, il VaR presenta limiti ben documentati: non descrive la gravità delle perdite oltre la soglia di confidenza (tail loss), può sottostimare il rischio durante lo stress del mercato e può creare falsa precisione. Misure complementari come l’Expected Shortfall (CVaR) e gli stress test vengono sempre utilizzati insieme al VaR per una gestione completa del rischio.
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Formula
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VaR parametrico = W × (μ × T − z × σ × √T)
VaR storico = percentile (distribuzione profitti e perdite, 1 − livello di confidenza)Leggenda delle variabili
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| Simbolo | Nome | Unità | Descrizione |
|---|---|---|---|
| VaR | Valore a rischio | currency or % | La perdita massima attesa al livello di confidenza specificato nell'orizzonte temporale specificato. |
| μ | Rendimento medio del portafoglio | % per period | Il rendimento medio del portafoglio nel periodo di misurazione storico. |
| σ | Deviazione standard del portafoglio | % per period | La deviazione standard dei rendimenti del portafoglio nel periodo di misurazione storico. |
| z | Punteggio Z (livello di confidenza) | dimensionless | Il quantile della distribuzione normale corrispondente al livello di confidenza (ad esempio, 1,645 per il 95%, 2,326 per il 99%). |
| T | Orizzonte temporale | days | Il periodo di detenzione durante il quale viene misurato il VaR; tipicamente 1 giorno per i book di negoziazione o 10 giorni per il patrimonio di vigilanza. |
| W | Valore del portafoglio | currency | L'attuale valore di mercato del portafoglio; utilizzato per convertire il VaR percentuale in VaR in dollari. |
Come Value at Risk (VaR)
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- 1Definisci i parametri: scegli il livello di confidenza (tipicamente 95% o 99%), l'orizzonte temporale (1 giorno o 10 giorni) e il valore del portafoglio.
- 2Per il VaR parametrico: raccogliere le serie di rendimenti giornalieri del portafoglio, calcolare il rendimento medio giornaliero (μ) e la deviazione standard (σ), quindi calcolare il VaR = W × (z × σ × √T − μ × T), dove z = 1,645 per il 95% o 2,326 per il 99%.
- 3Per la simulazione storica: raccogliere almeno 250-500 osservazioni di rendimenti giornalieri, ordinarle dal peggiore al migliore e identificare il 5° percentile (per il VaR al 95%) o il 1° percentile (per il VaR al 99%) di questa distribuzione delle perdite storiche.
- 4Per Monte Carlo: specificare i parametri di distribuzione dei rendimenti (media, volatilità, correlazioni), generare oltre 10.000 scenari di rendimenti casuali, costruire la distribuzione P&L simulata e leggere il percentile appropriato.
- 5Scala da orizzonti da 1 giorno a orizzonti più lunghi: moltiplicare il VaR a 1 giorno per √T per stimare il VaR a T-giorno (valido secondo la regola della radice quadrata del tempo, che presuppone rendimenti indipendenti).
- 6Eseguire il backtest del modello VaR contando la frequenza con cui le perdite effettive superano la stima del VaR ("eccezioni"). Per il VaR al 99% sono previste circa 2,5 eccezioni all'anno (su 250 giorni di borsa aperta); molto di più indica il fallimento del modello.
- 7Riporta il VaR insieme all'Expected Shortfall (CVaR) – la perdita media dato che la perdita supera il VaR – per caratterizzare la coda della distribuzione delle perdite oltre la soglia del VaR.
Esempi risolti
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C'è una probabilità del 5% di perdere più di $ 19.374 in un dato giorno di negoziazione.
Utilizzando la formula parametrica: VaR = $ 1.000.000 × (1,645 × 0,012 − 0,0004) = $ 1.000.000 × (0,01974 − 0,0004) = $ 1.000.000 × 0,01934 = $ 19.340 (circa $ 19.374 con precisione punteggio z). Ciò significa che nel 95% dei giorni di negoziazione la perdita del portafoglio dovrebbe essere inferiore a tale importo. Si prevede che nel 5% dei giorni – circa 12-13 giorni di negoziazione all’anno – le perdite supereranno questa cifra. Questa stima del VaR presuppone rendimenti distribuiti normalmente e sottostimerebbe il rischio se la distribuzione dei rendimenti avesse code spesse.
Basilea 3 impone alle banche di detenere capitale a fronte del VaR a 10 giorni del 99% per il rischio di mercato.
Secondo l’approccio dei modelli interni di Basilea 3, le banche devono calcolare il VaR del 99% a 10 giorni per i requisiti patrimoniali relativi al rischio di mercato. Utilizzando la regola della radice quadrata del tempo: VaR a 10 giorni = VaR a 1 giorno × √10 = $ 500.000 × 3,162 = $ 1.581.139. La banca deve detenere un capitale regolamentare pari ad almeno 3 volte questo VaR (il fattore moltiplicatore) come buffer di capitale contro il rischio di mercato. Questo esempio illustra come il VaR influenzi direttamente i requisiti patrimoniali regolamentari e le decisioni di gestione del bilancio dei principali istituti finanziari.
Basato sulla distribuzione storica effettiva dei rendimenti: non è necessaria alcuna ipotesi di normalità.
Per un hedge fund con 500 giorni di storia dei rendimenti, il metodo di simulazione storica classifica tutte le 500 osservazioni giornaliere di profitti e perdite. La 25a peggiore perdita giornaliera (il 5° percentile = 500 × 0,05 = 25a osservazione) rappresenta il VaR del 95%. Se il 25° giorno peggiore comportasse una perdita del 3,8% su un portafoglio di $ 2.000.000, il VaR storico sarebbe di $ 76.000. Questo metodo è particolarmente utile per i portafogli di hedge fund con esposizioni non lineari (opzioni, convertibili) dove il presupposto di normalità del metodo parametrico fallirebbe, poiché utilizza i rendimenti effettivamente realizzati indipendentemente dalla loro forma distributiva.
VaR giornaliero del 10,4%: l'estrema volatilità delle criptovalute rende il VaR molto ampio rispetto al portafoglio.
Per un portafoglio di criptovalute con volatilità giornaliera del 4,5% (contro ~1% per i tipici portafogli azionari), il VaR del 99% è di circa $ 100.000 × (2,326 × 0,045 − 0,001) = $ 100.000 × 0,10367 = $ 10.377. Ciò significa che esiste una probabilità dell’1% di perdere oltre il 10% del portafoglio in un dato giorno: un rischio assoluto molto più elevato rispetto alle attività finanziarie convenzionali. Fondamentalmente, il modello parametrico probabilmente sottostima il vero VaR crittografico a causa delle distribuzioni di rendimento leptocurtico a coda grassa. La simulazione storica o la teoria dei valori estremi producono generalmente stime più elevate per tali classi di attività.
Applicazioni pratiche
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Calcoli del capitale regolamentare di Basilea III per il rischio di mercato bancario nell'ambito dell'approccio dei modelli interni, che rappresentano un'importante area di applicazione del Value At Risk in contesti professionali e analitici in cui calcoli accurati del Value at Risk supportano direttamente il processo decisionale informato, la pianificazione strategica e l'ottimizzazione delle prestazioni
Monitoraggio giornaliero dei limiti di rischio per i trading desk di banche di investimento e società di market-making, che rappresenta un'importante area di applicazione del Value At Risk in contesti professionali e analitici in cui calcoli accurati del valore a rischio supportano direttamente il processo decisionale informato, la pianificazione strategica e l'ottimizzazione delle prestazioni
UCITS fund prospectus risk disclosures required by EU regulations (SRRI methodology), representing an important application area for the Value At Risk in professional and analytical contexts where accurate value at risk calculations directly support informed decision-making, strategic planning, and performance optimization
Portfolio optimization: constructing minimum-VaR portfolios within return targets, representing an important application area for the Value At Risk in professional and analytical contexts where accurate value at risk calculations directly support informed decision-making, strategic planning, and performance optimization
Insurance company risk-based capital calculations for investment portfolio market risk, representing an important application area for the Value At Risk in professional and analytical contexts where accurate value at risk calculations directly support informed decision-making, strategic planning, and performance optimization
Casi speciali
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{'case': 'Portafogli di opzioni e VaR non lineare', 'description': 'Per i portafogli contenenti opzioni, i modelli VaR lineari (parametrici) non sono appropriati perché le opzioni hanno profili P&L non lineari (esposizioni delta, gamma, vega). È necessario utilizzare il VaR (Simulazione storica o Monte Carlo) con rivalutazione completa, applicando gli scenari di rendimento per rivalutare ciascuna opzione individualmente utilizzando il relativo modello di prezzo anziché ipotizzare variazioni proporzionali di P&L.'}
{'case': 'Valore del portafoglio negativo o posizioni corte', 'descrizione': 'Per i portafogli con posizioni corte nette, i guadagni e le perdite sono invertiti rispetto ai movimenti del mercato. Il VaR deve essere calcolato dal punto di vista della distribuzione effettiva di profitti e perdite, non della distribuzione dei rendimenti delle attività sottostanti. Le posizioni corte traggono vantaggio dai cali del mercato ma perdono dai progressi del mercato, quindi il VaR per i libri short deve tenere conto del rischio di rialzo del mercato piuttosto che del rischio di ribasso.'}
{'case': 'Correlation Breakdown While Stress', 'description': 'I modelli VaR che si basano su correlazioni storiche tra asset possono sottostimare notevolmente il VaR del portafoglio durante eventi di stress del mercato, quando asset precedentemente non correlati diventano altamente correlati (la correlazione arriva a 1 in una crisi). I benefici della diversificazione assunti nei mercati normali possono scomparire improvvisamente, facendo sì che le perdite effettive superino di gran lunga le stime del VaR multi-asset.'}
Punteggi Z del livello di confidenza del VaR e tassi di eccezione annuali
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| Livello di fiducia | Punteggio Z | Tasso di eccezione giornaliero | Eccezioni previste/Anno |
|---|---|---|---|
| 90% | 1.282 | 10% | ~25 giorni/anno |
| 95% | 1.645 | 5% | ~12–13 giorni/anno |
| 97,5% | 1.960 | 2,5% | ~6 giorni/anno |
| 99% | 2.326 | 1% | ~2–3 giorni/anno |
| 99,5% | 2.576 | 0,5% | ~1 giorno/anno |
| 99,9% | 3.090 | 0,1% | ~1 giorno ogni 4 anni |
Domande frequenti
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Qual è la differenza tra VaR e Expected Shortfall (CVaR)?
Il VaR risponde alla domanda "qual è la perdita massima a un dato livello di confidenza?" – ma non dice nulla su quanto grandi possano essere le perdite oltre tale soglia. L'Expected Shortfall (ES), chiamato anche Conditional VaR (CVaR), risponde alla domanda complementare "se le perdite superano il VaR, qual è la perdita media?" L’ES è sempre maggiore o uguale al VaR e fornisce una descrizione più completa del rischio di coda. Ad esempio, se il VaR al 99% è di 1 milione di dollari, il CVaR potrebbe essere di 1,8 milioni di dollari, il che significa che le perdite oltre la soglia del VaR sono in media di 1,8 milioni di dollari. Basilea III si è progressivamente spostata dal VaR all'Expected Shortfall come misura primaria del rischio normativo a causa delle proprietà superiori del rischio di coda del CVaR.
Perché il VaR non ti dice quanto possono essere gravi le perdite peggiori?
Il VaR è una misura quantile: specifica una soglia che le perdite non supereranno con una determinata probabilità, ma non fornisce informazioni sulla distribuzione delle perdite oltre tale soglia. Due portafogli possono avere VaR identici ma profili di perdita molto diversi: uno potrebbe avere perdite moderate appena oltre il VaR, mentre un altro potrebbe subire perdite catastrofiche. Questa limitazione è particolarmente grave per i portafogli con opzioni, derivati di credito o altri strumenti con distribuzioni di rendimento non lineari e altamente distorte. La conseguenza pratica è che il VaR da solo non è sufficiente per la gestione del rischio e deve essere integrato dall’Expected Shortfall e dagli stress test.
Quale livello di confidenza dovrei utilizzare per il VaR?
Le scelte più comuni sono 95% (utilizzata in molte applicazioni interne di gestione del rischio e da alcune autorità di regolamentazione) e 99% (specificata da Basilea III per il capitale di rischio del mercato bancario). Alcune aziende utilizzano il 99,9% o una percentuale superiore per il capitale economico e per scopi di stress test. La scelta dipende dall’applicazione: i limiti di rischio interni potrebbero utilizzare il VaR del 95% per il monitoraggio quotidiano (producendo eccezioni più frequenti ma più piccole), mentre i quadri di capitale regolamentare e di tolleranza al rischio utilizzano tipicamente il VaR del 99%. Livelli di confidenza più elevati producono stime VaR più ampie e richiedono più dati storici per una stima affidabile: un VaR del 99,9% da dati storici richiede almeno 1.000 osservazioni per avere un numero significativo di eventi di coda.
Come viene effettuato il backtest del VaR?
I modelli VaR vengono sottoposti a test retrospettivi confrontando le stime giornaliere del VaR con le effettive successive realizzazioni di profitti e perdite e contando il numero di "eccezioni", ovvero i giorni in cui le perdite effettive superano la stima del VaR. Per un modello VaR al 99% correttamente calibrato, circa l’1% dei giorni dovrebbe produrre eccezioni: circa 2 o 3 giorni all’anno su 250 giorni di negoziazione. Basilea 3 utilizza un sistema a semaforo: 0–4 eccezioni all’anno costituiscono una zona verde (il modello è accettabile), 5–9 sono una zona gialla (il modello è sospetto, si applicano oneri patrimoniali aggiuntivi) e 10+ sono una zona rossa (il modello è rifiutato). La sistematica sovra o sotto previsione delle eccezioni innesca il controllo normativo e la ricalibrazione dei modelli.
Quali sono i principali limiti del VaR?
Il VaR presenta diverse limitazioni ben documentate. Può fornire una falsa precisione: esprimere il rischio come un singolo numero può creare una fiducia fuorviante. Non misura il rischio di coda (perdite oltre la soglia VaR). Il VaR parametrico presuppone rendimenti distribuiti normalmente, che sottostimano il rischio derivante da distribuzioni a coda grassa. La simulazione storica guarda al passato e potrebbe non cogliere le condizioni future del mercato. Il VaR può essere prociclico: apparire basso durante i mercati calmi quando il rischio si sta effettivamente accumulando e aumentare durante le crisi quando è necessario tagliare le posizioni. Inoltre, durante eventi di stress correlati, i benefici di diversificazione assunti dai modelli VaR possono scomparire, facendo sì che le perdite effettive superino di gran lunga le stime del VaR.
Come incide l’orizzonte temporale sul VaR?
Il VaR scala approssimativamente con la radice quadrata dell'orizzonte temporale presupponendo che i rendimenti giornalieri siano indipendenti e identicamente distribuiti (i.i.d.). Un VaR a 10 giorni è circa √10 ≈ 3,16 volte il VaR a 1 giorno. Questa regola di dimensionamento è incorporata in Basilea III (che specifica il VaR a 10 giorni per il capitale regolamentare) ed è matematicamente valida quando i rendimenti non sono correlati nel tempo. Tuttavia, se i rendimenti mostrano un’autocorrelazione seriale – cosa che molti fanno su orizzonti brevi – la regola della radice quadrata del tempo sovrastima il VaR per gli asset positivamente autocorrelati e lo sottostima per quelli negativamente autocorrelati (mean reverting).
A cosa serve nella pratica il VaR da parte delle banche e delle imprese di investimento?
Le banche utilizzano il VaR per i calcoli del capitale regolamentare (capitale di rischio di mercato di Basilea III), il monitoraggio giornaliero dei limiti di rischio per i trading desk, la stima dell’esposizione creditizia della controparte e l’allocazione del capitale economico tra le linee di business. I gestori degli investimenti utilizzano il VaR per la costruzione del portafoglio (ottimizzando il portafoglio per raggiungere il VaR target entro i limiti del budget di rischio), la rendicontazione dei clienti (divulgando il rischio del portafoglio in forma standardizzata), l'informativa sui rischi del prospetto del fondo (richiesta nei fondi OICVM nell'UE) e gli stress test. I sistemi di gestione del rischio delle principali banche calcolano il VaR in tempo reale su migliaia di posizioni e classi di attività per aggregare l’esposizione al rischio di mercato dell’intera azienda.
Errori comuni da evitare
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- !Trattare il VaR come la massima perdita possibile: il VaR è un limite inferiore dell'intervallo di confidenza per le perdite di coda, non il caso peggiore in assoluto.
- !L’utilizzo di una finestra storica troppo breve per la stima del VaR – meno di 250 giorni di negoziazione – produce stime parametriche inaffidabili e osservazioni della coda insufficienti per la simulazione storica.
- !L'applicazione della regola di scaling della radice quadrata del tempo ai rendimenti con autocorrelazione significativa o inversione della media, porta a stime VaR su più giorni errate.
- !Confronto dei VaR calcolati a diversi livelli di confidenza o orizzonti temporali senza aggiustare queste differenze.
- !Ignorare l’Expected Shortfall e gli stress test: il VaR da solo non è sufficiente per una gestione completa del rischio e non può descrivere la gravità delle tail loss.
Consiglio Pro
Integrare sempre il VaR con l’Expected Shortfall (CVaR) e gli stress test storici utilizzando scenari di crisi reali (2008, 2020). Chiedersi: "Se siamo nella coda dell'1%, quanto può peggiorare la situazione?" – questa è la domanda a cui il VaR non può rispondere, ma che la gestione del rischio non può ignorare.
Lo sapevi?
La pubblicazione RiskMetrics di J.P. Morgan del 1994, che rese popolare il VaR, fu guidata da una richiesta dell'allora CEO Dennis Weatherstone che voleva un unico rapporto giornaliero che riassumesse il rischio totale dell'azienda in un numero. Il risultato – il “rapporto delle 4:15” consegnato 15 minuti dopo la chiusura del mercato – ha cambiato per sempre la gestione del rischio bancario globale.
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Riferimenti
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