とは何か Portfolio Variance & Std Dev?
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ポートフォリオ分散は、各資産の個別のリスクだけでなく、それらの資産が相互にどのように動くかも考慮して、投資の組み合わせの総合リスクを測定します。 2 つの資産が同時に同じ方向に動く傾向がある場合、それらを組み合わせてもリスクを軽減することはほとんどありません。しかし、それらが反対方向に動く場合、または単に異なる方向に動く場合、それらを混合すると、個々のコンポーネントよりもボラティリティの低いポートフォリオが作成されます。これが分散の背後にある数学的エンジンであり、株式、債券、不動産、商品を組み合わせて保有すると、必ずしもリターンを犠牲にすることなくポートフォリオ全体のリスクを軽減できるのはこのためです。 このアイデアは、ハリー・マーコウィッツによって 1952 年の論文「ポートフォリオ選択」で正式に確立され、1990 年にノーベル経済学賞を受賞しました。マーコウィッツ以前は、投資家はほぼ全面的に優良な個別証券を選ぶことに集中していました。彼の洞察は、ポートフォリオ全体が単一の銘柄よりも重要であり、資産間の相関関係が複合リスクを理解する鍵であるということでした。現在はモダン・ポートフォリオ理論（MPT）と呼ばれる彼のフレームワークは、効率的フロンティアの概念を導入しました。これは、任意のリスクレベルに対して最高のリターン、または任意のリターンに対して最小のリスクを提供するポートフォリオのセットです。 実際には、ポートフォリオの分散は、各資産の重み、その個別の分散 (または標準偏差)、および資産のすべての組み合わせ間のペアごとの共分散を使用して計算されます。 2 つのアセットを使用すると、式は単純になります。 20 個の資産の場合、20×20 の共分散行列が必要になります。最新のポートフォリオ最適化ソフトウェアは、この行列代数を自動的に処理しますが、基礎となるロジック（平均ペアごとの相関を減らすとポートフォリオの分散が減るという）を理解することは、マルチアセット戦略を構築する投資家にとって不可欠です。 ポートフォリオの差異は、専門的な投資管理におけるリスク報告の中心でもあります。ファクターモデルは、ポートフォリオの差異を市場リスク、セクターの傾き、スタイルエクスポージャー、特異なリスクからの寄与に分解するため、ポートフォリオマネージャーはリスクがどこから来ているか、そしてリスクが補償されているかどうかを正確に理解できます。
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公式
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2 資産: σ²_p = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2・w₁・w₂・ρ₁₂・σ₁・σ₂
N-資産: σ²_p = Σᵢ Σⱼ wᵢ・wⱼ・σᵢⱼ (行列形式: σ²_p = wᵀ・Σ・w)
ポートフォリオの標準偏差 (σ_p) = √σ²_p
共分散: σᵢⱼ = ρᵢⱼ・σᵢ・σⱼ変数の説明
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| 記号 | 名前 | 単位 | 説明 |
|---|---|---|---|
| wᵢ | 資産重量 | decimal (0–1) | 資産 i に割り当てられたポートフォリオ価値の割合。すべての重みの合計は 1 になる必要があります |
| σᵢ | 資産標準偏差 | % per year | σᵢ パラメータは、ポートフォリオ分散計算における重要な定量的入力を表し、標準単位で測定され、数式を通じて計算結果に直接影響します。 |
| ρᵢⱼ | 相関係数 | dimensionless (−1 to +1) | 資産 i と j 間のピアソン相関が返されます。 −1 = 完全な陰性、0 = 無相関、+1 = 完全な陽性 |
| σᵢⱼ | 共分散 | % squared per year | 資産 i と j の共同変動性。 ρᵢⱼ × σᵢ × σⱼに等しい |
| Σ | 共分散行列 | matrix | すべてのペアワイズ共分散の N×N 対称行列。ポートフォリオ最適化のための核となるインプット |
方法 Portfolio Variance & Std Dev
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- 1ポートフォリオ内のすべての資産を現在の市場価値とともにリストし、その価値をポートフォリオ合計値で割ったものとして各資産の重みを計算します。
- 2各資産の年率標準偏差 (ボラティリティ) を収集します。通常は 3 ～ 5 年間の月次リターンから推定され、年換算されます (月次 σ に √12 を掛けます)。
- 3ペアごとの相関行列を構築します。資産のペアごとに、過去のリターン系列の相関を計算します。ほとんどのポートフォリオ ソフトウェアまたはスプレッドシートは、返品履歴からこれを計算できます。
- 4相関関係を共分散に変換します: 各ペアの σᵢⱼ = ρᵢⱼ × σᵢ × σⱼ。
- 52 つの資産については、直接式を適用します。さらに多くのアセットについては、行列の乗算を使用して wᵀΣw を計算します。これは、重みベクトルと共分散行列の内積です。
- 6ポートフォリオ分散の平方根を取得して、ポートフォリオ標準偏差 (σ_p) を取得します。これは、パーセンテージで表されるより直観的なリスク尺度です。
- 7σ_p を個々の σ 値の加重平均 (Σwᵢσᵢ) と比較します。違いは分散効果、つまり資産を個別に保有するのではなく組み合わせることによってどれだけのリスクを回避できるかです。
解いた例
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加重平均 σ は 0.60×18+0.40×6 = 13.2% になります。ポートフォリオはわずか 10.5% を達成しており、分散を通じてリスクを 2.7% 節約しています。
株式と債券の逆相関（株式が下落すると債券は上昇することが多い）がリスク軽減の源泉だ。これが、60/40 ポートフォリオが何十年にもわたって年金基金や基金のデフォルトのバランス配分となった理由です。このポートフォリオは、ボラティリティを大幅に抑えながら株式リターンを獲得します。
同じセクターの 2 つの銘柄には非常に高い相関関係があります。加重平均が 29% であるのに対し、多様化ではリスクがわずか 1% 程度しか節約されません。
資産の相関性が高い場合、それらを組み合わせても分散効果は最小限になります。ハイテク株を2つ保有することは、2倍の規模のハイテク株を1つ保有することとほとんど変わりません。真の多様化には、同じセクターの異なる企業名だけでなく、経済状況に応じて異なる反応を示す資産が必要です。
金を追加すると (両者の相関関係はほぼゼロ)、ポートフォリオのボラティリティは 60/40 ベースラインよりもさらに低下します。
金の配分は、株式と債券の両方との低い相関関係をもたらします。金自体は変動しやすい（15％）にもかかわらず、株式と債券の両方から独立して変動するため、金を追加するとポートフォリオ全体の変動が減少します。これは、個々の資産のボラティリティが、ポートフォリオの残りの部分との相関関係よりも重要であることを示しています。
危機時には、資産間の相関関係が 1.0 に向かって急上昇し、最も必要なときに正確に分散が排除されます。
これは、通常期間のデータから計算されるポートフォリオの差異の最も重要な制限です。つまり、相関関係が安定していません。 2008年の金融危機と2020年3月の新型コロナウイルスによる暴落の際、投資家が現金を調達するためにあらゆるものを清算したと同時に、ほぼすべてのリスク資産が下落した。長期平均相関に基づくモデルは、これらのエピソード中のリスクを大幅に過小評価しました。
実際の応用
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平均分散の効率的なポートフォリオを構築し、効率的なフロンティアを計算します。正確なポートフォリオ分散計算が情報に基づいた意思決定、戦略計画、パフォーマンスの最適化を直接サポートする、専門的および分析的なコンテキストにおけるポートフォリオ分散の重要な応用分野を表します。
機関投資家向けファンド管理におけるリスクの分解と帰属。正確なポートフォリオ バリアンスの計算が情報に基づいた意思決定、戦略的計画、パフォーマンスの最適化を直接サポートする、専門的および分析的なコンテキストにおけるポートフォリオ バリアンスの重要な応用分野を表します。
銀行向けのバーゼル III および保険会社向けのソルベンシー II に基づく規制資本モデリング。正確なポートフォリオ バリアンス計算が情報に基づいた意思決定、戦略的計画、およびパフォーマンスの最適化を直接サポートする、専門的および分析的なコンテキストにおけるポートフォリオ バリアンスの重要な応用分野を表します。
ロボアドバイザーおよび目標日ファンドのポートフォリオ構築アルゴリズム。正確なポートフォリオ分散計算が情報に基づいた意思決定、戦略計画、パフォーマンスの最適化を直接サポートする、専門的および分析的なコンテキストにおけるポートフォリオ分散の重要な応用分野を表します。
特殊なケース
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非流動性資産 – 頻繁に価格設定されない
{'title': '流動性のない資産 — まれな価格設定', 'body': "まれに価格設定される資産 (プライベートエクイティ、不動産) は、評価が遅れるため、公開市場との人為的に低く測定された相関関係を示します。この「平滑化効果」は、真の差異と相関関係を過小評価しています。プライベート資産の評価ベースの収益を使用するモデルは、真のポートフォリオのリスクを大幅に過小評価し、分散効果の利益を誇張しています。Dimson (1979) 訂正または、戻り非平滑化手法がこれを調整するのに役立ちます。」}
ファットテールと非正常なリターン
{'title': 'ファットテールと非正規リターン', 'body': '標準ポートフォリオ分散は正規分布リターンを前提としています。実際には、資産のリターンにはファットテールがあり、正規分布の予測よりもはるかに頻繁に大きな動きが発生します。 2008年の危機、2020年の新型コロナウイルス暴落、2022年の債券暴落の際、リターンは正規分布基準で5～10標準偏差でした。予想不足額 (CVaR) とストレス テストは、テール リスクを把握するために分散を補完します。'}
共分散行列の推定誤差
{'title': '共分散行列の推定誤差', 'body': '履歴データから推定された共分散行列は、特に大規模なポートフォリオの場合、ノイズが多くなります。 50 個の資産を使用すると、1,225 個の共分散を推定することになり、それぞれに推定誤差が含まれます。オプティマイザーはこれらの誤差を増幅し、極端な重みを持つ不安定なポートフォリオを生成します。収縮推定器 (Ledoit-Wolf)、因子モデル、または堅牢な最適化手法により、推定誤差に対する感度が低下します。'}
相関関係によるポートフォリオ標準偏差 — 50/50 分割、σ₁=20%、σ₂=15%
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| 相関(ρ) | ポートフォリオσ | リスクと加重平均 (17.5%) | 解釈 |
|---|---|---|---|
| −1.0（完全マイナス） | 2.5% | −15.0% | 最大限の分散 – ほぼゼロのリスクが可能 |
| −0.5 | 10.4% | −7.1% | 強力な分散効果 |
| 0.0 (無相関) | 12.5% | −5.0% | 優れた分散 — 独立した資産 |
| 0.5 | 14.4% | −3.1% | 中程度の利益 - 同じ方向の資産 |
| 0.8 | 16.5% | −1.0% | 最小限の利益 - 相関性が高い |
| +1.0 (完全ポジティブ) | 17.5% | 0% | 分散なし - 加重平均と同じ |
よくある質問
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ポートフォリオの分散とポートフォリオの標準偏差の違いは何ですか?
ポートフォリオ分散 (σ²_p) はリスクの 2 乗の尺度であり、単位は「パーセント 2 乗」ですが、直感的ではありません。ポートフォリオ標準偏差 (σ_p = √σ²_p) は、これを資産収益率と直接比較できるパーセント条件に変換します。ポートフォリオの年間標準偏差が 12% である場合、通常、リターンは約 3 分の 2 (1 標準偏差) で平均の ±12% 以内に収まることを意味します。どちらも同じことを測定します。標準偏差は、単位がリターンの単位と一致するため、実際にはより一般的に使用されます。
分散化において、個人のボラティリティよりも相関関係が重要なのはなぜでしょうか?
不安定な資産をポートフォリオに追加すると、その資産が既存の保有資産と低い相関または負の相関を持っている場合、実際にポートフォリオ全体のリスクを軽減できます。たとえば、金の年間ボラティリティは 15 ～ 20% で、株式と同等ですが、株式と債券のポートフォリオに 10 ～ 15% の金を追加すると、通常、ポートフォリオ全体のボラティリティが低下します。計算によりこれは正確になります。外積項 (2・w₁・w₂・ρ・σ₁・σ₂) は、ρ が負の場合には減算され、ρ が正の場合には加算されます。相関関係は文字通り、多様化が機能するかどうかを決定するパラメータです。
適切な分散にはどれくらいの資産が必要ですか?
Evans と Archer による研究 (1968) では、ランダムに選択された約 20 ～ 30 の銘柄でほとんどの特異な (企業固有の) リスクが排除されることが示されました。さらに、株式を追加するとリスクがわずかに軽減されます。ただし、米国株 30 銘柄のポートフォリオは企業固有のリスクに対してのみ分散されており、依然として米国株式市場リスク、セクター リスク、およびファクター リスクに完全にさらされています。真の多様化には、資産クラス（株式、債券、不動産、コモディティ、オルタナティブ）と地域（国内、海外先進国、新興市場）を横断する必要があります。
共分散行列とは何ですか?また、共分散行列を作成するにはどうすればよいですか?
共分散行列 (Σ) は N×N グリッドで、各エントリ [i,j] は資産 i と資産 j の間の共分散を示します。対角線のエントリは個人分散 (σᵢ²) です。 A と B の間の共分散が B と A の間の共分散に等しいため、行列は対称です (エントリ [i,j] = [j,i])。履歴データから行列を構築するには、すべての資産の月次収益を収集し、Excel の COVAR 関数または Python の numpy.cov() を使用してペアごとの共分散を計算し、(月次入力の場合) 12 を乗算して年率化します。
最小分散ポートフォリオはいくらですか?
最小分散ポートフォリオは、すべての可能な配分の組み合わせにわたって可能な限り最小のポートフォリオ分散を生み出す、各資産のウェイトに固有の資産の組み合わせです。それは効率的なフロンティアの最左端に位置します。これは必ずしも最適なポートフォリオではありません（期待リターンが犠牲になります）が、利用可能な資産を考慮すると達成可能な最大の分散効果を表します。 2 つの資産の場合、資産 1 の最小分散重みは次のとおりです: w₁ = (σ₂² − σ₁₂) / (σ₁² + σ₂² − 2σ₁₂)、ここで σ₁₂ は共分散です。
レバレッジはポートフォリオの差異にどのように影響しますか?
レバレッジはポートフォリオの分散をレバレッジ比率の二乗で増幅します。ポートフォリオ価値の 50% を借りて投資する場合 (レバレッジ 1.5 倍)、ポートフォリオの分散は 1.5² = 2.25 倍に増加し、標準偏差は 1.5 倍に増加します。これは、1 倍で 12% の年率標準偏差が 1.5 倍では 18% になることを意味します。レバレッジを分散することはできません。すべてのコンポーネントを比例的にスケールします。これが、高レバレッジのファンド (2 倍や 3 倍の ETF など) のボラティリティが、基礎となるインデックスよりも劇的に高い理由です。
MPT のポートフォリオ分散とファクター モデル リスクの違いは何ですか?
MPT は、生のリターン履歴からポートフォリオの合計差異を計算します。ファクター モデル (CAPM、Fama-French、Barra) は、ポートフォリオの分散を体系的な要素 (市場リスク、規模リスク、価値リスク、モメンタム リスク) と特異な要素に分解します。ファクターモデルの分散により、リスクが存在する理由についてのより多くの洞察が得られます。それは市場のベータなのか、セクターの集中なのか、それともファクターの傾きなのか？ポートフォリオ管理の場合、ファクター リスクの分解はより実用的です。正確な分散を計算するには、共分散行列アプローチの方がより正確です。
避けるべきよくある間違い
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- !資産標準偏差を小数 (0.20) ではなくパーセント (例: 20) で使用します。数式には小数が必要であり、それらを混合すると意味のない結果が生成されます。
- !相関関係を無視して資産の標準偏差を単純に平均することは、ポートフォリオのリスクを過大評価し、分散のポイント全体を見逃してしまいます。
- !過去の相関関係が安定していると仮定すると、相関関係は平常時と危機体制の間で劇的に変化します。相関関係の仮定を高めて常にストレス テストを行ってください。
- !年率換算せずに月次収益を使用する — 月次分散に 12 を乗算して年次分散を取得するか、月次 σ に √12 を乗算して年次 σ を取得します。
- !同じセクターの株式のポートフォリオを分散型として扱う - セクター株式の相関は 0.7 を超え、最小限の分散減少を実現します。
プロのヒント
2 つのポートフォリオ分散計算を実行します。1 つは長期平均相関 (通常期間) を使用し、もう 1 つは危機期間の相関を使用します (すべてのリスク資産の相関が 0.80 以上に急増すると仮定します)。これら 2 つの数値の差が「分散クレジット」、つまり実際の危機で消失する可能性のあるリスク削減量です。危機相関シナリオに対して控えめにリスク予算を設定します。
ご存知でしたか？
ハリー・マーコウィッツは、1950年代に博士課程の学生として大学の図書館でジョン・バー・ウィリアムズの『投資価値の理論』を読みながら、ポートフォリオ・バリアンス・フレームワークを開発したと伝えられている。投資家は個別株ではなくポートフォリオに気を配るべきだという彼の洞察は、ある午後に思いついた。ノーベル賞受賞者のスピーチでは、ミルトン・フリードマンが当初、この研究は経済学ではないと示唆していたと述べた。数十年後、マーコウィッツの共分散行列は世界中のあらゆる機関投資プロセスに組み込まれました。
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参考文献
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