とは何か Bond Duration & Convexity?
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デュレーションとコンベクシティは、金利の変化に対する債券の感応度を示す 2 つの基本的な尺度です。これらを組み合わせることで、投資家は利回りが変動したときに債券の価格がどの程度変化するかを推定できるため、債券ポートフォリオにおける正確な金利リスク管理が可能になります。 期間には 2 つの主な形式があります。 1938 年にフレデリック・マコーレーによって導入されたマコーレー デュレーションは、債券のキャッシュ フロー (クーポン支払いと元本) を受け取るまでの加重平均時間を表し、重みは各キャッシュ フローの現在価値に比例します。これは年単位で表され、債券投資の有効な「回収までの時間」を表します。ゼロクーポン債のマコーレーデュレーションは、すべてのキャッシュフローが最後に受け取られるため、満期と同じになります。クーポン債のマコーレーデュレーションは、中間のクーポン支払いにより実質的な待ち時間が短縮されるため、満期よりも短くなります。 修正デュレーションは、マコーレー デュレーションを価格感応度の直接的な尺度に変換します。これは、利回りの 1% (100 ベーシス ポイント) の変化に対する債券価格の変化率を推定します。修正デュレーション = マコーレーデュレーション / (1 + y/m)、ここで、y は満期までの利回り、m は年間クーポン期間数です。たとえば、修正デュレーションが 7 の債券は、利回りが 100 ベーシス ポイント上昇すると価格が約 7% 下落し、利回りが 100 ベーシス ポイント低下すると 7% 上昇すると予想されます。 コンベクシティは価格感応度の二次的な尺度であり、デュレーションだけでは見逃される価格と利回りの関係の曲率を捉えます。債券価格と利回りは直線的ではなく凸型（曲線）の関係にあるため、利回りが低下するとデュレーションは価格上昇を過小評価し、利回りが上昇すると価格下落を過大評価します。コンベクシティ調整を追加すると、特に大きな利回り変動の場合に、より正確な価格変動推定が生成されます。プラスのコンベクシティ (標準債券の特徴) は、線形デュレーション近似に対して両方向の金利変動から債券が恩恵を受けることを意味します。住宅ローン担保証券は、金利の低下により期限前返済が引き起こされると、マイナスのコンベクシティを示す可能性があります。 これらの概念は、銀行、保険会社、年金基金における債券ポートフォリオの免疫化、負債主導型投資 (LDI) 戦略、債券リスク管理の基礎となります。
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公式
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修正期間 = マコーレー期間 / (1 + y/m)
ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)²。この式は、入力変数を数学的関係を通じて関連付けることによって、デュレーション コンベクシティを計算します。各成分は、独立して検証できる測定可能な量を表します。変数の説明
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| 記号 | 名前 | 単位 | 説明 |
|---|---|---|---|
| D_Mac | マコーレー期間 | years | すべてのキャッシュ フローを受け取るまでの加重平均時間。重みは、各キャッシュ フローの現在価値を債券総額で割ったものに等しくなります。 |
| D_mod | 変更された期間 | years (% per 1% yield change) | 利回りの 1% 変化あたりのおおよその価格変化率: D_mod = D_Mac / (1 + y/m)。 |
| C | 凸面性 | years squared | 価格感受性の二次尺度。デュレーションでは捉えられない、価格と利回りの関係の曲率を捉えます。 |
| y | 満期までの利回り | % | 債券の現在の満期までの利回り。キャッシュ フローを割り引いてデュレーションを計算するために使用されます。 |
| m | クーポンの頻度 | payments per year | 年間のクーポン支払い回数 (例: 半年の場合は 2 回、年次の場合は 1 回)。 |
| ΔP/P | 価格変動 (%) | % | 債券価格の推定変化率: ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)² |
方法 Bond Duration & Convexity
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- 1債券の将来のキャッシュ フローをすべてそのタイミングとともにリストします。各期間のクーポン支払い (クーポン = 額面 × クーポン レート / m) と満期時の額面返済です。
- 2満期までの利回りを使用して各キャッシュ フローを現在価値に割り引きます: PV_t = CF_t / (1 + y/m)^t、ここで t は期間番号です。
- 3すべての現在価値を合計して債券の価格を取得します: P = Σ PV_t。
- 4マコーレー期間を計算します: D_Mac = Σ [t × PV_t] / P — 加重平均時間 (期間単位)、m で割って年に変換します。
- 5修正期間を計算します: D_mod = D_Mac / (1 + y/m)。これは債券の一次価格感応度であり、-1 と利回りの変化を乗じて、価格の変化率を推定します。
- 6凸面性の計算: C = [Σ t(t+1) × PV_t / (1+y/m)²] / (P × m²)。この 2 次項は、価格利回り曲線の曲率に対する期間推定値を調整します。
- 7所定の収量変化 Δy について、ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)² を推定します。 Δy が小さい (< 25 bps) 場合、通常は継続期間のみで十分です。より大きな変化の場合、凸面が物質的になります。
解いた例
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額面債券: 価格 = 1,000 ドル。利回り100bp上昇 → 約100bp -7.93%の価格変化。
債券の表面利率が満期までの利回りと等しい場合、債券は額面 (1,000 ドル) で取引されます。マコーレーデュレーションの 8.11 年は、10 年間の半年ごとのクーポンと最終元本にわたるキャッシュ フローを受け取るまでの加重平均時間を反映しています。修正デュレーション 7.93 は、利回りが 1% 上昇するごとに債券の価格が約 7.93% 失われることを意味します。 100 ベーシスポイントの利回り上昇の場合: ΔP/P ≈ −7.93% × 1% + 0.5 × 79.5 × (0.01)² ≈ −7.93% + 0.40% = −7.53%、コンベクシティがデュレーション低下を部分的に相殺する様子を示しています。
ゼロクーポン: 期間は満期と同じです。特定の満期に対する最長デュレーション — 最大レート感度。
ゼロクーポン債は中間クーポンを支払わないため、すべてのキャッシュ フローが満期に達します。したがって、そのマコーレー期間はその満期 (20 年) と正確に一致します。修正デュレーションが 19.05 の場合、利回りが 1% 上昇すると、価格は約 19.05% 下落します。このため、この債券は金利の変化に非常に敏感です。 399.7 という非常に高いコンベクシティは、利回りの大幅な変動に対して実質的な保護を提供しますが、債券は依然として満期まで最も金利に敏感な商品です。ゼロクーポン債は、長期負債を正確に照合するために、負債主導型の投資戦略で広く使用されています。
利回りに比べてクーポンが高い — 額面以上で取引されます (プレミアム債券)。低レート感度。
6% のクーポンと 5% の YTM により、この債券は額面以上で取引されます (プレミアム債、価格 ≈ 1,027.23 ドル)。高いクーポンによりキャッシュ フローの受け取りが加速され、満期が 3 年であるにもかかわらず、マコーレー デュレーションは 2.74 年に短縮されます。修正デュレーション 2.67 は、利回り 1% の変動につき価格変動が 2.67% のみであることを意味し、この債券は 10 年米国債やゼロクーポン債よりも金利の影響がはるかに低くなります。短期社債は、国債利回りを上回る信用スプレッドを獲得しながら金利リスクを軽減するために使用されます。
ポートフォリオのデュレーションは、コンポーネントのデュレーションの値加重平均です。
ポートフォリオのデュレーション = 0.40 × 4.3 + 0.60 × 11.2 = 1.72 + 6.72 = 8.44。短期債と長期債を組み合わせたこの債券ラダーは、10 年債を 1 つも保有することなく、10 年国債と同様の 8.44 年の中間デュレーションを実現します。ラダーにより流動性のメリットが得られ（債券は定期的に満期を迎えます）、正確な期間ターゲティングが可能になります。デュレーション 8.0 を目標とするポートフォリオ マネージャーは、単純な線形代数を使用して、債券 A と債券 B の間の重みを調整して、正確な目標を達成できます。
実際の応用
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債券ポートフォリオの免疫化: 年金基金および保険会社の資産期間と責任期間を一致させます。このアプリケーションは、それぞれの分野での意思決定、予算編成、戦略計画をサポートするために正確な定量分析を必要とする専門家によってよく使用されます。
金利ヘッジ: DV01 を使用して国債先物または金利スワップのヘッジ比率を計算します。業界の専門家は、この計算を利用してパフォーマンスのベンチマークを行い、代替案を比較し、確立された規格や規制要件への準拠を確保します。
債券リスク管理: トレーディング デスクのポートフォリオ期間と DV01 制限を計算します。学術研究者と学生は、この計算を使用して理論モデルを検証し、コースワークの課題を完了し、基礎となる数学的原理についての理解を深めます。
確定給付年金制度資産に対する責任主導型投資 (LDI) 戦略の構築。財務アナリストとプランナーは、この計算をワークフローに組み込んで、正確な予測を作成し、リスク シナリオを評価し、データに基づいた推奨事項を利害関係者に提示します。
規制資本: バーゼル III ピラー 1 および IRRBB 基準に基づくデュレーションベースの金利リスク資本の計算。このアプリケーションは、それぞれの分野での意思決定、予算編成、戦略計画をサポートするために正確な定量分析を必要とする専門家によってよく使用されます。
特殊なケース
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実際には、標準的な仮定が当てはまらない可能性があるため、この特殊なケースについては慎重に検討する必要があります。債券デュレーションおよびコンベクシティ計算ツールの計算でこのシナリオに遭遇した場合、実務者は境界条件を検証し、ゼロ除算のリスクをチェックし、これらの極端な条件下でもモデルの仮定が有効であり続けるかどうかを検討する必要があります。
実際には、標準的な仮定が当てはまらない可能性があるため、この特殊なケースについては慎重に検討する必要があります。債券デュレーションおよびコンベクシティ計算ツールの計算でこのシナリオに遭遇した場合、実務者は境界条件を検証し、ゼロ除算のリスクをチェックし、これらの極端な条件下でもモデルの仮定が有効であり続けるかどうかを検討する必要があります。
実際には、標準的な仮定が当てはまらない可能性があるため、この特殊なケースについては慎重に検討する必要があります。債券デュレーションおよびコンベクシティ計算ツールの計算でこのシナリオに遭遇した場合、実務者は境界条件を検証し、ゼロ除算のリスクをチェックし、これらの極端な条件下でもモデルの仮定が有効であり続けるかどうかを検討する必要があります。
債券タイプ別の典型的なデュレーションとコンベクシティ (概算、2024 年の金利環境)
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| 結合タイプ | 成熟 | 変更された期間 | 凸面性 | +100bpsまでの価格感度 |
|---|---|---|---|---|
| 3 か月の短期短期証券 | 3ヶ月 | 0.25 | 0.06 | −0.25% |
| 2年国債 | 2年 | 1.85 | 3.9 | −1.85% |
| 5年物国債 | 5年 | 4.40 | 21.0 | −4.40% |
| 10年国債 | 10年 | 7.95 | 79.5 | −7.55% |
| 30年国債 | 30年 | 16.50 | 367.0 | −14.66% |
| 10年ゼロクーポン債 | 10年 | 9.52 | 98.0 | −9.05% |
| IG社債（10年） | 10年 | 7.40 | 72.0 | −7.04% |
| ハイイールド社債（5年） | 5年 | 3.80 | 16.5 | −3.61% |
| MBSパススルー | 公称約 30 年 | 3.0 – 5.0 | ネガティブ | −3％〜−5％ |
よくある質問
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マコーレーと修正期間の実際的な違いは何ですか?
マコーレー・デュレーションは年単位で表され、債券のキャッシュ・フローを受け取るまでの加重平均時間を表します。これは時間の尺度であり、直接の価格感応度の尺度ではありません。修正デュレーションは、利回りの変化に関する債券価格の一次微分値 (価格で割ったもの) であり、利回りの 1% の変化に対する価格の変化率を直接測定します。実際の用途、つまり金利が変動したときに債券の価値がどれだけ変化するかを見積もる場合、修正デュレーションが関連する尺度になります。マコーレーデュレーションは、概念的（キャッシュフローのタイミングを理解する）および免疫化されたポートフォリオを構築する（資産デュレーションと負債デュレーションを年単位で一致させる）のに、より有用です。
凸性はなぜ重要ですか?いつ重要になるのですか?
凸性は、価格と利回りの関係の曲率を捉えます。期間だけでも価格変化の線形近似が得られますが、実際の価格利回り曲線は凸型であり、上向きにカーブしています。利回りの変化が小さい場合（25ベーシスポイント未満）、通常はデュレーションで十分です。より大きな利回り変動（50 ～ 200 ベーシス ポイント以上）では、コンベクシティがますます重要になります。 2022年の劇的な金利変動（連邦準備理事会が1年間で金利を425ベーシスポイント引き上げた）の間、コンベクシティを適切に計算した投資家は、デュレーションのみに依存する投資家よりもポートフォリオの損失をはるかに正確に見積もることができた。コンベクシティが高いほど、金利が上昇したときに債券の損失が少なくなり、金利が低下したときに債券の利益が大きくなることを意味するため、一般に望ましいです。
ネガティブコンベクシティとは何ですか?またどの債券がそれを示しますか?
ほとんどの標準債券にはプラスのコンベクシティがあり、利回りが低下すると価格上昇が加速し、利回りが上昇すると価格損失が緩やかになります。ネガティブコンベクシティはその逆で、利回りが低下すると価格の上昇は鈍くなり、利回りが上昇すると価格の損失が加速します。これは、請求可能債券（金利が低下すると発行者が債券を発行し、価格の上昇を制限する）やモーゲージ担保証券（金利が低下すると住宅所有者が住宅ローンを前払いし、長くしたいときに証券のデュレーションを短縮する）で発生します。逆フローターも負の凸性を示すことがあります。マイナスのコンベクシティを持つ証券は通常、この不利な特性を投資家に補うためにより高い利回りを提供します。
債券ポートフォリオの免疫化においてデュレーションはどのように使用されますか?
免疫化とは、ポートフォリオのデュレーションを対象となる負債のデュレーションに一致させ、金利の変化が資産と負債の両方に均等に影響を及ぼし、資金余剰を変えないようにする戦略です。有効期間が 12 年の負債を持つ年金基金は、修正期間が 12 年の債券ポートフォリオをターゲットとします。金利が上昇すると、資産価値と負債現在価値の両方が比例して減少し、資金調達比率はほぼ変化しません。完全な予防接種には、一致するコンベクシティも必要です。資産のコンベクシティが負債のコンベクシティを上回る場合、ポートフォリオはプラスの位置にあります (利回りの変化による利益)。年金基金や保険会社が使用する責任主導型投資 (LDI) 戦略は、このフレームワークに基づいて構築されています。
ドルデュレーション (DV01) とは何ですか?またその使用方法は何ですか?
ドルデュレーションは通常、DV01 (ベーシスポイントのドル価値) または PVBP (ベーシスポイントの価格価値) として表され、利回りの 1 ベーシスポイント (0.01%) の変化に対する債券価格の変化をドル換算で測定します。 DV01 = 修正デュレーション × 債券価格 × 0.0001。たとえば、修正デュレーションが 8、価格が 1,000,000 ドルの債券の場合、DV01 = 8 × 1,000,000 ドル × 0.0001 = 800 ドルとなります。 DV01 は、債券トレーダーやポートフォリオ マネージャーによって、ポジションのサイズ設定、ヘッジ比率の計算、リスクの伝達をパーセンテージではなくドル単位で行うために広く使用されています。これは、大規模なポートフォリオやトレーディング デスクにとってより直感的です。
クーポン率は期間にどのように影響しますか?
同じ満期の債券の場合、クーポン レートが高いとデュレーションは短くなり、クーポン レートが低い (またはゼロ) とデュレーションは長くなります。これは、クーポンが高いほど、投資家が総キャッシュ フローのより大きな割合を早期に（中間クーポン支払いとして）受け取ることを意味し、キャッシュ フローを受け取るまでの加重平均時間（マコーレー期間）が短縮されるためです。したがって、高クーポン債は、同じ満期の低クーポン債よりも金利の影響を受けにくくなります。この関係は、ゼロクーポン債が、任意の満期期間と利回りレベルにおいて、可能な最大デュレーション (満期に等しい) を持つ理由を説明します。
利回りレベルはデュレーションとコンベクシティにどのように影響しますか?
デュレーションとコンベクシティはどちらも、一般的な利回りレベルに影響されます。利回りが低い場合、一般にデュレーションは長くなり (割引率が低く、遠く離れたキャッシュフローの価値が高くなるため)、コンベクシティも高くなります。利回りが高い場合、デュレーションは短くなり、コンベクシティは低くなります。これは、金利がほぼゼロレベルから大幅に上昇した現在の環境に特に当てはまります。2020年から2021年にかけてデュレーションリスクが高いように見えたポートフォリオは、より高い利回りレベルで実効デュレーションが低くなりました。この利回り依存性は、利回りが大きく変動するたびにデュレーションを再計算する必要があり、変動する金利環境では静的なデュレーション推定値がすぐに古くなってしまう可能性があることを意味します。
避けるべきよくある間違い
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- !マコーレーデュレーション（年単位、時間ベース）と修正デュレーション（年単位、ただし実際には価格感応度の尺度）を混同します。これらは異なる解釈と使用法を持ちます。
- !大きな利回り変動の場合はコンベクシティを無視します。利回りの変化が 50 ベーシス ポイントを超える場合、コンベクシティの項が重要になるため、価格変動の推定に含める必要があります。
- !デュレーションが一定であると仮定すると、デュレーションは利回りの変動、時間の経過、キャッシュ フローの受け取りに応じて変化します。ポートフォリオのリスクを正確に監視するには、定期的に再計算する必要があります。
- !オプションが組み込まれた債券（コール可能、プット可能、住宅ローン担保）債券に修正デュレーションを適用する - これらの証券にはオプション調整デュレーション（OAD）または有効デュレーションを使用する必要があります。
- !デュレーションのみを使用して、異なるコンベクシティ プロファイルを持つ債券ポートフォリオを比較します。デュレーションは同じですが、コンベクシティが大きく異なる 2 つのポートフォリオは、非線形金利環境では意味のある異なるリスク プロファイルを持ちます。
プロのヒント
実際の債券リスク管理では、ドル デュレーション (DV01) を使用して、パーセンテージではなく金額でリスクを伝えます。 DV01 が 5,000 ドルのポートフォリオは、利回りがベーシス ポイントで変動するたびに価値が 5,000 ドル変化します。これはトレーダー、リスク マネージャー、ポートフォリオ マネージャーによって即座に解釈可能です。
ご存知でしたか？
マコーレーデュレーションを紹介するフレデリック・マコーレーの1938年の論文は、国家経済調査局の委託による1世紀以上にわたる米国の金利に関する画期的な研究の一部であった。持続期間の概念は、1960 年代から 1970 年代に予防接種理論への関心が復活するまで、30 年近くほとんど無視されました。
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参考文献
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