z-점수(또는 표준 점수)는 데이터 포인트가 평균에서 얼마나 많은 표준 편차를 가지고 있는지 측정합니다. 이는 원시 점수를 다양한 데이터 세트 간 비교할 수 있는 표준화된 척도로 변환합니다.
Z-점수 공식
z = (x − μ) ÷ σ
어디:
- x = 개별 데이터 포인트
- μ (mu) = 모집단 평균
- σ (시그마) = 모집단 표준편차
표본의 경우 μ를 x̄(표본 평균)로 바꾸고 σ를 s(표본 SD)로 바꿉니다.
작업한 예
한 학생이 시험에서 72점을 받았습니다. 클래스 평균은 65이고 표준편차는 8입니다.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
이 학생은 평균보다 높은 0.875 표준편차를 기록했습니다.
Z-점수 해석
| Z-점수 | 해석 | 백분위수(대략) |
|---|---|---|
| -3 | 평균 이하로 매우 낮음 | 0.1% |
| -2 | 평균보다 훨씬 낮네요 | 2.3% |
| -1 | 평균 이하 | 15.9% |
| 0 | 중간에 | 50.0% |
| +1 | 평균 이상 | 84.1% |
| +2 | 그럼 평균 이상 | 97.7% |
| +3 | 평균보다 훨씬 높음 | 99.9% |
68-95-99.7 규칙
정규 분포에서:
- 데이터의 **68%**가 ±1 표준편차 내에 속함
- 표준편차 ±2 이내 95%
- 표준편차 ±3 이내 99.7%
Z-점수를 백분위수로 변환
z-점수를 얻은 후에는 표준 일반 테이블(Z-테이블)을 찾거나 다음을 사용하세요.
Percentile = Φ(z) × 100
여기서 Φ는 누적 정규 분포 함수입니다.
예: z = 1.5 → Φ(1.5) = 0.9332 → 93.3번째 백분위수
Z-점수의 응용
재원:
- Altman Z-Score는 파산 위험을 예측합니다.
- 이상값을 식별하기 위해 위험 관리에 사용됩니다.
의료:
- 어린이의 연령 Z-점수에 대한 BMI
- 골밀도(DXA) T-점수는 Z-점수의 한 형태입니다.
품질 관리:
- Six Sigma는 z-점수를 사용하여 공정 능력을 측정합니다.
- "6-시그마" 프로세스의 z-점수는 6입니다(백만 개당 결함 3.4개).
표준화 시험 점수:
- IQ 점수: 평균 100, SD 15(z-점수 +2 → IQ 130)
- SAT 점수: 평균 1000, SD 200(z-점수로 조정)
다양한 테스트의 점수 비교
예: Alice는 테스트 A에서 80점을 받았습니다(평균 70, SD 10). Bob은 테스트 B에서 55점을 받았습니다(평균 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
낮은 원시 점수에도 불구하고 Bob은 동료에 비해 더 나은 성과를 거두었습니다.