Kārlis Švarcšilds savu slaveno rādiusu atvasināja 1916. gadā, dienējot Krievijas frontē Pirmajā pasaules karā, atrisinot Einšteina lauka vienādojumus īpašam gadījumam, kad masa ir perfekti sfēriska, nerotējoša. Rezultāts bija pareģojums, kas tobrīd šķita absurds: saspiediet jebkuru objektu zem noteikta rādiusa, un pat gaisma nevar izkļūt. Fiziķiem bija vajadzīgi gadu desmiti, lai pieņemtu, ka šie "melnie caurumi" ir reāli objekti, nevis matemātiski kuriozi. Mūsdienās mums ir tieši to attēli, gravitācijas viļņu noteikšanas no to sadursmēm un apstiprinājums, ka viens atrodas gandrīz katras lielās galaktikas centrā.
Kas ir Švarcšilda rādiuss?
Švarcšilda rādiuss ir kritiskais rādiuss, kurā objekta evakuācijas ātrums ir vienāds ar gaismas ātrumu. Jebkuram objektam, kas saspiests zem šī rādiusa, izplūdes ātrums pārsniedz gaismas ātrumu, kas nozīmē, ka nekas — ne gaisma, ne informācija, nekas — nevar izbēgt, kad tas šķērso šo robežu. Šo robežu sauc par notikumu horizontu.
Nerotējošam melnajam caurumam (Švarcšilda melnajam caurumam) notikumu horizonts ir ideāla sfēra ar rādiusu r_s. Rotējošiem melnajiem caurumiem (Kerr melnajiem caurumiem) notikumu horizonti ir izliekti, taču Švarcšilda rādiuss joprojām ir noderīgs tuvinājums lielākajai daļai konceptuālu mērķu.
Notikumu horizonts nav fiziska virsma. Nav sienas, nav barjeras, ko varētu pieskarties. Iekrītošs novērotājs to šķērso bez jebkādas lokālas fanfaras — telpas laika ģeometrija vienkārši kļūst tāda, ka visi turpmākie ceļi ved uz iekšu uz singularitāti.
Formula: r = 2GM/c²
Švarcšilda rādiusa formula ir:
r_s = 2GM / c²
Kur:
- r_s = Švarcšilda rādiuss metros
- G = gravitācijas konstante = 6,674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²
- M = objekta masa kilogramos
- c = gaismas ātrums = 2,998 × 10⁸ m/s (c² = 8,988 × 10¹⁶ m²/s²)
Vienkāršots: tā kā 2G/c² = 1,485 × 10⁻²⁷ m/kg, formula tiek samazināta līdz:
r_s (meters) = 1.485 × 10⁻²⁷ × M (kg)
Nostrādāts piemērs — Saules Švarcšilda rādiusa aprēķināšana:
Mass of Sun = 1.989 × 10³⁰ kg
r_s = 2 × (6.674 × 10⁻¹¹) × (1.989 × 10³⁰) / (8.988 × 10¹⁶)
r_s = (2 × 6.674 × 1.989 × 10¹⁹) / (8.988 × 10¹⁶)
r_s = 2.654 × 10²⁰ / 8.988 × 10¹⁶
r_s ≈ 2,953 meters ≈ 2.95 km
Saule, kuras rādiuss ir 696 000 km, būtu jāsaspiež līdz sfērai, kas ir mazāka par 3 km, lai tā kļūtu par melno caurumu. Saule to nekad nedarīs - tai trūkst masas. Tikai zvaigznes, kas aptuveni 20 reizes pārsniedz Saules masu, beidz savu dzīvi kodolu sabrukšanas supernovās, kas rada melnos caurumus.
Melnā cauruma izmēri: Zeme pret sauli un supermasīvie
Švarcšilda rādiuss mērogojas lineāri ar masu. Dubultojiet masu, dubultojiet rādiusu. Tādējādi supermasīvajiem melnajiem caurumiem ir milzīgs notikumu horizonts, savukārt zvaigžņu melnie caurumi paliek kompakti.
| Object | Mass | Schwarzschild Radius | Context |
|---|---|---|---|
| Moon | 7.35 × 10²² kg | 0.109 mm | Smaller than a grain of sand |
| Earth | 5.972 × 10²⁴ kg | 8.87 mm | About the size of a marble |
| Sun | 1.989 × 10³⁰ kg | ~2.95 km | Fits inside a city |
| Typical stellar black hole (10 M☉) | 1.989 × 10³¹ kg | ~29.5 km | Diameter of a small city |
| Cygnus X-1 (21 M☉) | ~4.2 × 10³¹ kg | ~62 km | — |
| Sagittarius A* (Milky Way center, 4M M☉) | ~7.96 × 10³⁶ kg | ~11.8 million km | Larger than the Sun's actual radius |
| M87* (first imaged black hole, 6.5B M☉) | ~1.3 × 10⁴⁰ kg | ~19.2 billion km | Larger than our solar system |
Supermasīvajam melnajam caurumam M87 centrā ir notikumu horizonta diametrs, kas ir lielāks nekā attālums no Saules līdz Neptūnam (apmēram 30 AU). Tomēr, neskatoties uz šo satriecošo izmēru, vidējais blīvums notikumu horizontā patiesībā ir mazāks nekā ūdens, kas parāda, ka blīvums nav tas, kas nosaka melno caurumu, bet gan masas koncentrācija attiecībā pret rādiusu.
Kas notiek notikumu horizontā
Notikumu horizontā telpas laika ģeometrija sasniedz kritisku stāvokli ārējiem novērotājiem. Notiek vairākas pretintuitīvas parādības:
Laika paplašināšanās kļūst ārkārtēja. Objektam krītot pretim melnajam caurumam, attāls novērotājs redz, ka tas kustas pakāpeniski lēnāk, tuvojoties notikumu horizontam. Šķiet, ka krītošais objekts palēnina, maina sarkano nobīdi un asimptotiski tuvojas, bet nekad nesasniedz notikumu horizontu. No attālā novērotāja perspektīvas objekts faktiski sastingst pie notikumu horizonta uz visiem laikiem (lai gan tas kļūst neredzams, jo tā gaisma kļūst bezgalīgi sarkanā nobīde).
No krītošā objekta perspektīvas: notikuma horizontā nenotiek nekāda lokāla dīvainība — nekāda dramatiska fiziska sajūta neapzīmē krustojumu. Iekrītošais novērotājs šķērso notikumu horizontu noteiktā laikā un turpina virzīties uz iekšu. Tomēr singularitāte slēpjas nākotnes gaismas konusā un ir neizbēgama.
Hokinga starojums: Stīvens Hokings 1974. gadā prognozēja, ka kvantu efekti notikumu horizonta tuvumā liek melnajiem caurumiem lēnām izstarot enerģiju. Zvaigžņu masas melnajiem caurumiem šis starojums ir tik vājš, ka nav nosakāms — temperatūra ir niecīga Kelvina daļiņa. Hokinga starojums ir nozīmīgs tikai mikro-melnajiem caurumiem, kas iztvaikotu gandrīz acumirklī.
Spagetifikācija: plūdmaiņu spēka problēma
Paisuma spēki — gravitācijas pievilkšanas atšķirība visā objekta garumā — var saplēst vielu pie melnā cauruma. Šo procesu sauc par spagetifikāciju: krītošais objekts tiek izstiepts gareniski un saspiests uz sāniem.
Plūdmaiņas spēks objektam ar garumu L attālumā r no melnā cauruma ar masu M ir aptuveni:
Tidal force ≈ 2GM × L / r³
Zvaigžņu melnajam caurumam (M = 10 × Saules masa, r = 100 km, L = 2 m cilvēka ķermenim):
Tidal force = 2 × (6.674 × 10⁻¹¹) × (1.989 × 10³¹) × 2 / (10⁵)³
Tidal force ≈ 5.3 × 10⁷ N per kilogram of body mass
Tas miljoniem reižu pārsniedz ķermeņa strukturālo spēku — pilnīga sabrukšana notiktu krietni ārpus zvaigžņu melnā cauruma notikumu horizonta.
Interesanti, ka supermasīvajam melnajam caurumam, piemēram, Strēlniekam A*, paisuma spēki notikuma horizontā ir daudz vājāki, jo notikumu horizonts ir daudz tālāk no singularitātes. Cilvēks principā varētu šķērsot pietiekami liela melnā cauruma notikumu horizontu bez tūlītējas spagetti, lai gan rezultāts aiz horizonta paliek nemainīgs.
Vai Zeme varētu kļūt par melno caurumu?
Principā jebkurš masas daudzums var kļūt par melno caurumu, ja to pietiekami saspiež. Zemes Švarcšilda rādiuss ir 8,87 milimetri - marmora izmēra sfēra. Ja visa Zemes masa tiktu saspiesta marmorā, tā veidotos melnais caurums.
Praksē, lai sasniegtu šo saspiešanu, ir jāpārvar pašas vielas spiediens uz āru. Zemes iekšējais spiediens ir milzīgs — aptuveni 360 GPa centrā —, taču daudz zemāks par to, kas būtu nepieciešams gravitācijas sabrukumam. Zemei trūkst masas, lai radītu gravitāciju, kas nepieciešama pašsaspiežoties līdz melnā cauruma blīvumam.
Lai melnais caurums veidotos dabiski, zvaigžņu kodola masai pēc supernovas ir jābūt lielākai par aptuveni 2–3 Saules masām. Zem šī sliekšņa (Tolmana-Openheimera-Volkofa robeža) matērijas neitronu deģenerācijas spiediens aptur sabrukumu, veidojot neitronu zvaigzni, nevis melno caurumu.
Nav dabiska mehānisma, ar kuru Zeme varētu kļūt par melno caurumu. Mākslīgai saspiešanai līdz 8,87 mm būtu nepieciešama enerģijas ievade, kas pārsniedz jebkuru iedomājamu tehnoloģiju. Tuvākā līdzība dabā ir neitronu zvaigžņu veidošanās — kur aptuveni 1,4–2,5 Saules masu zvaigžņu kodols sabrūk līdz aptuveni 10–15 km rādiusam apstākļos, kuriem Zeme nekad nevarētu pietuvoties.
Koncepcija ilustrē, kāpēc Švarcšilda rādiuss ir tik būtisks: tas atklāj, ka "melnais caurums" nav īpašs eksotisks matērijas stāvoklis, bet gan vienkārši tas, kas notiek, kad masa ir pietiekami koncentrēta. Notikumu horizonts rodas no telpas laika ģeometrijas, nevis no kādas konkrētas eksotiskas vielas.