이란 무엇인가 Bond Duration & Convexity?
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듀레이션과 볼록성은 이자율 변화에 대한 채권의 민감도를 측정하는 두 가지 기본 척도입니다. 이를 통해 투자자는 수익률이 움직일 때 채권 가격이 얼마나 변할지 추정할 수 있으므로 채권 포트폴리오에서 정확한 금리 위험 관리가 가능해집니다. 기간에는 두 가지 기본 형식이 있습니다. 1938년 Frederick Macaulay가 도입한 Macaulay Duration은 채권의 현금 흐름(쿠폰 지급 및 원금)을 받는 데 걸리는 가중 평균 시간이며 가중치는 각 현금 흐름의 현재 가치에 비례합니다. 이는 연 단위로 표시되며 채권 투자의 효과적인 '회수 시간'을 나타냅니다. 제로 쿠폰 채권의 Macaulay Duration은 모든 현금 흐름이 마지막에 수령되므로 만기와 동일합니다. 이표채의 Macaulay Duration은 중간 이표지급이 유효 대기 시간을 줄이기 때문에 만기보다 짧습니다. Modified Duration은 Macaulay Duration을 가격 민감도의 직접적인 측정값으로 변환합니다. 즉, 수익률 1%(100bp) 변화에 대한 채권 가격의 변화율을 추정합니다. 수정 듀레이션 = Macaulay 듀레이션 / (1 + y/m), 여기서 y는 만기 수익률이고 m은 연간 이자 지급 기간 수입니다. 예를 들어, 수정 듀레이션이 7인 채권은 수익률이 100bp 상승하면 가격이 약 7% 하락할 것으로 예상되고, 수익률이 100bp 하락하면 7% 상승할 것으로 예상됩니다. 볼록성은 가격 민감도를 측정하는 2차 척도입니다. 즉, 듀레이션만으로는 놓칠 수 있는 가격-수익률 관계의 곡률을 포착합니다. 채권 가격과 수익률은 선형 관계가 아닌 볼록(곡선) 관계를 갖기 때문에 듀레이션은 수익률이 하락할 때 가격 상승을 과소평가하고 수익률이 상승할 때 가격 하락을 과대평가합니다. 볼록성 조정을 추가하면 특히 대규모 수익률 변동의 경우 더욱 정확한 가격 변동 추정치가 생성됩니다. 양의 볼록성(표준 채권의 특징)은 선형 지속 기간 근사치에 비해 양방향으로 금리가 움직일 때 채권이 이익을 얻는다는 것을 의미합니다. 모기지 담보 증권은 금리 하락이 조기상환을 촉발할 때 음의 볼록성을 나타낼 수 있습니다. 이러한 개념은 채권 포트폴리오 면역화, 부채 중심 투자(LDI) 전략, 은행, 보험 회사 및 연기금의 채권 위험 관리의 기초입니다.
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공식
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수정된 기간 = Macaulay 기간 / (1 + y/m)
ΔP/P ≒ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)². 이 공식은 수학적 관계를 통해 입력 변수를 연관시켜 기간 볼록성을 계산합니다. 각 구성요소는 독립적으로 검증할 수 있는 측정 가능한 수량을 나타냅니다.변수 설명
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| 기호 | 이름 | 단위 | 설명 |
|---|---|---|---|
| D_Mac | 맥컬리 기간 | years | 모든 현금 흐름을 받는 데 걸리는 가중 평균 시간으로, 각 현금 흐름의 현재 가치를 총 채권 가격으로 나눈 값과 동일한 가중치를 갖습니다. |
| D_mod | 수정된 기간 | years (% per 1% yield change) | 수익률 1% 변화당 대략적인 가격 변동률: D_mod = D_Mac / (1 + y/m). |
| C | 볼록성 | years squared | 가격 민감도에 대한 2차 척도입니다. 기간으로 포착되지 않은 가격-수익률 관계의 곡률을 포착합니다. |
| y | 성숙도 | % | 현금 흐름을 할인하고 기간을 계산하는 데 사용되는 채권의 현재 만기 수익률입니다. |
| m | 쿠폰 빈도 | payments per year | 연간 쿠폰 지급 횟수(예: 반기 2회, 연간 1회) |
| ΔP/P | 가격 변동(%) | % | 채권 가격의 추정 백분율 변화: ΔP/P ≒ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)² |
방법 Bond Duration & Convexity
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- 1각 기간의 이표 지급(쿠폰 = 액면가 × 쿠폰 금리 / m)과 만기 시 액면가 상환 등 채권의 모든 미래 현금 흐름을 해당 시기와 함께 나열합니다.
- 2만기 수익률을 사용하여 각 현금 흐름을 현재 가치로 할인합니다. PV_t = CF_t / (1 + y/m)^t, 여기서 t는 기간 번호입니다.
- 3모든 현재 가치를 합산하여 채권 가격을 구합니다. P = Σ PV_t.
- 4Macaulay 기간 계산: D_Mac = Σ [t × PV_t] / P — 가중 평균 시간(기간)을 m으로 나누어 연도로 변환합니다.
- 5수정된 기간 계산: D_mod = D_Mac / (1 + y/m). 이것이 채권의 1차 가격 민감도입니다. -1과 수익률 변화를 곱하여 가격 변화율을 추정합니다.
- 6볼록성 계산: C = [Σ t(t+1) × PV_t / (1+y/m)²] / (P × m²). 이 2차 항은 가격-수익률 곡선의 곡률에 대한 기간 추정치를 조정합니다.
- 7주어진 수율 변화 Δy에 대해: ΔP/P ≒ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)²를 추정합니다. 작은 Δy(< 25bps)의 경우 일반적으로 지속 기간만으로도 충분합니다. 더 큰 변화의 경우 볼록함이 중요해집니다.
풀어진 예시
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액면 채권: 가격 = $1,000. 100bp 수익률 상승 → 약. -7.93% 가격 변동.
채권의 표면이자율이 만기 수익률과 같으면 액면가($1,000)로 거래됩니다. 8.11년의 Macaulay Duration은 10년간의 반기 이표와 최종 원금에 걸쳐 현금 흐름을 받는 데 걸리는 가중 평균 시간을 반영합니다. 수정 듀레이션 7.93은 수익률이 1% 상승할 때마다 채권 가격이 약 7.93% 하락한다는 의미입니다. 100bp 수익률 증가의 경우: ΔP/P ≒ −7.93% × 1% + 0.5 × 79.5 × (0.01)² ≒ −7.93% + 0.40% = −7.53%. 이는 볼록성이 기간 하락을 부분적으로 상쇄하는 방법을 보여줍니다.
쿠폰 없음: 기간은 만기와 같습니다. 특정 만기의 최고 듀레이션 — 최대 금리 민감도.
제로 쿠폰 채권은 중간 쿠폰을 지급하지 않습니다. 즉, 모든 현금 흐름이 만기에 도달합니다. 따라서 Macaulay Duration은 만기(20년)와 정확히 같습니다. 수정 듀레이션이 19.05인 경우 수익률이 1% 증가하면 약 19.05%의 가격 하락이 발생하므로 이 채권은 금리 변화에 극도로 민감해집니다. 399.7의 매우 높은 볼록성은 대규모 수익률 변동에 대한 상당한 보호를 제공하지만 채권은 만기 기간 동안 금리에 가장 민감한 상품으로 남아 있습니다. 제로쿠폰채권은 장기 부채를 정확하게 일치시키기 위한 책임 중심 투자 전략에 광범위하게 사용됩니다.
수익률 대비 높은 쿠폰 - 액면가(프리미엄 채권) 이상으로 거래됩니다. 낮은 속도 감도.
6% 쿠폰과 5% YTM을 사용하면 이 채권은 액면가(프리미엄 채권, 가격 ≒ $1,027.23) 이상으로 거래됩니다. 높은 쿠폰은 현금 흐름 수령을 가속화하여 3년 만기에도 불구하고 Macaulay Duration을 2.74년으로 줄입니다. 수정 듀레이션 2.67은 수익률 변동 1%당 가격 변동이 2.67%에 불과하다는 의미이므로 이 채권은 10년 만기 국채나 제로쿠폰 채권보다 금리 민감도가 훨씬 낮습니다. 단기 회사채는 금리 위험을 줄이는 동시에 국채 수익률보다 높은 신용 스프레드를 얻기 위해 사용됩니다.
포트폴리오 기간은 구성 요소 기간의 가치 가중 평균입니다.
포트폴리오 기간 = 0.40 × 4.3 + 0.60 × 11.2 = 1.72 + 6.72 = 8.44. 단기 채권과 장기 채권을 결합한 이 채권 사다리는 단일 10년 채권을 보유하지 않고도 10년 만기 국채와 유사한 8.44년의 중간 듀레이션을 달성합니다. 래더링은 유동성 혜택(채권이 주기적으로 만기됨)을 제공하고 정확한 기간 타겟팅을 가능하게 합니다. 듀레이션 8.0을 목표로 하는 포트폴리오 관리자는 간단한 선형 대수학을 사용하여 채권 A와 채권 B 간의 가중치를 조정하여 정확한 목표를 달성할 수 있습니다.
실제 적용
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채권 포트폴리오 면역화: 연기금 및 보험 회사의 자산 기간과 부채 기간을 일치시킵니다. 이 애플리케이션은 해당 분야의 의사 결정, 예산 책정 및 전략 계획을 지원하기 위해 정확한 정량 분석이 필요한 전문가가 일반적으로 사용합니다.
금리 헤징: DV01을 사용하여 국채 선물 또는 금리 스왑 헤지 비율을 계산합니다. 업계 실무자는 이 계산을 사용하여 성능을 벤치마킹하고, 대안을 비교하고, 확립된 표준 및 규제 요구 사항을 준수하는지 확인합니다.
고정 수입 위험 관리: 트레이딩 데스크의 포트폴리오 기간 및 DV01 한도를 계산합니다. 학술 연구원과 학생들은 이 계산을 사용하여 이론적 모델을 검증하고, 교과 과정 과제를 완료하고, 기본 수학적 원리에 대한 더 깊은 이해를 발전시킵니다.
확정급여형 연금자산에 대한 책임중심투자(LDI) 전략 구축. 재무 분석가와 기획자는 이 계산을 워크플로에 통합하여 정확한 예측을 생성하고, 위험 시나리오를 평가하고, 이해관계자에게 데이터 기반 권장 사항을 제시합니다.
규제 자본: Basel III Pillar 1 및 IRRBB 표준에 따른 듀레이션 기반 이자율 위험 자본 계산. 이 애플리케이션은 해당 분야의 의사 결정, 예산 책정 및 전략 계획을 지원하기 위해 정확한 정량 분석이 필요한 전문가가 일반적으로 사용합니다.
특수 경우
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실제로 이 극단적인 경우에는 표준 가정이 유지되지 않을 수 있으므로 신중한 고려가 필요합니다. 채권 기간 및 볼록성 계산기 계산에서 이 시나리오에 직면할 때 실무자는 경계 조건을 확인하고 0으로 나누기 위험을 확인하고 이러한 극한 조건에서 모델의 가정이 유효한지 여부를 고려해야 합니다.
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채권 유형별 일반적인 듀레이션 및 볼록성(대략, 2024년 금리 환경)
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| 채권 유형 | 성숙함 | 수정된 기간 | 볼록성 | +100bps의 가격 민감도 |
|---|---|---|---|---|
| 3개월 T-Bill | 3개월 | 0.25 | 0.06 | -0.25% |
| 2년만기 국채 | 2년 | 1.85 | 3.9 | -1.85% |
| 5년만기 국채 | 5년 | 4.40 | 21.0 | -4.40% |
| 10년만기 국채 | 10년 | 7.95 | 79.5 | -7.55% |
| 30년 만기 국채 | 30년 | 16.50 | 367.0 | -14.66% |
| 10년 만기 제로이표채 | 10년 | 9.52 | 98.0 | -9.05% |
| IG회사채(10년) | 10년 | 7.40 | 72.0 | -7.04% |
| 하이일드채권(5년) | 5년 | 3.80 | 16.5 | -3.61% |
| MBS 패스스루 | ~30년 공칭 | 3.0 – 5.0 | 부정적인 | −3% ~ −5% |
자주 묻는 질문
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Macaulay와 Modified Duration의 실질적인 차이점은 무엇입니까?
Macaulay Duration은 연 단위로 표시되며 채권의 현금 흐름을 받는 데 걸리는 가중 평균 시간을 나타냅니다. 이는 가격 민감도를 직접적으로 측정하는 것이 아니라 시간을 측정하는 것입니다. 수정 듀레이션(Modified Duration)은 수익률 변화(가격으로 나눈)에 대한 채권 가격의 1차 파생값이며, 수익률 1% 변화에 대한 가격 변화율을 직접 측정합니다. 실제 적용(이자율이 움직일 때 채권 가치가 얼마나 변할지 추정)의 경우 수정 듀레이션이 적절한 척도입니다. Macaulay Duration은 개념적으로(현금 흐름의 시기 이해) 더 유용하며 면제된 포트폴리오 구성(자산 기간과 부채 기간(년 단위) 일치)에 더 유용합니다.
볼록성은 왜 중요하며 언제 중요해 집니까?
볼록성은 가격-수익률 관계의 곡률을 포착합니다. 듀레이션만으로도 가격 변화에 대한 선형 근사치를 제공하지만 실제 가격-수익률 곡선은 볼록하여 위쪽으로 휘어집니다. 작은 수익률 변화(25bp 미만)의 경우 일반적으로 기간이면 충분합니다. 더 큰 수익률 변동(50~200bp 이상)의 경우 볼록성이 점점 더 중요해집니다. 2022년의 극적인 금리 변동(연방준비은행이 1년에 금리를 425bp 인상) 동안 적절하게 계산된 볼록성을 가진 투자자는 듀레이션에만 의존하는 투자자보다 포트폴리오 손실을 훨씬 더 정확하게 추정했습니다. 볼록성이 높을수록 일반적으로 금리가 상승할 때 채권의 손실이 적고 금리가 하락할 때 채권의 이익이 더 커진다는 의미이므로 일반적으로 바람직합니다.
음의 볼록성은 무엇이며 어떤 채권이 이를 나타냅니까?
대부분의 표준채권은 양의 볼록성을 갖고 있습니다. 즉, 수익률이 떨어지면 가격 상승이 가속화되고 수익률이 상승하면 가격 손실이 느려집니다. 음의 볼록성은 그 반대입니다. 수익률이 떨어지면 가격 상승이 둔화되고 수익률이 상승하면 가격 손실이 가속화됩니다. 이는 호출 가능 채권(이자율이 하락할 때 발행자가 채권을 호출하고 가격 상승 상한선을 설정함) 및 모기지 담보 증권(이자율이 하락할 때 주택 소유자가 모기지를 선지급하여 장기를 원할 때 증권의 기간을 단축함)에서 발생합니다. 역 플로터는 음의 볼록성을 나타낼 수도 있습니다. 음의 볼록성을 지닌 증권은 일반적으로 이러한 불리한 특성을 투자자에게 보상하기 위해 더 높은 수익률을 제공합니다.
채권 포트폴리오 예방접종에 듀레이션이 어떻게 사용되나요?
예방접종은 포트폴리오의 듀레이션을 목표 부채의 듀레이션과 일치시켜 이자율 변화가 자산과 부채 모두에 동일하게 영향을 미치도록 하여 자금 잉여금을 변경하지 않는 전략입니다. 유효 듀레이션이 12년인 부채가 있는 연금 기금은 수정 듀레이션이 12년인 채권 포트폴리오를 목표로 합니다. 금리가 상승하면 자산 가치와 부채 현재 가치가 비례적으로 감소하여 자금 조달 비율은 거의 변하지 않습니다. 완전 예방접종에는 일치하는 볼록도 필요합니다. 즉, 자산 볼록이 부채 볼록을 초과하는 경우 포트폴리오는 긍정적으로 포지셔닝됩니다(수익률 변화로 인한 이익). 연기금과 보험회사가 사용하는 책임 중심 투자(LDI) 전략은 이 프레임워크를 기반으로 구축되었습니다.
달러 듀레이션(DV01)은 무엇이며 어떻게 사용되나요?
일반적으로 DV01(베이시스 포인트의 달러 가치) 또는 PVBP(베이시스 포인트의 가격 가치)로 표시되는 달러 듀레이션은 수익률이 1 베이시스 포인트(0.01%) 변화할 때 달러 기준으로 채권 가격의 변화를 측정합니다. DV01 = 수정된 듀레이션 × 채권 가격 × 0.0001. 예를 들어, 수정 듀레이션이 8이고 가격이 $1,000,000인 채권의 DV01 = 8 × $1,000,000 × 0.0001 = $800입니다. DV01은 채권 거래자와 포트폴리오 관리자가 포지션 크기를 조정하고, 헤지 비율을 계산하고, 백분율이 아닌 달러 기준으로 위험을 전달하기 위해 광범위하게 사용됩니다. 이는 대규모 포트폴리오 및 트레이딩 데스크에 더 직관적입니다.
이자율은 기간에 어떤 영향을 미치나요?
동일한 만기의 채권에 대해 표면이자율이 높을수록 듀레이션이 짧아지고, 표면이자율이 낮으면(또는 0) 듀레이션이 길어집니다. 이는 이표가 높을수록 투자자가 총 현금 흐름의 더 많은 부분을 더 일찍(중간 이표 지급으로) 수령하여 현금 흐름 수령까지의 가중 평균 시간(Macaulay Duration)이 단축된다는 의미이기 때문입니다. 따라서 높은 이표채는 동일한 만기의 낮은 이표채에 비해 이자율에 덜 민감합니다. 이 관계는 제로쿠폰채권이 특정 만기 기간 및 수익률 수준에 대해 가능한 최대 듀레이션(만기와 동일)을 갖는 이유를 설명합니다.
수율 수준은 지속 기간과 볼록성에 어떤 영향을 미치나요?
기간과 볼록성은 모두 일반적인 수익률 수준에 민감합니다. 수익률이 낮으면 일반적으로 듀레이션이 더 높고(할인율이 낮아 원거리 현금 흐름의 가치가 높아지기 때문에) 볼록성도 더 높습니다. 수율이 높으면 지속 시간은 더 짧고 볼록도는 더 낮습니다. 이는 금리가 거의 0 수준에서 크게 상승한 현재 환경과 특히 관련이 있습니다. 2020~2021년에 듀레이션 리스크가 높은 것으로 보였던 포트폴리오는 이제 더 높은 수익률 수준에서 유효 듀레이션이 더 낮습니다. 이러한 수익률 의존성은 수익률이 크게 변동할 때마다 기간을 다시 계산해야 하며 변동성이 큰 환경에서 정적 기간 추정치가 빠르게 진부해질 수 있음을 의미합니다.
피해야 할 일반적인 실수
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- !Macaulay Duration(년 단위, 시간 기반)과 Modified Duration(년 단위, 실제로는 가격 민감도 측정)을 혼동합니다. 해석과 용도가 다릅니다.
- !큰 수익률 변동에 대한 볼록성 무시 - 50bp를 초과하는 수익률 변화의 경우 볼록성 항이 중요해지며 가격 변동 추정에 포함되어야 합니다.
- !기간이 일정하다고 가정하면 수익률이 이동하고 시간이 흐르고 현금 흐름이 수신됨에 따라 기간이 변경됩니다. 정확한 포트폴리오 위험 모니터링을 위해 정기적으로 다시 계산해야 합니다.
- !내장 옵션(호출 가능, 풋 가능, 모기지 담보)이 포함된 채권에 수정 듀레이션 적용 - 이러한 증권에는 OAD(옵션 조정 듀레이션) 또는 유효 듀레이션을 사용해야 합니다.
- !듀레이션만 사용하여 서로 다른 볼록성 프로필을 갖는 채권 포트폴리오를 비교합니다. 듀레이션은 동일하지만 볼록성이 매우 다른 두 포트폴리오는 비선형 금리 환경에서 의미 있게 다른 위험 프로필을 갖습니다.
전문가 팁
실질적인 고정수익 위험 관리를 위해 달러 듀레이션(DV01)을 사용하여 백분율 기준이 아닌 금전적 기준으로 위험을 전달합니다. $5,000 DV01이 포함된 포트폴리오는 수익률의 모든 베이시스 포인트 변동에 대해 가치가 $5,000씩 변경됩니다. 이는 거래자, 위험 관리자 및 포트폴리오 관리자가 즉시 해석할 수 있습니다.
알고 계셨나요?
Macaulay Duration을 소개하는 Frederick Macaulay의 1938년 논문은 미국 경제 연구국(National Bureau of Economic Research)이 100년 이상에 걸친 미국 금리에 대해 의뢰한 획기적인 연구의 일부였습니다. 기간 개념은 1960년대와 1970년대에 예방접종 이론이 이에 대한 관심을 다시 불러일으킬 때까지 거의 30년 동안 거의 무시되었습니다.
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