Cos'è Kelly Criterion Calculator?
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Il criterio di Kelly è una formula matematica che determina la frazione ottimale di un bankroll o di un portafoglio da destinare a una scommessa o investimento favorevole al fine di massimizzare la crescita logaritmica della ricchezza a lungo termine. Sviluppata da John L. Kelly Jr. ai Bell Labs nel 1956 nel contesto della teoria dell'informazione e applicata in modo indipendente al gioco d'azzardo e agli investimenti, la formula di Kelly produce il più alto tasso di crescita composto a lungo termine tra tutte le strategie di scommessa a frazione fissa, garantendo al contempo che la probabilità di rovina è teoricamente zero (con scommesse continue su quote favorevoli). Per una scommessa binaria semplice con probabilità p di vincita (e probabilità q = 1 − p di perdere), dove una vincita paga una quota b (vinci b dollari per ogni dollaro scommesso), la frazione di Kelly ottimale è: f* = (bp − q) / b = p − q/b. Questa frazione è il valore atteso della scommessa espresso come frazione del bankroll. Scommettere più di f* (scommettere eccessivamente) riduce la crescita composta e aumenta il rischio di rovina; scommettere meno di f* (scommettere sotto) è sicuro ma non ottimale in una prospettiva di crescita a lungo termine. Per gli investimenti continui (azioni, portafogli), la formula di Kelly si estende a: f* = (μ − r) / σ², dove μ è il rendimento atteso, r è il tasso privo di rischio e σ² è la varianza del rendimento. Questo risultato si collega direttamente all'indice di Sharpe: f* = indice di Sharpe / σ, il che significa che la leva ottimale di Kelly è l'indice di Sharpe diviso per la volatilità. Per un tipico portafoglio azionario diversificato con Sharpe=0,5 e σ=15%, Kelly suggerisce un’allocazione di 0,5/0,15 = 333% – molto superiore al 100%, indicando una leva teorica. In pratica, la frazione di Kelly completa viene utilizzata raramente perché: (1) le stime del margine e della probabilità del mondo reale contengono un'incertezza significativa, rendendo il margine reale inferiore a quello stimato (è comune una frazione di Kelly del 25-50%); (2) il Kelly completo produce gravi prelievi: il massimo prelievo previsto prima del raddoppio è di circa il 50% della ricchezza; (3) la maggior parte degli investitori ha funzioni di utilità che penalizzano le grandi perdite più di quanto implica l’utilità logaritmica. Le strategie Half-Kelly o Quarter-Kelly raggiungono il 75% o il 50% del tasso di crescita di Kelly a lungo termine, riducendo drasticamente il drawdown e la varianza dei risultati. Il criterio di Kelly è ampiamente utilizzato nelle scommesse sportive, nel poker (i giocatori professionisti lo utilizzano esplicitamente per la gestione del bankroll), nel commercio di materie prime e nella gestione quantitativa degli investimenti. I leggendari investitori Warren Buffett e Charlie Munger hanno descritto approcci di investimento coerenti con i principi di Kelly, e il Criterio è alla base del lavoro pionieristico di Edward Thorp sia nel conteggio delle carte del blackjack che nella gestione quantitativa degli hedge fund.
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Formula
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Frazione di Kelly (binaria): f* = (b×p − q) / b = p − (1−p)/b
Frazione di Kelly (continua): f* = (μ − r) / σ²
Tasso di crescita: g = p × ln(1 + b×f*) + (1−p) × ln(1 − f*)Leggenda delle variabili
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| Simbolo | Nome | Unità | Descrizione |
|---|---|---|---|
| f* | Frazione Kelly | % | Frazione ottimale del bankroll da scommettere o investire; massimizza la crescita della ricchezza logaritmica di lungo periodo. |
| p | Probabilità di vittoria | % | Probabilità stimata di un esito favorevole; deve superare la probabilità di pareggio (1/(1+b)) per il fronte positivo. |
| b | Rapporto quote nette | ratio | Vincite nette per unità puntata in caso di vincita: se vinci $ 3 per $ 1 puntato, b=3. Deve essere positivo per una potenziale scommessa. |
| EV | Valore atteso | USD | Profitto atteso unitario: EV = (p × b) − (1 − p). L'EV positivo è necessario (ma non sufficiente) affinché Kelly possa consigliare una scommessa. |
| g | Tasso di crescita | %/round | Tasso di crescita composto di lungo periodo per giro di puntate alla frazione di Kelly: g = p × ln(1+b×f*) + (1−p) × ln(1−f*). |
Come Kelly Criterion Calculator
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- 1Stimare la probabilità p di un risultato favorevole (da dati storici, modello o analisi dei margini).
- 2Determinare la quota b: vincita netta per unità puntata in caso di successo.
- 3Verificare il valore atteso positivo: EV = b×p − (1−p) > 0. Se EV ≤ 0, non scommettere (f* ≤ 0 significa che Kelly consiglia di non scommettere).
- 4Calcola la frazione di Kelly: f* = (b×p − (1−p)) / b.
- 5Se lo si desidera, applicare la Kelly frazionaria: tipicamente da f = 0,25 × f* a 0,5 × f* per una gestione del capitale più conservativa.
- 6Dimensiona la scommessa: importo della scommessa = f* × bankroll totale.
- 7Ricalcola dopo ogni scommessa man mano che la dimensione del bankroll cambia: Kelly è una strategia dinamica con scommesse proporzionali alla ricchezza attuale.
Esempi risolti
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Solo il 10% del bankroll nonostante il tasso di vincita del 55%: Kelly è conservatrice
f* = (1,0 × 0,55 − 0,45) / 1,0 = (0,55 − 0,45) = 0,10 = 10%. Importo della scommessa = 10% × $ 10.000 = $ 1.000. Valore atteso per scommessa = (0,55 × $ 1.000) − (0,45 × $ 1.000) = $ 550 − $ 450 = $ 100. Questa frazione relativamente piccola (10%) nonostante un vantaggio apparentemente ampio (55% contro un discreto 50%) riflette il conservatorismo di Kelly. Scommettere tutti i $ 10.000 (100%) massimizzerebbe il valore atteso per scommessa ma rischierebbe la rovina: una serie di 10 perdite consecutive (probabilità ≈ 0,3%) spazzerebbe via il bankroll. La frazione del 10% di Kelly rende ottimale la crescita di lungo periodo rendendo la rovina straordinariamente improbabile.
L'elevata varianza del poker richiede molti buy-in anche con vantaggio positivo
Nel poker, la formula del rischio di rovina correlata a Kelly: P(rovina) = e^(−2×W×B/V), dove W=tasso di vincita per mano, B=bankroll nei big blind, V=varianza per mano. Con tasso di vincita 55bb/100 = 0,55bb/mano, varianza = 100²/100 = 100 bb²/mano e bankroll B = 30 buy-in × 100bb = 3.000bb: P(rovina) = e^(−2×0,0055×3000/100) = e^(−0,33) = 72% — terribile! I giocatori di poker professionisti utilizzano almeno 30–50 buy-in. A 50 buy-in (5.000bb): P(rovina) = e^(−0,55) = 58% — ancora alto. L'analisi di Kelly rivela che l'elevata varianza del poker richiede bankroll molto profondi anche per i giocatori vincenti.
Full Kelly è estremamente aggressivo; la maggior parte dei professionisti utilizza il 25-50% di Kelly
f* = (μ − r) / σ² = (0,10 − 0,05) / (0,20²) = 0,05 / 0,04 = 1,25 = 125%. Full Kelly consiglia un'allocazione azionaria del 125% (prendendo in prestito il 25% per investire). Questa è la frazione di portafoglio ottimale di Merton con utilità logaritmica. In pratica, il vero rapporto di Sharpe e σ sono incerti (errore di stima), quindi il bordo effettivo è inferiore a quello stimato. Utilizzando una frazione di metà Kelly del 62,5% si raggiungerebbe circa il 75% del tasso di crescita massimo, riducendo drasticamente il rischio di prelievo. I fondi quantistici professionali utilizzano in genere il 20-50% della Kelly teorica per tenere conto dell’incertezza della stima.
Kelly multi-asset utilizza operazioni di matrice sulla matrice di covarianza
Kelly multi-asset: f* = Σ⁻¹ × α (vettore alfa), dove Σ è la matrice di covarianza e α è il vettore dei rendimenti in eccesso. L'asset A ha Sharpe 1.0 e un volume relativamente basso: Kelly alloca pesantemente. L'asset B ha uno Sharpe più basso e un volume più alto: un'allocazione Kelly più piccola. La correlazione positiva riduce l'allocazione totale del portafoglio rispetto al caso non correlato (dove f_total = 55% + 25% = 80%). Ciclo di implementazione pratica e vincoli: il fondo long-only allocherebbe circa l’80% A, il 20% B a livello di portafoglio dopo la normalizzazione. Il multi-asset Kelly massimizza il tasso di crescita a lungo termine del portafoglio data la distribuzione congiunta dei rendimenti.
Applicazioni pratiche
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Gestione del bankroll delle scommesse sportive per scommettitori professionisti
Selezione delle puntate dei giocatori di poker e gestione del bankroll
Modelli quantitativi di dimensionamento delle posizioni degli hedge fund
Allocazione del portafoglio di capitale di rischio tra le opportunità di investimento
Allocazione del capitale dell'algoritmo di trading attraverso strategie concorrenti
Casi speciali
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In pratica, questo caso limite richiede un’attenta considerazione perché le ipotesi standard potrebbero non reggere. Quando si incontra questo scenario nei calcoli del calcolatore del criterio Kelly, i professionisti dovrebbero verificare le condizioni al contorno, controllare i rischi di divisione per zero e considerare se le ipotesi del modello rimangono valide in queste condizioni estreme.
In pratica, questo caso limite richiede un’attenta considerazione perché le ipotesi standard potrebbero non reggere. Quando si incontra questo scenario nei calcoli del calcolatore del criterio Kelly, i professionisti dovrebbero verificare le condizioni al contorno, controllare i rischi di divisione per zero e considerare se le ipotesi del modello rimangono valide in queste condizioni estreme.
In pratica, questo caso limite richiede un’attenta considerazione perché le ipotesi standard potrebbero non reggere. Quando si incontra questo scenario nei calcoli del calcolatore del criterio Kelly, i professionisti dovrebbero verificare le condizioni al contorno, controllare i rischi di divisione per zero e considerare se le ipotesi del modello rimangono valide in queste condizioni estreme.
Trade-off tra la frazione di Kelly e il tasso di crescita di lungo periodo
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| Kelly multipla | Tasso di crescita (% di Kelly) | Gravità del prelievo | Utente tipico |
|---|---|---|---|
| Kelly completo (1.0×) | 100% | Grave (~50% DD massimo previsto) | Ottimale teorico |
| Mezza Kelly (0,5×) | 75% | Moderato (~25% max DD) | Fondi quantitativi aggressivi |
| Quarto Kelly (0,25×) | 44% | Lieve (~12% max DD) | Professionisti conservatori |
| 10° Kelly (0,1×) | 19% | Molto basso (~5% DD massimo) | Gestione del rischio avversa al rischio |
| 2× Kelly (scommessa eccessiva) | 0% | Estremo: tendenza alla rovina | Zona pericolosa: evitala |
| 3× Kelly (scommessa eccessiva) | Negativo | Rovina quasi certa | Catastrofico |
Domande frequenti
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Perché nella pratica la Kelly completa viene utilizzata raramente?
Full Kelly massimizza la crescita logaritmica di lungo periodo ma produce un dimensionamento della posizione molto aggressivo e gravi perdite. Il prelievo massimo previsto prima che la ricchezza raddoppi è pari a circa il 50% della ricchezza attuale, il che significa che dovresti aspettarti di perdere metà del tuo denaro ad un certo punto prima di raddoppiare. La maggior parte degli investitori ha funzioni di utilità più avverse al rischio rispetto a quelle logaritmiche, ponendo maggiori penalità in caso di grandi perdite. Inoltre, le stime del vantaggio nel mondo reale sono incerte: se il tuo vantaggio reale è la metà del vantaggio stimato, la Kelly completa diventa una significativa scommessa eccessiva. Half-Kelly raggiunge circa il 75% del tasso di crescita di Kelly con una varianza molto più bassa e un prelievo massimo. I fondi quantistici professionali utilizzano in genere il 20-50% di Kelly.
Qual è la relazione tra il criterio di Kelly e l'indice di Sharpe?
Per un investimento continuo con rendimenti normalmente distribuiti, la leva finanziaria ottimale di Kelly è: f* = Rapporto di Sharpe / σ = (μ − r) / σ². Ciò significa che la frazione di Kelly aumenta con l'indice di Sharpe (un margine più alto giustifica una dimensione maggiore) e diminuisce con la volatilità (un volume più alto significa un maggiore rischio di varianza). Il tasso di crescita massimo di lungo periodo (crescita di Kelly) è uguale al tasso privo di rischio più (Sharpe²)/2, quindi la crescita di Kelly è direttamente proporzionale al quadrato dell’indice di Sharpe. Questa relazione è il motivo per cui l’indice di Sharpe è il parametro più importante per gli investitori Kelly-ottimali: una strategia con il doppio dell’indice di Sharpe raggiunge quattro volte il tasso di crescita incrementale.
Il criterio di Kelly può portare alla rovina?
Teoricamente, il criterio di Kelly ha zero probabilità di rovina nel lungo periodo per una scommessa favorevole con esiti continui a probabilità positiva (la passeggiata casuale geometrica converge quasi sicuramente all'infinito). Tuttavia, in pratica, il rischio di rovina esiste a causa di: (1) scommesse discrete (non divisibili all'infinito) che possono superare la frazione di Kelly in termini relativi; (2) errore del modello: la probabilità reale e le probabilità potrebbero essere meno favorevoli di quanto stimato; (3) rischio di serie di vittorie: con Kelly al completo, lunghe serie di sconfitte causano perdite estreme anche senza rovina; (4) leva finanziaria: se la frazione di Kelly supera il 100% (come nelle applicazioni del mercato azionario), i fondi presi in prestito creano possibilità di rovina limitate. Nella pratica, per gestire tutti questi rischi si preferiscono le strategie Kelly frazionarie.
In che modo il criterio di Kelly gestisce le scommesse correlate?
Per una scommessa singola, Kelly è semplice. Per un portafoglio di scommesse o investimenti attivi contemporaneamente, il multi-asset Kelly utilizza l'algebra matriciale: f* = Σ⁻¹ × α, dove Σ è la matrice di covarianza dei rendimenti e α è il vettore dei rendimenti aggiuntivi attesi. Le scommesse correlate positivamente riducono l’allocazione totale di Kelly rispetto alle scommesse non correlate: il gestore del portafoglio dovrebbe ridimensionare quando le scommesse sono correlate perché la correlazione amplifica il rischio di prelievo. Le scommesse correlate negativamente consentono un'allocazione totale maggiore. Questo è il fondamento matematico per cui la diversificazione (correlazione negativa/bassa tra le posizioni) consente un maggiore impiego totale del capitale senza sacrificare la sicurezza.
Qual è la strategia della "Kelly frazionaria"?
La Kelly frazionaria scommette una frazione fissa dell'intero importo Kelly, in genere dal 25% (un quarto di Kelly) al 50% (mezza Kelly). Half-Kelly raggiunge circa il 75% del tasso di crescita massimo di lungo periodo mentre: (1) riduce la varianza del portafoglio al 25% della varianza di Kelly; (2) dimezzare il prelievo massimo previsto; (3) fornire un sostanziale buffer contro gli errori di stima di margine e probabilità. La relazione è quadratica: scommettendo sulla frazione c di Kelly si ottiene una frazione c(2−c) del tasso di crescita massimo di Kelly (sempre inferiore al 100%), quindi la penalità del tasso di crescita derivante dalla sottoscommessa è molto inferiore al beneficio della riduzione della varianza. Questa asimmetria spiega perché la Kelly frazionaria domina la Kelly completa per la gestione pratica del rischio.
Chi utilizza il Criterio di Kelly a livello professionale?
Il criterio di Kelly è stato esplicitamente adottato o influenzato diverse carriere di investitori leggendari. Edward Thorp - un professore di matematica che ha inventato il conteggio delle carte nel blackjack - ha applicato rigorosamente Kelly sia al gioco d'azzardo (documentato in Beat the Dealer) che al suo hedge fund Princeton/Newport Partners, che ha gestito per 19 anni con eccezionali rendimenti adeguati al rischio. La filosofia di dimensionamento concentrato della posizione di Warren Buffett riflette il pensiero di Kelly: fai grandi scommesse quando hai un'elevata convinzione e un vantaggio genuino. Gli scommettitori sportivi professionisti e i giocatori di poker utilizzano Kelly esplicitamente per la gestione del bankroll. Gli hedge fund quantitativi come Renaissance Technologies utilizzano implicitamente concetti di frazione ottimale correlati a Kelly nelle loro strategie di trading sistematico.
Qual è il pericolo di "scommettere troppo" con Kelly?
Scommettere in eccesso – scommettere più della frazione di Kelly – è peggiore che scommettere in difetto sia dal punto di vista del tasso di crescita che della probabilità di rovina. Esattamente a 2× Kelly (doppio Kelly), il tasso di crescita di lungo periodo scende a zero: il valore del conto oscilla attorno a un livello senza crescere. Oltre il 2× Kelly, il tasso di crescita diventa negativo: è praticamente certo che il conto alla fine perderà tutto il valore. Questa forte asimmetria (scommettere in modo insufficiente è semplicemente subottimale, scommettere in eccesso può essere catastrofico) rende Kelly un importante limite superiore per la dimensione della posizione. In pratica, ogni volta che un modello suggerisce una frazione di Kelly molto vicina o superiore al 100%, consideralo come un segnale per applicare in modo aggressivo un fattore di Kelly frazionario a causa dell'aumento del rischio di scommessa eccessiva.
Errori comuni da evitare
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- !Utilizzando la Kelly completa senza tenere conto dell'incertezza della stima in termini di margine e probabilità: applicare sempre la Kelly frazionaria (25–50%) nelle applicazioni reali.
- !Ignorando la struttura di correlazione quando si valutano più posizioni simultanee, le scommesse correlate richiedono frazioni di Kelly individuali ridotte.
- !Applicando Kelly a scommesse con valore atteso negativo: in questi casi Kelly produce correttamente f* ≤ 0 (nessuna scommessa).
- !Considerando Kelly come una regola fissa sulla dimensione delle scommesse, dovrebbe essere applicata ogni volta alla ricchezza attuale, riducendo proporzionalmente le scommesse man mano che la ricchezza diminuisce.
- !Supponendo che Kelly raggiunga il massimo rendimento atteso in dollari, massimizza la crescita logaritmica (geometrica), non il rendimento atteso aritmetico.
Consiglio Pro
Esegui una simulazione Monte Carlo di 1.000 percorsi su 100 scommesse utilizzando Kelly completa, metà Kelly e un quarto di Kelly. La distribuzione dei risultati finali della ricchezza dimostra visivamente sia la tendenza centrale superiore di Kelly sia il catastrofico lato negativo delle scommesse eccessive, in modo molto più convincente delle sole formule.
Lo sapevi?
John Kelly Jr. pubblicò il suo criterio in un articolo del Bell System Technical Journal del 1956 intitolato "Una nuova interpretazione del tasso di informazione", inquadrando il risultato in termini di teoria dell'informazione e capacità del canale di comunicazione, non di gioco d'azzardo. Il giornale non menzionava affatto il gioco d'azzardo. Ed Thorp ne riconobbe l'applicazione al blackjack e successivamente al mercato azionario, traducendo efficacemente Kelly dalla teoria dell'informazione alla gestione pratica degli investimenti.
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Riferimenti
- ›Kelly, JL (1956): Una nuova interpretazione del tasso di informazione, Bell System Technical Journal
- ›Thorp, E.O. (2006): Il criterio di Kelly nel blackjack, nelle scommesse sportive e nel mercato azionario
- ›MacLean, Thorp e Ziemba: il criterio di investimento per la crescita del capitale di Kelly, World Scientific
- ›Investopedia: definizione del criterio di Kelly
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