반감기는 물질의 절반이 붕괴되거나 변형되는 데 걸리는 시간입니다. 이는 핵물리학, 약리학, 화학, 고고학 등 무언가가 기하급수적으로 감소하는 모든 분야에 나타납니다.

반감기 공식

N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)

또는 동등하게:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

어디:

  • N(t) = t 시점의 남은 수량
  • N₀ = 초기 수량
  • t½ = 반감기
  • λ = 붕괴 상수 = ln(2) ¼ t½ ≒ 0.693 ¼ t½
  • e = 오일러 수(2.718...)

기본 반감기 계산

n번의 반감기 후에 얼마나 남았나요?

Remaining fraction = (½)^n = 1 ÷ 2^n
반감기 경과 남은 분수 백분율
1 1/2 50%
2 1/4 25%
3 1/8 12.5%
4 1/16 6.25%
5 1/32 3.125%
7 1/128 0.78%
10 1/1024 0.098%

예: 30일 후 반감기가 10일인 물질 200g:

  • 반감기 수 = 30 ¼ 10 = 3
  • 남음 = 200 × (½)³ = 200 × 0.125 = 25g

언제든지 남은 금액 찾기

N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)

예: 500mg 물질, 반감기 = 8시간. 20시간이 지나면 얼마나 남나요?

  • N(20) = 500 × (½)^(20/8)
  • N(20) = 500 × (0.5)^2.5
  • N(20) = 500 × 0.1768 = 88.4mg

남은 금액에서 경과 시간 찾기

t = t½ × log(N(t)/N₀) ÷ log(½)

또는: t = t½ × ln(N₀/N(t)) ¼ ln(2)

예: 1,000g으로 시작하고 반감기 = 5년입니다. 62.5g은 언제 남나요?

  • 62.5/1,000 = 0.0625 = (½)^n → n = 4 반감기
  • t = 4 × 5 = 20년

감쇠 상수

λ = ln(2) ÷ t½ ≈ 0.693 ÷ t½

붕괴 상수 λ는 단위 시간당 핵이 붕괴할 확률입니다. 지수 붕괴 공식에 사용됩니다.

N(t) = N₀ × e^(−λt)

예: 반감기 = 20분:

  • λ = 0.693 ¼ 20 = 분당 0.03466
  • 60분 후: N = N₀ × e^(−0.03466 × 60) = N₀ × e^(−2.079) = N₀ × 0.125

이는 다음을 확인합니다: 60분 = 3번의 반감기 → 12.5% ​​남음 ✓

방사성 동위원소 반감기

동위 원소 반감기 사용
탄소-14 5,730년 방사성탄소 연대측정
우라늄-238 44억 7천만년 지질학적 연대 측정
요오드-131 8.02일 갑상선암 치료
테크네튬-99m 6.01시간 의료 영상
폴로늄-210 138.4일 —
스트론튬-90 28.8세 핵 낙진 우려

탄소 연대 측정: 실제 적용

탄소-14의 반감기는 5,730년이며 모든 생명체에서 발견됩니다. 유기체가 죽으면 새로운 C-14 흡수가 중단되므로 C-14와 C-12의 비율이 예상대로 감소합니다.

Age = t½ ÷ ln(2) × ln(N₀/N)

예: 샘플에 원래 C-14의 25%가 남아 있습니다.

  • 25% = (½)^n → n = 2 반감기
  • 나이 = 2 × 5,730 = 11,460세

탄소 연대 측정은 최대 50,000년(약 8~9년 반감기, 그 이후에는 C-14가 너무 적어 측정이 신뢰할 수 없음)까지의 샘플에 대해 신뢰할 수 있습니다.

약리학의 반감기

약물 반감기는 투여 빈도를 결정합니다. 45번의 반감기 후에 약 9497%의 약물이 제거됩니다.

의약품 반감기 투약 빈도
이부프로펜 2시간 4~6시간마다
아스피린 15~20분* 항혈소판제는 매일
카페인 5~6시간 효과 810시간
디아제팜(발륨) 20~100시간 하루에 한 번 이하

*아스피린이 혈소판에 미치는 영향은 비가역적 결합으로 인해 자체 반감기보다 훨씬 오래 지속됩니다.

지수 계산기를 사용하여 원하는 반감기에 대한 (½)^n을 빠르게 계산하세요.