z-점수는 값이 평균에서 얼마나 많은 표준 편차를 가지는지 측정합니다. 이는 통계적 추론의 기초로서, 정규 분포를 범용 정규 테이블이나 계산기를 사용하여 확률을 찾을 수 있는 표준화된 척도로 변환할 수 있습니다.
공식
z = (x - μ) / σ
어디:
- x = 평가 중인 값
- μ (mu) = 모집단 평균
- σ (시그마) = 모집단 표준편차
z-점수 0은 값이 평균과 동일함을 의미합니다. 양의 z 점수는 평균보다 높습니다. 음수 Z 점수는 아래와 같습니다. 크기는 거리를 표준편차로 나타냅니다.
작업한 예
대학 입시 시험의 평균은 500이고 표준편차는 100입니다. 당신의 점수는 650입니다. 당신의 z-점수는 얼마입니까?
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
귀하의 점수는 평균보다 1.5 표준편차 높습니다. 표준 정규 표를 사용하면 P(z ≤ 1.5) ≒ 0.9332입니다. 이는 응시자의 약 93.32%가 자신보다 낮은 점수를 받았다는 의미입니다.
Z-점수 테이블 사용
z를 계산한 후 누적 확률 P(Z ≤ z)를 제공하는 표준 정규 테이블에서 해당 확률을 찾습니다. 테이블은 다음을 보여줍니다:
- 단측 확률: P(Z ≤ z) 또는 P(Z ≥ z)
- 양측 확률: 신뢰 구간 및 가설 검정에 유용합니다.
예를 들어, z = 1.96은 P(Z ≤ 1.96) ≒ 0.975에 해당합니다. z = ±1.96을 넘어서는 양쪽 꼬리의 영역은 0.05이므로 1.96이 95% 신뢰 구간에 대한 임계 값입니다.
일반적인 Z-점수 컷오프
| Z-점수 | 누적 확률 | 백분위수 |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0.13일 |
| -2 | 0.0228 | 2.28일 |
| -1 | 0.1587 | 15.87일 |
| 0 | 0.5000 | 50번째 |
| 1 | 0.8413 | 84.13일 |
| 2 | 0.9772 | 97.72번째 |
| 3 | 0.9987 | 99.87번째 |
사용 시기
Z-점수는 다음과 같은 경우에 필수적입니다.
- 다양한 분포의 값 비교
- 정규분포를 이용하여 확률 구하기
- 이상치 식별(보통 |z| > 3)
- 가설 검정 및 신뢰 구간
- 시험 점수 표준화
팁
Z-점수는 정규 분포 데이터에만 작동합니다. 분포가 심하게 치우쳐 있거나 꼬리가 두꺼우면 z-점수는 오해의 소지가 있습니다. 또한 z(인구 모수)와 t(표본 통계)의 차이를 기억하세요. σ가 알려지면 z를 사용하고, 표본에서 이를 추정할 때는 t를 사용하세요.
Z-점수 계산기를 사용하여 점수를 z-점수로 변환하고 즉시 확률을 찾아보세요.