삼차 방정식은 일반 형식 ax³ + bx² + cx + d = 0을 갖는 3차 다항식입니다. 이차 방정식과 달리 삼차 방정식은 1, 2 또는 3개의 실수 해를 가질 수 있으며 대부분의 사람들이 학교에서 배우는 간단한 닫힌 형식의 공식이 없습니다. 그러나 Cardano의 공식이나 수치적 방법을 사용하여 해결할 수 있습니다.
일반 양식
ax³ + bx² + cx + d = 0
여기서 a ≠ 0(그렇지 않으면 3차가 아닙니다). 방정식은 다음을 가질 수 있습니다:
- 3개의 서로 다른 실제 뿌리
- 1개의 실수근과 2개의 복소공액근
- 반복근(판별자가 0일 때)
카르다노의 공식
Cardano의 공식을 사용하려면 먼저 x = t - b/(3a)를 대체하여 3차식을 낮춥니다(x² 항 제거).
t³ + pt + q = 0
그런 다음 판별식을 포함하는 복잡한 공식을 사용하여 근을 찾습니다.
Δ = -4p³ - 27q²
Δ > 0인 경우: 세 개의 서로 다른 실수 근 Δ = 0인 경우: 최소 2개의 동일한 실수근 Δ < 0인 경우: 하나의 실수근과 두 개의 복소공액근
작업한 예
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 풀기
검사나 시험을 통해 작은 정수를 테스트할 수 있습니다. 테스트 x = 1:
1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
따라서 x = 1은 루트입니다. 인수분해(x - 1):
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
세 개의 근은 x = 1, 2, 3입니다.
인수분해 없이 근 찾기
잘 고려되지 않는 삼차 방정식의 경우 다음을 사용하십시오.
- 카르다노의 공식(대수적으로는 정확하지만 복잡함)
- Newton-Raphson과 같은 수치법(반복적, 한 번에 하나의 근을 찾습니다)
- Newton-Raphson을 사용하여 근을 추정하고 개선하기 위한 그래프 작성
애플리케이션
3차 방정식은 다음과 같이 표시됩니다.
- 공학(응력-변형 분석, 유체 역학)
- 물리학(저항 매질, 입방체 재료의 발사체 운동)
- 경제성(최적화 문제, 생산 비용 곡선)
- 컴퓨터 그래픽(큐빅 베지어 곡선)
팁
유리근이 의심된다면 유리근 정리를 사용하세요. 모든 유리근 p/q에는 d를 나누는 p와 a를 나누는 q가 있습니다. 이로 인해 테스트 후보자가 크게 좁아집니다. 항상 대체를 통해 루트를 확인하십시오.
3차 방정식 솔버를 사용하면 실수이든 복소수든 모든 근을 즉시 찾을 수 있습니다.