「平均」は数学で最も使用され、最も誤用されている言葉の 1 つです。日常言語では通常、それは 1 つの特定のこと、つまり数値を足して割ることを意味します。しかし、統計には 3 つの異なるタイプの平均があり、それぞれが異なる状況に適しています。間違ったものを選択すると、誤解を招く結論につながります。
3 種類の平均
1. 平均 (算術平均)
平均とは、ほとんどの人が「平均」を意味するものです。すべての値を加算し、その数で割ります。
Mean = Sum of all values / Number of values
例: テストのスコア: 72、85、91、68、77、95、82
合計 = 72 + 85 + 91 + 68 + 77 + 95 + 82 = 570 カウント = 7 平均 = 570 / 7 = 81.4
いつ使用するか: データがほぼ対称で、極端な外れ値がない場合。身長、テストのスコア、気温の測定に適しています。
使用しない場合: 外れ値が存在する場合。平均的な所得者が集まる部屋に1人の億万長者がいると、平均収入は非常に誤解を招きやすいものになります。
2. 中央値 (中間値)
中央値は、データを順番に並べ替えたときの中央の値です。値の半分はそれより上にあり、半分は下にあります。
奇数の値の場合: 並べ替えて中央の値を取得します。 偶数の場合: 並べ替えて、中央の 2 つの値の平均を取得します。
例 (奇数): 72、68、85、91、77、95、82 ソート: 68、72、77、82、85、91、95 中央値 = 82
例 (偶数): 68、72、77、82、85、91 中2：77と82 中央値 = (77 + 82) / 2 = 79.5
いつ使用するか: データに外れ値がある場合、またはデータに偏りがある場合。少数の極端な値が平均値を歪める可能性があるため、住宅価格、給与、収入分布では常に中央値が使用されます。
3. モード (最頻値)
モードは最も頻繁に表示される値です。データセットには 1 つのモード (単峰性)、2 つ (双峰性)、または複数のモード (マルチモーダル) を含めることができます。値が繰り返されない場合、モードはありません。
例: 1 週間に販売される靴のサイズ: 6、7、7、8、8、8、9、9、10 モード = 8 (3 回出現)
いつ使用するか: カテゴリ データ、アンケートの回答、または数学的中心ではなく最も一般的な値が必要な場合。靴メーカーは靴の平均サイズではなく、モードを重視します。
加重平均
一部の値が他の値よりも多くカウントされる場合は、加重平均を使用します。
Weighted mean = Σ(value × weight) / Σ(weights)
例: 単位の重み付けが異なる大学モジュールの成績:
| モジュール | 学年 | クレジット |
|---|---|---|
| 数学 | 72 | 30 |
| 英語 | 85 | 15 |
| 歴史 | 68 | 15 |
| 科学 | 91 | 40 |
加重平均 = (72×30 + 85×15 + 68×15 + 91×40) / (30+15+15+40) = (2,160 + 1,275 + 1,020 + 3,640) / 100 = 8,095 / 100 = 80.95
これは単純な平均 79.0 とは異なります。科学モジュールのより高い信用度の重み付けにより平均が引き上げられます。
GPA の計算、投資ポートフォリオの収益、試験の採点はすべて加重平均を使用します。
幾何平均
複素数または乗算する数量 (成長率、投資収益) については、幾何平均を使用します。
Geometric mean = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n)
例: 年間投資収益率 +50%、-30%、+20%
単純平均 = (+50 − 30 + 20) / 3 = +13.3% — 誤解を招くほど楽観的
幾何平均 = (1.50 × 0.70 × 1.20)^(1/3) − 1 = (1.26)^(1/3) − 1 = 1.0797 − 1 = 年間 +7.97%
これは実際の複利を反映しており、1,000 ポンド→1,500 ポンド→1,050 ポンド→1,260 ポンドとなり、年率成長率は 13.3% ではなく 7.97% となります。
どの平均値を使用する必要がありますか?
| 状況 | 最高の平均 |
|---|---|
| 対称的なデータ、外れ値なし | 平均 |
| 偏ったデータまたは異常値が存在する | 中央値 |
| 必要な最も一般的な値 | モード |
| 価値観には異なる重要性がある | 加重平均 |
| レート、比率、または複利 | 幾何平均 |
| 給与・収入の比較 | 中央値 |
| 住宅価格統計 | 中央値 |
| スポーツの打率 | 平均値（または特定の式） |
| 長年にわたる投資収益率 | 幾何平均 |
よくある間違い
「平均」は常に平均を意味すると仮定します。 ニュース報道で「平均給与」を見たときは、それが平均なのか中央値なのかを尋ねてください。高額所得者はデータを歪めているため、平均値は通常中央値より 20 ～ 30% 高くなります。
加重なしの割合の平均。 ポートフォリオのファンド A に 1,000 ポンド (+10%)、ファンド B に 9,000 ポンド (+2%) がある場合、平均収益率は 6% ではありません。 (100 ポンド + 180 ポンド) / 10,000 ポンド = 2.8% です。
分布を無視します。 平均値は、非常に異なるデータセットでも同じになる可能性があります。全員が 70% のスコアを獲得するクラスと、半数が 40% のスコアを獲得し、半数が 100% のスコアを獲得するクラスでは、平均値は同じですが、学習成果は大きく異なります。
平均、中央値、モード計算 および 加重平均計算 を使用して、独自のデータからあらゆる種類の平均を計算します。