La deviazione standard è la misura della diffusione più utilizzata nelle statistiche. Ti dice quanto sono distribuiti i valori attorno alla media. Questa guida lo spiega dai principi primi con esempi pratici.
Cosa ti dice la deviazione standard
La media indica il centro di un set di dati. La deviazione standard indica quanto i valori si allontanano generalmente da quel centro.
Deviazione standard bassa → valori raggruppati strettamente attorno alla media Deviazione standard elevata → valori ampiamente discostati dalla media
Due classi di esame hanno entrambe una media del 70%, ma:
- Classe A: punteggi 68, 69, 70, 71, 72 — SD ≈ 1,4 (molto coerente)
- Classe B: punteggi 40, 55, 70, 85, 100 — SD ≈ 22,4 (altamente variabile)
Stessa media, distribuzioni molto diverse.
La Formula
Esistono due versioni a seconda che si abbia la popolazione completa o un campione.
Deviazione standard della popolazione (σ)
Da utilizzare quando si dispone di dati per ogni membro del gruppo.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
Deviazione standard campione (s)
Da utilizzare quando i dati rappresentano un campione di una popolazione più ampia (il caso più comune).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
Il denominatore è n − 1 (non n) per correggere la distorsione derivante dalla stima di un parametro della popolazione da un campione. Questa è chiamata correzione di Bessel.
Calcolo passo dopo passo
Set di dati: Punteggi dei test per 6 studenti: 72, 85, 68, 91, 74, 80
Passaggio 1: trova la media
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
Passaggio 2: trova ogni deviazione dalla media
| Punto | Deviazione (x − x̄) | Deviazione quadrata |
|---|---|---|
| 72 | −6.33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −10.33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | −4.33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
Passaggio 3: somma le deviazioni al quadrato
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
Passaggio 4: dividere per n − 1 (campione)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
Passaggio 5: calcola la radice quadrata
s = √(74.67) = 8.64
La deviazione standard è 8,64 punti. Il punteggio tipico di uno studente è di circa 8-9 punti di distanza dalla media della classe.
La regola 68-95-99.7
Per i dati distribuiti normalmente (curva a campana), la deviazione standard ha una relazione prevedibile con lo spread:
- Il 68% dei valori rientra in 1 DS della media
- Il 95% dei valori rientra nei 2 DS della media
- Il 99,7% dei valori rientra nei 3 DS della media
Applicato al nostro esempio (media = 78,33, SD = 8,64):
- 68% dei punteggi: 78,33 ± 8,64 → da 69,7 a 86,97
- 95% dei punteggi: 78,33 ± 17,28 → da 61,05 a 95,61
- 99,7% dei punteggi: 78,33 ± 25,92 → da 52,41 a 104,25
Varianza rispetto alla deviazione standard
Varianza è la deviazione standard quadrata: s² = 74,67 nel nostro esempio.
Perché utilizzare la deviazione standard anziché la varianza?
- La deviazione standard è espressa nelle stesse unità dei tuoi dati (punti, dollari, metri)
- La varianza è espressa in unità quadrate: più difficile da interpretare nella pratica
- "Il punteggio medio deviato di 8,64 punti" è significativo; "la varianza era di 74,67 punti²" non lo è
Usi nel mondo reale
Finanza: un titolo con rendimenti giornalieri medi dello 0,05% e SD dell'1,2% è molto più rischioso di un titolo con lo stesso rendimento medio e SD dello 0,3%. La deviazione standard è il fondamento della misurazione della volatilità.
Produzione: una fabbrica che produce bulloni con un diametro target di 10 mm e SD di 0,02 mm è molto più coerente di una con SD di 0,5 mm. Il controllo qualità si basa su SD.
Medicina: gli studi clinici riportano la SD insieme ai mezzi per mostrare la coerenza con cui un trattamento ha funzionato tra i pazienti.
Meteo: "Temperatura media 18°C con SD 4°C" ti dice molto di più della sola media: sai cosa mettere in valigia.
Punteggi Z
Un punteggio z converte qualsiasi valore in unità di deviazione standard, consentendo il confronto tra diversi set di dati:
z = /x - x̄s
Uno studente che ottiene un punteggio di 91 nel nostro esempio:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
Questo punteggio è 1,47 deviazioni standard sopra la media, migliore di circa il 93% della classe.
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