とは何か Kelly Criterion Calculator?
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ケリー基準は、資産の長期的な対数増加を最大化するために、有利な賭けや投資に割り当てる資金やポートフォリオの最適な割合を決定する数式です。 1956 年にベル研究所のジョン L. ケリー ジュニアによって情報理論の文脈で開発され、独立してギャンブルと投資に適用されたケリー式は、すべての固定分割ベッティング戦略の中で最高の長期複利成長率を生み出し、同時に破滅の確率が理論的にゼロであることを保証します (有利なオッズに継続的に賭ける場合)。 勝つ確率 p (および負ける確率 q = 1 − p) の単純なバイナリ ベットの場合、勝利するとオッズ b が支払われます (1 ドルの賭けごとに b ドルが勝ちます)、最適なケリー分数は次のようになります: f* = (bp − q) / b = p − q/b。この端数は、バンクロールの端数として表されるベットの期待値です。 f* を超えるベット (オーバーベット) は、複利の成長を低下させ、破滅のリスクを高めます。 f* 未満のベット (アンダーベット) は安全ですが、長期的な成長の観点からは最適とは言えません。 継続的な投資 (株式、ポートフォリオ) の場合、ケリーの公式は次のように拡張されます: f* = (μ − r) / σ²、ここで、μ は期待リターン、r はリスクフリーレート、σ² はリターンの分散です。この結果はシャープ レシオに直接関係します: f* = シャープ レシオ / σ。これは、ケリーの最適レバレッジがシャープ レシオをボラティリティで割ったものであることを意味します。 Sharpe=0.5 および σ=15% の典型的な分散株式ポートフォリオの場合、ケリー氏は 0.5/0.15 = 333% の配分を提案しています。これは理論上のレバレッジを示し、100% をはるかに上回っています。 実際には、完全なケリー分数が使用されることはほとんどありません。その理由は次のとおりです。(1) 現実世界のエッジと確率の推定値には重大な不確実性が含まれており、真のエッジが推定値よりも小さくなります (25 ～ 50% の分数ケリーが一般的です)。 (2) フルケリーでは深刻なドローダウンが発生します。2 倍になるまでに予想される最大ドローダウンは資産の約 50% です。 (3) ほとんどの投資家は、対数効用が示す以上に大きな損失にペナルティを与える効用関数を持っています。ハーフケリー戦略またはクォーターケリー戦略は、ドローダウンと結果のばらつきを大幅に削減しながら、ケリーの長期成長率の 75% または 50% を達成します。 ケリー基準は、スポーツ賭博、ポーカー (プロのプレーヤーは資金管理に明示的に使用します)、商品取引、定量的投資管理で広く使用されています。伝説的な投資家ウォーレン・バフェット氏とチャーリー・マンガー氏はケリー原則に沿った投資アプローチについて説明しており、この基準はブラックジャック・カード・カウンティングとクオンツ・ヘッジファンド管理の両方におけるエドワード・ソープの先駆的な業績の基礎となっています。
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公式
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ケリー分数 (2 進数): f* = (b×p − q) / b = p − (1−p)/b
ケリー分数 (連続): f* = (μ − r) / σ²
成長率: g = p × ln(1 + b×f*) + (1−p) × ln(1 − f*)変数の説明
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| 記号 | 名前 | 単位 | 説明 |
|---|---|---|---|
| f* | ケリーフラクション | % | 賭けたり投資したりする資金の最適な割合。長期的な対数的な富の増加を最大化します。 |
| p | 勝利の確率 | % | 好ましい結果が得られる推定確率。正のエッジの損益分岐点確率 (1/(1+b)) を超える必要があります。 |
| b | ネットオッズ比 | ratio | 勝った場合の賭け金ごとの純賞金: 1 ドルの賭けにつき 3 ドルを獲得した場合、b=3。潜在的な賭けに対してプラスである必要があります。 |
| EV | 期待値 | USD | 単位あたりの期待利益: EV = (p × b) − (1−p)。ケリーが賭けを推奨するには、プラスの EV が必要です (しかし十分ではありません)。 |
| g | 成長率 | %/round | ケリー フラクションでのベッティング ラウンドごとの長期複合成長率: g = p × ln(1+b×f*) + (1−p) × ln(1−f*)。 |
方法 Kelly Criterion Calculator
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- 1好ましい結果が得られる確率 p を (履歴データ、モデル、またはエッジ分析から) 推定します。
- 2オッズ b: 成功した場合の賭け金ごとの純賞金を決定します。
- 3期待値が正であることを確認します: EV = b×p − (1−p) > 0。EV ≤ 0 の場合、賭けないでください (f* ≤ 0 は、Kelly が賭けを推奨しないことを意味します)。
- 4ケリー分数を計算します: f* = (b×p − (1−p)) / b。
- 5必要に応じてフラクショナル ケリーを適用します。通常、より保守的な資本管理の場合は、f = 0.25 × f* ～ 0.5 × f* です。
- 6ベットのサイズを設定します: ベット額 = f* × 総手持ち資金。
- 7バンクロールのサイズが変化するたびに、各ベット後に再計算します。ケリーは、現在の資産に比例してベットを行うダイナミックな戦略です。
解いた例
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勝率は 55% にもかかわらず、資金はわずか 10% — ケリーは保守的
f* = (1.0 × 0.55 − 0.45) / 1.0 = (0.55 − 0.45) = 0.10 = 10%。ベット額 = 10% × 10,000 ドル = 1,000 ドル。ベットごとの期待値 = (0.55 × $1,000) − (0.45 × $1,000) = $550 − $450 = $100。一見大きな優位性 (55% 対かなりの 50%) にもかかわらず、この比較的小さな割合 (10%) は、ケリーの保守主義を反映しています。 10,000 ドル全額 (100%) を賭けると、賭けごとの期待値は最大化されますが、破滅する危険性があります。10 回連続で負けると (確率 ≈ 0.3%)、バンクロールがなくなってしまいます。ケリーの割合が 10% であることにより、長期的な成長が最適化され、破滅の可能性が極めて低くなります。
ポーカーの分散が大きい場合は、たとえポジティブエッジであっても多くのバイインが必要です
ポーカーでは、ケリー関連の破滅リスクの公式: P(破滅) = e^(−2×W×B/V)、ここで、W = ハンドごとの勝率、B = ビッグ ブラインドのバンクロール、V = ハンドごとの分散。勝率 55bb/100 = 0.55bb/ハンド、分散 = 100²/100 = 100 bb²/ハンド、バンクロール B = 30 バイイン × 100bb = 3,000bb の場合: P(破滅) = e^(−2×0.0055×3000/100) = e^(−0.33) = 72% — ひどい!プロのポーカー プレーヤーは、最低 30 ～ 50 のバイインを使用します。 50 バイイン (5,000bb) の場合: P(破滅) = e^(−0.55) = 58% — まだ高い。ケリーの分析により、ポーカーの分散が大きいため、勝ったプレイヤーであっても非常に多額のバンクロールが必要であることが明らかになりました。
フル・ケリーは非常に攻撃的です。ほとんどの実践者は 25 ～ 50% のケリーを使用します
f* = (μ − r) / σ² = (0.10 − 0.05) / (0.20²) = 0.05 / 0.04 = 1.25 = 125%。フル・ケリーは 125% の株式配分を推奨しています (25% を借りて投資)。これは、対数効用におけるマートンの最適ポートフォリオの割合です。実際には、真のシャープ比と σ は不確実であるため (推定誤差)、実際のエッジは推定値よりも小さくなります。 62.5% のハーフケリー比率を使用すると、ドローダウンのリスクを大幅に軽減しながら、最大成長率の約 75% を達成できます。プロのクオンツファンドは通常、推定の不確実性を考慮して理論上のケリーの 20 ～ 50% を使用します。
マルチアセット・ケリーは共分散行列で行列演算を使用します
マルチアセットケリー: f* = Σ⁻¹ × α (アルファベクトル)、ここで Σ は共分散行列、α は超過収益のベクトルです。アセット A は Sharpe 1.0 で、ボリュームは比較的低く、Kelly は大量に割り当てています。資産 B はシャープが低く、ボリュームが高く、ケリー割り当てが小さくなります。正の相関があると、無相関の場合と比較してポートフォリオ全体の配分が減少します (f_total = 55% + 25% = 80%)。実際の実装のラウンドと制約: ロングのみのファンドは、正規化後のポートフォリオ レベルで約 80% A、20% B を割り当てます。マルチアセットのケリーは、収益の共同配分を考慮して、ポートフォリオの長期的な成長率を最大化します。
実際の応用
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プロのベッター向けのスポーツベッティング資金管理
ポーカー プレーヤーのステークの選択とバンクロールの管理
定量的なヘッジファンドのポジションサイジングモデル
投資機会全体にわたるベンチャーキャピタルのポートフォリオ配分
同時戦略全体にわたる取引アルゴリズムの資本配分
特殊なケース
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実際には、標準的な仮定が当てはまらない可能性があるため、この特殊なケースについては慎重に検討する必要があります。ケリー基準計算機の計算でこのシナリオに遭遇した場合、実務者は境界条件を検証し、ゼロ除算のリスクをチェックし、これらの極端な条件下でもモデルの仮定が有効であるかどうかを検討する必要があります。
実際には、標準的な仮定が当てはまらない可能性があるため、この特殊なケースについては慎重に検討する必要があります。ケリー基準計算機の計算でこのシナリオに遭遇した場合、実務者は境界条件を検証し、ゼロ除算のリスクをチェックし、これらの極端な条件下でもモデルの仮定が有効であるかどうかを検討する必要があります。
実際には、標準的な仮定が当てはまらない可能性があるため、この特殊なケースについては慎重に検討する必要があります。ケリー基準計算機の計算でこのシナリオに遭遇した場合、実務者は境界条件を検証し、ゼロ除算のリスクをチェックし、これらの極端な条件下でもモデルの仮定が有効であるかどうかを検討する必要があります。
ケリー・フラクションと長期成長率のトレードオフ
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| ケリー・マルチプル | 成長率 (ケリーの%) | ドローダウンの重大度 | 一般的なユーザー |
|---|---|---|---|
| フルケリー(1.0×) | 100% | 重篤 (最大 DD が予想される最大 50%) | 理論上最適 |
| ハーフケリー(0.5×) | 75% | 中程度 (最大 DD 〜 25%) | 積極的なクオンツファンド |
| クォーターケリー (0.25×) | 44% | マイルド (最大 DD 〜 12%) | 保守派の実践者 |
| 10位 ケリー (0.1×) | 19% | 非常に低い (最大 DD 〜 5%) | リスク回避的なリスク管理 |
| 2× ケリー (オーバーベット) | 0% | 極端 — 破滅への傾向 | 危険ゾーン - 避ける |
| 3× ケリー (オーバーベット) | ネガティブ | ほぼ確実に起こる破滅 | 壊滅的な |
よくある質問
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フルケリーが実際にほとんど使用されないのはなぜですか?
フルケリーは長期的な対数成長を最大化しますが、非常に積極的なポジションサイジングと深刻なドローダウンを引き起こします。資産が 2 倍になるまでに予想される最大ドローダウンは現在の資産の約 50% です。つまり、2 倍になる前のある時点で資金の半分を失うことを期待する必要があります。ほとんどの投資家は対数関数よりもリスク回避的な効用関数を持っており、大きな損失に対してはより大きなペナルティを課します。さらに、現実世界のエッジ推定値は不確実です。実際のエッジが推定エッジの半分である場合、フル ケリーは重大なオーバーベットになります。ハーフケリーは、はるかに低い分散と最大ドローダウンでケリーの約 75% の成長率を達成します。プロのクオンツファンドは通常、ケリーの20〜50％を使用します。
ケリー基準とシャープレシオの関係は何ですか?
正規分布の収益を伴う継続的投資の場合、ケリーの最適レバレッジは次のとおりです: f* = シャープ レシオ / σ = (μ − r) / σ²。これは、ケリー率がシャープレシオに応じて増加し（エッジが高いほど、より大きなサイズが正当化される）、ボラティリティに応じて減少することを意味します（ボリュームが高いほど、分散リスクが大きいことを意味します）。最大の長期成長率 (ケリー成長率) は、リスクフリー レートに (Sharpe²)/2 を加えたものに等しいため、ケリー成長率はシャープ レシオの 2 乗に正比例します。この関係が、ケリー最適投資家にとってシャープ レシオが最も重要な指標である理由です。シャープ レシオが 2 倍の戦略は、4 倍の増分成長率を達成します。
ケリー基準は破滅につながる可能性があるか?
理論的には、ケリー基準では、継続的に正の確率の結果が得られる有利な賭けの場合、長期的に破滅する確率はゼロです (幾何学的ランダム ウォークはほぼ確実に無限大に収束します)。しかし、実際には、次の理由により破滅のリスクが存在します。(1) 相対的にケリーの割合を超える可能性がある離散的な (無限に割り切れない) 賭け。 (2) モデル誤差 — 真の確率とオッズは推定よりも好ましくない可能性があります。 (3) 連敗リスク — ケリーがフルの場合、長期にわたる連敗は破滅しなくても極度のドローダウンを引き起こします。 (4) レバレッジ — ケリー率が 100% を超える場合 (株式市場アプリケーションの場合など)、借入資金により有限の破滅の可能性が生じます。これらすべてのリスクを管理するには、実際にはフラクショナル ケリー戦略が好まれます。
Kelly Criterion は相関ベットをどのように処理しますか?
単一の賭けについて、ケリーは率直です。同時にアクティブな賭けや投資のポートフォリオの場合、マルチアセットのケリーは行列代数 f* = Σ⁻¹ × α を使用します。ここで、Σ は収益の共分散行列、α は期待される超過収益のベクトルです。正の相関のあるベットは、相関のないベットと比較してケリーの総配分を減らします。相関によりドローダウンのリスクが増幅されるため、ベットに相関がある場合、ポートフォリオ マネージャーは規模を縮小する必要があります。負の相関関係にあるベットでは、より大きな合計配分が可能になります。これは、分散（ポジション間の負の/低い相関）により、安全性を犠牲にすることなく、より総資本の展開が可能になる理由の数学的基礎です。
「フラクショナル・ケリー」戦略とは何ですか?
フラクショナル ケリーでは、ケリー全額の固定割合 (通常は 25% (ケリーの 4 分の 1) ～ 50% (ケリーの半分) を賭けます。ハーフケリーは、最大長期成長率の約 75% を達成します。(1) ポートフォリオの分散をケリーの分散の 25% に削減します。 (2) 予想される最大ドローダウンを半分にする。 (3) エッジと確率の推定誤差に対して十分なバッファを提供します。関係は二次関数です。ケリーの割合 c でベットすると、ケリーの最大成長率の c(2−c) 割合 (常に 100% 未満) が達成されるため、アンダーベットによる成長率のペナルティは、分散削減のメリットよりもはるかに小さくなります。この非対称性は、実際のリスク管理においてフラクショナル ケリーがフル ケリーよりも優れている理由を説明しています。
ケリー基準を専門的に使用しているのは誰ですか?
ケリー基準は、いくつかの伝説的な投資キャリアに明示的に採用されたり、影響を与えたりしてきました。エドワード・ソープ（ブラックジャックのカードカウンティングを発明した数学教授）は、ケリーをギャンブル（『ビート・ザ・ディーラー』に文書化されている）と彼のヘッジファンド、プリンストン/ニューポート・パートナーズの両方に厳密に適用し、彼は19年間運営して並外れたリスク調整後のリターンを上げた。ウォーレン・バフェット氏の集中的なポジションサイジングの哲学は、高い確信と本物のエッジがあるときに大きな賭けをするというケリー氏の考え方を反映しています。プロのスポーツベッターやポーカープレーヤーは、資金管理のために明示的に Kelly を使用しています。ルネッサンス テクノロジーズのようなクオンツ ヘッジ ファンドは、システマティックなトレーディング戦略において、ケリー関連の最適分数の概念を暗黙的に使用しています。
ケリーの「オーバーベット」の危険性とは何ですか?
オーバーベット (ケリーの割合よりも多く賭ける) は、成長率と破滅確率の両方の観点から見て、アンダーベットよりも悪いです。正確にケリーの 2 倍 (ダブル ケリー) になると、長期的な成長率はゼロに低下します。つまり、口座価値は成長せずに一定のレベルを中心に変動します。ケリーの 2 倍を超えると、成長率はマイナスになります。アカウントは最終的にすべての価値を失うことは事実上確実です。この明らかな非対称性（アンダーベットは単に最適ではなく、オーバーベットは致命的となる可能性がある）により、ケリーはポジションサイズの重要な上限となっています。実際には、モデルが 100% に非常に近い、または 100% を超えるケリー分数を示唆する場合は常に、オーバーベットのリスクが高まっているため、これを分数ケリー係数を積極的に適用するシグナルとして扱います。
避けるべきよくある間違い
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- !エッジと確率の推定の不確実性を考慮せずに完全なケリーを使用します。実際のアプリケーションでは常にフラクショナル ケリー (25 ～ 50%) を適用します。
- !複数の同時ポジションをサイジングするときに相関構造を無視する - 相関のあるベットでは、個々のケリーの割合を減らす必要があります。
- !負の期待値を持つベットに Kelly を適用する — Kelly は、これらの場合 (ベットなし) に f* ≤ 0 を正しく生成します。
- !ケリーを固定ベットサイズのルールとして扱う - 毎回現在の資産に適用し、資産が減少するにつれて比例してベットを縮小する必要があります。
- !ケリーが最大の期待ドル収益率を達成すると仮定すると、算術期待収益率ではなく、対数 (幾何学的) 成長が最大化されます。
プロのヒント
フル ケリー、ハーフ ケリー、クォーター ケリーを使用して、100 のベットで 1,000 のパスのモンテ カルロ シミュレーションを実行します。最終的な富の結果の分布は、ケリーの優れた中心的傾向とオーバーベッティングの壊滅的なマイナス面の両方を視覚的に示しており、計算式だけよりもはるかに説得力があります。
ご存知でしたか？
ジョン・ケリー・ジュニアは、1956 年のベル・システム・テクニカル・ジャーナルの論文「情報速度の新しい解釈」で自身の基準を発表し、ギャンブルではなく、情報理論と通信チャネル容量の観点から結果を組み立てました。同紙はギャンブルについては全く触れていない。エド・ソープは、ケリーを情報理論から実践的な投資管理に効果的に変換し、それがブラックジャックに、そしてその後株式市場に応用されることを認識しました。
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参考文献
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