원은 모든 곳에 나타납니다 — 바퀴, 파이프, 원형 방, 피자, 행성. 두 가지 측정값이 모든 원을 완전히 정의합니다: 둘레(가장자리 주위 거리)와 넓이(내부 공간). 둘 다 하나의 값인 반지름에서 직접 유도됩니다.
핵심 용어
반지름 (r): 원의 중심에서 원주 위의 임의의 점까지의 거리. 기본적인 측정값 — 모든 원 공식이 이를 사용합니다.
지름 (d): 중심을 통과하는 원의 한 끝에서 다른 끝까지의 거리. 항상 반지름의 정확히 두 배: d = 2r
둘레 (C): 원의 둘레 — 외부 가장자리 주위의 전체 거리.
넓이 (A): 원에 의해 둘러싸인 2차원 공간의 양.
π (파이): 어떤 원의 둘레와 지름의 비율. 무리수(무한하고 비순환)이며 약 3.14159265...와 같습니다.
둘레 공식
C = 2πr 또는 동등하게 C = πd
예제: 반지름 5cm인 원
C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31.42 cm
지름으로 계산: 지름이 직접 주어진 경우:
C = π × d = π × 10 = 10π ≈ 31.42 cm
둘 다 같은 답을 줍니다 — 가지고 있는 측정값을 선택하세요.
넓이 공식
A = πr²
예제: 같은 반지름 5cm인 원
A = π × 5² = 25π ≈ 78.54 cm²
참고: 넓이는 항상 제곱 단위 (cm², m², in²)입니다. 둘레는 선형 단위 (cm, m, in)입니다.
둘레 또는 넓이에서 역산하기
때로는 둘레나 넓이를 알고 반지름을 구해야 할 때가 있습니다.
둘레에서 반지름:
r = C / (2π)
넓이에서 반지름:
r = √(A / π)
둘레에서 지름:
d = C / π
예제: 원형 들판의 둘레가 150m입니다. 넓이는 얼마입니까?
1단계: 반지름 구하기
r = 150 / (2π) = 150 / 6.2832 = 23.87 m
2단계: 넓이 구하기
A = π × 23.87² = π × 569.8 ≈ 1,790 m²
일반적인 계산 예제
원형 파이프 단면
파이프의 내경이 40mm입니다. 단면적은 얼마입니까?
r = 40 / 2 = 20 mm
A = π × 20² = 400π ≈ 1,257 mm²
달리기 트랙
반지름 40m인 원형 트랙. 한 바퀴 거리는 얼마입니까?
C = 2π × 40 = 80π ≈ 251.3 m
피자 크기 비교
14인치 피자가 10인치 피자 두 개보다 더 많습니까?
14인치 피자:
A = π × 7² = 49π ≈ 153.9 in²
10인치 피자 두 개:
A = 2 × π × 5² = 2 × 25π = 50π ≈ 157.1 in²
10인치 피자 두 개가 약간 더 많은 피자를 줍니다 — 하지만 가격이 비슷한 경우에만.
부채꼴과 호
부채꼴은 원의 "조각"(파이 조각처럼)으로, 중심각 θ로 정의됩니다.
호의 길이 (부채꼴의 곡선 변):
호 = (θ / 360) × 2πr [도]
호 = θr [라디안]
부채꼴 넓이:
부채꼴 넓이 = (θ / 360) × πr² [도]
부채꼴 넓이 = ½r²θ [라디안]
예제: 반지름 8cm, 중심각 45°인 부채꼴
호의 길이 = (45 / 360) × 2π × 8 = (1/8) × 16π = 2π ≈ 6.28 cm
부채꼴 넓이 = (45 / 360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25.13 cm²
고리(링 모양)
고리는 반지름 R(외부)와 r(내부)인 두 동심원 사이의 영역입니다.
고리 넓이 = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r)
예제: 외반지름 10m, 내반지름 7m인 원형 테두리:
넓이 = π(10² − 7²) = π(100 − 49) = 51π ≈ 160.2 m²
공식 요약
| 측정값 | 공식 |
|---|---|
| 둘레 | C = 2πr = πd |
| 넓이 | A = πr² |
| C에서 반지름 | r = C / (2π) |
| A에서 반지름 | r = √(A/π) |
| 호의 길이 (도) | 호 = (θ/360) × 2πr |
| 부채꼴 넓이 (도) | A = (θ/360) × πr² |
| 고리 넓이 | A = π(R² − r²) |
원 계산기를 사용하여 어떤 원 측정값도 계산하세요 — 하나의 값을 입력하면 즉시 모든 값을 얻을 수 있습니다.