カール シュヴァルツシルトは、第一次世界大戦でロシア戦線に従軍していた 1916 年に、完全な球形で回転しない質量の特殊な場合についてアインシュタインの場の方程式を解き、有名な半径を導き出しました。その結果、当時はばかばかしいと思われた予測が生まれました。つまり、あらゆる物体を一定の半径以下に圧縮すると、光さえも逃げることができなくなるというものでした。物理学者が、これらの「ブラックホール」が数学的な好奇心ではなく、実際の物体であることを受け入れるまでに数十年かかりました。今日、私たちはそれらの直接画像、���突による重力波の検出、そしてほぼすべての大きな銀河の中心に銀河が存在することの確認を取得しています。
シュヴァルツシルト半径とは何ですか?
シュヴァルツシルト半径は、物体の脱出速度が光速と等しくなる臨界半径です。この半径よりも小さく圧縮された物体の場合、脱出速度は光の速度を超えます。つまり、この境界を越えると、光も情報も何も脱出できなくなります。この境界は **事象の地平線 **と呼ばれます。
回転しないブラック ホール (シュヴァルツシルト ブラック ホール) の場合、事象の地平線は半径 r_s の完全な球体です。回転ブラック ホール (カー ブラック ホール) は扁平な事象の地平線を持ちますが、シュワルツシルト半径は依然としてほとんどの概念的な目的に有用な近似値です。
事象の地平線は物理的な表面ではありません。触れることのできる壁や障壁はありません。降り注ぐ観測者は、地元での派手な宣伝もなく、それを横切ります。時空の幾何学構造は、将来のすべての道が特異点に向かって内側に向かうようなものになるだけです。
式: r = 2GM/c²
シュヴァルツシルト半径の式は次のとおりです。
r_s = 2GM / c²
場所:
- r_s = シュヴァルツシルト半径 (メートル)
- G = 重力定数 = 6.674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²
- M = 物体の質量 (キログラム)
- c = 光の速度 = 2.998 × 10⁸ m/s (c² = 8.988 × 10¹⁶ m²/s²)
簡略化: 2G/c² = 1.485 × 10⁻²⁷ m/kg であるため、式は次のようになります。
r_s (meters) = 1.485 × 10⁻²⁷ × M (kg)
実際の例 — 太陽のシュヴァルツシルト半径の計算:
Mass of Sun = 1.989 × 10³⁰ kg
r_s = 2 × (6.674 × 10⁻¹¹) × (1.989 × 10³⁰) / (8.988 × 10¹⁶)
r_s = (2 × 6.674 × 1.989 × 10¹⁹) / (8.988 × 10¹⁶)
r_s = 2.654 × 10²⁰ / 8.988 × 10¹⁶
r_s ≈ 2,953 meters ≈ 2.95 km
半径696,000kmの太陽がブラックホールになるには、直径3km未満の球体に圧縮する必要がある。太陽は決してこんなことはしません。太陽には質量がありません。太陽の質量の約 20 倍以上の星だけが、ブラック ホールを生成する核崩壊超新星で一生を終えます。
ブラックホールのサイズ: 地球 vs 太陽 vs 超大質量
シュヴァルツシルト半径は質量に応じて線形に変化します。質量が2倍、半径が2倍になります。このため、超大質量ブラックホール���巨大な事象の地平線を持ちますが、恒星のブラックホールはコンパクトなままです。
| Object | Mass | Schwarzschild Radius | Context |
|---|---|---|---|
| Moon | 7.35 × 10²² kg | 0.109 mm | Smaller than a grain of sand |
| Earth | 5.972 × 10²⁴ kg | 8.87 mm | About the size of a marble |
| Sun | 1.989 × 10³⁰ kg | ~2.95 km | Fits inside a city |
| Typical stellar black hole (10 M☉) | 1.989 × 10³¹ kg | ~29.5 km | Diameter of a small city |
| Cygnus X-1 (21 M☉) | ~4.2 × 10³¹ kg | ~62 km | — |
| Sagittarius A* (Milky Way center, 4M M☉) | ~7.96 × 10³⁶ kg | ~11.8 million km | Larger than the Sun's actual radius |
| M87* (first imaged black hole, 6.5B M☉) | ~1.3 × 10⁴⁰ kg | ~19.2 billion km | Larger than our solar system |
M87 の中心にある超大質量ブラック ホールは、太陽から海王星までの距離 (約 30 天文単位) よりも大きな事象の地平面の直径を持っています。しかし、この驚異的な大きさにもかかわらず、事象の地平面内の平均密度は実際には水よりも小さく、ブラック ホールを定義するのは密度ではなく、半径に対する質量濃度であることを示しています。
イベントホライズンで何が起こるか
事象の地平線では、時空の幾何学構造が外部の観測者にとって臨界状態に達します。直観に反する現象がいくつか発生します:
時間の遅れが極端になる 物体がブラック ホールに向かって落下するとき、遠くの観測者は、物体が事象の地平線に近づくにつれて、その動きが徐々に遅くなるのを観察します。落下する天体は速度を落とし、赤方偏移し、漸近的に近づいているように見えますが、事象の地平線に完全に到達することはありません。遠くの観察者の視点から見ると、物体は事実上事象の地平面で永久に静止します (ただし、光が無限に赤方偏移するにつれて消えて見えなくなります)。
落下するオブジェクトの観点から: 事象の地平面では、局所的な奇妙な現象は発生しません。交差点を示す劇的な物理的感覚はありません。落下する観測者は有限の適切な時間内に事象の地平線を越え、内部へと進み続けます。しかし、特異点は将来の光円錐の中にあり���避けられません。
ホーキング放射: スティーブン ホーキング博士は 1974 年に、事象の地平線近くの量子効果によってブラック ホールがゆっくりとエネルギーを放射すると予測しました。恒星質量ブラックホールの場合、この放射は検出できないほど弱いです。温度はケルビンのほんの一部です。ホーキング放射は、ほぼ瞬時に蒸発するマイクロブラックホールに対してのみ重要です。
スパゲッティフィケーション: 潮汐力の問題
潮汐力 (物体の全長にわたる重力の差) により、ブラック ホールの近くで物質が引き裂かれる可能性があります。このプロセスはスパゲティ化と呼ばれます。落下する物体は縦方向に引き伸ばされ、横方向に圧縮されます。
質量 M のブラック ホールから距離 r の距離にある長さ L の物体を横切る潮汐力はおよそ次のとおりです。
Tidal force ≈ 2GM × L / r³
恒星ブラック ホールの場合 (M = 10 × 太陽の質量、r = 100 km、人体の場合 L = 2 m):
Tidal force = 2 × (6.674 × 10⁻¹¹) × (1.989 × 10³¹) × 2 / (10⁵)³
Tidal force ≈ 5.3 × 10⁷ N per kilogram of body mass
これは天��の構造強度の数百万倍であり、完全な崩壊は恒星のブラックホールの事象の地平線のはるか外側で発生します。
興味深いことに、いて座 A* のような超大質量ブラック ホールの場合、事象の地平線は特異点からはるかに離れているため、事象の地平線での潮汐力ははるかに弱くなります。原則として、人間は、すぐにスパゲティ化することなく、十分に大きなブラックホールの事象の地平線を越えることができますが、地平線を越えた結果は同じままです。
地球がブラックホールになる可能性はあるのか?
原理的には、十分に圧縮されれば、どんな質量でもブラックホールになる可能性があります。地球のシュヴァルツシルト半径は 8.87 ミリメートルで、大理石ほどの大きさの球体です。地球の質量すべてが大理石に圧縮されると、ブラック ホールが形成されます。
実際には、この圧縮を達成するには、物質自体の外向きの圧力���克服する必要があります。地球の内圧は非常に高く、中心部では約 360 GPa ですが、重力崩壊に必要な圧力よりもはるかに低いです。地球には、ブラックホール密度への自己圧縮に必要な重力を生成する質量がありません。
ブラックホールが自然に形成されるためには、超新星爆発後の恒星の核の質量が太陽質量の約2～3倍以上でなければなりません。この閾値 (トルマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ限界) を下回る��、物質の中性子縮退圧力によって崩壊が停止し、ブラック ホールではなく中性子星が生成されます。
地球がブラックホールになる自然なメカニズムは存在しません。 8.87 mm まで人工的に圧縮するには、考えられる技術を何桁も超えるエネルギー入力が必要になります。自然界における最も近い類似点は、中性子星の形成です。そこでは、太陽質量約 1.4 ～ 2.5 の恒星核が、地球が決して近づくことのできない条件下で半径約 10 ～ 15 km まで崩壊します。
この概念は、シュヴァルツシルト半径がなぜそれほど基本的なのかを説明しています。この概念は、「ブラック ホール」が物質の特別なエキゾチックな状態ではなく、単に質量が十分に集中したときに何が起こるかを明らかにしています。事象の地平線は、特定のエキゾチックな物質からではなく、時空幾何学から現れます。