Wat is Bond Duration & Convexity?
▾
During en convexiteit zijn de twee fundamentele maatstaven voor de gevoeligheid van een obligatie voor renteveranderingen. Samen stellen ze beleggers in staat in te schatten hoeveel de prijs van een obligatie zal veranderen als de rendementen veranderen, waardoor nauwkeurig renterisicobeheer in vastrentende portefeuilles mogelijk wordt. Duur heeft twee primaire vormen. Macaulay Duration, geïntroduceerd door Frederick Macaulay in 1938, is de gewogen gemiddelde tijd om de kasstromen van de obligatie te ontvangen (couponbetalingen en hoofdsom), met gewichten die evenredig zijn aan de contante waarde van elke kasstroom. Het wordt uitgedrukt in jaren en vertegenwoordigt de effectieve 'time to payback' van de investering in de obligatie. De Macaulay Duration van een nulcouponobligatie is gelijk aan de looptijd ervan, aangezien alle cashflow aan het einde wordt ontvangen; De Macaulay Duration van een couponobligatie is korter dan de looptijd, omdat tussentijdse couponbetalingen de effectieve wachttijd verkorten. Modified Duration zet Macaulay Duration om in een directe maatstaf voor de prijsgevoeligheid: het schat de procentuele verandering in de obligatiekoers bij een verandering van het rendement met 1% (100 basispunten). Gewijzigde looptijd = Macaulay-duur / (1 + j/m), waarbij y het rendement tot de vervaldatum is en m het aantal couponperioden per jaar. Zo wordt bijvoorbeeld verwacht dat een obligatie met een Modified Duration van 7 ongeveer 7% in prijs zal dalen als de rente met 100 basispunten stijgt – of met 7% zal stijgen als de rente met 100 basispunten daalt. Convexiteit is de tweede orde maatstaf voor prijsgevoeligheid; het geeft de kromming weer in de prijs-rendementsrelatie die alleen de duur mist. Omdat de koersen en rendementen van obligaties een convexe (gebogen) relatie hebben in plaats van een lineaire relatie, onderschat de duratie de prijswinsten wanneer de rente daalt, en overschat hij de prijsdalingen wanneer de rente stijgt. Het toevoegen van de convexiteitsaanpassing levert een nauwkeurigere schatting van de prijsverandering op, vooral bij grote rendementsbewegingen. Positieve convexiteit (karakteristiek voor standaardobligaties) betekent dat de obligatie profiteert van rentebewegingen in beide richtingen ten opzichte van de lineaire looptijdbenadering. Door hypotheek gedekte effecten kunnen een negatieve convexiteit vertonen wanneer dalende rentetarieven tot vooruitbetalingen leiden. Deze concepten vormen de basis voor de immunisatie van obligatieportefeuilles, op verplichtingen gebaseerde beleggingsstrategieën (LDI) en het risicobeheer van vastrentende waarden bij banken, verzekeringsmaatschappijen en pensioenfondsen.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Formule
▾
Gewijzigde duur = Macaulay-duur / (1 + j/m)
ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)². Deze formule berekent de convexiteit van de duur door de invoervariabelen te relateren via hun wiskundige relatie. Elke component vertegenwoordigt een meetbare hoeveelheid die onafhankelijk kan worden geverifieerd.Variabele uitleg
▾
| Symbool | Naam | Eenheid | Beschrijving |
|---|---|---|---|
| D_Mac | Macaulay-duur | years | De gewogen gemiddelde tijd om alle cashflows te ontvangen, met gewichten gelijk aan de contante waarde van elke cashflow gedeeld door de totale obligatieprijs. |
| D_mod | Gewijzigde duur | years (% per 1% yield change) | De geschatte procentuele prijsverandering per 1% verandering in opbrengst: D_mod = D_Mac / (1 + j/m). |
| C | Convexiteit | years squared | De tweede orde maatstaf voor prijsgevoeligheid; legt de kromming van de prijs-rendementrelatie vast die niet door de duur wordt weergegeven. |
| y | Opbrengst naar volwassenheid | % | Het huidige rendement van de obligatie tot de vervaldatum, gebruikt om de kasstromen te verdisconteren en de looptijd te berekenen. |
| m | Couponfrequentie | payments per year | Aantal couponbetalingen per jaar (bijvoorbeeld 2 voor halfjaarlijks, 1 voor jaarlijks). |
| ΔP/P | Prijsverandering (%) | % | Geschatte procentuele verandering in de prijs van obligaties: ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)² |
Hoe Bond Duration & Convexity
▾
- 1Geef een overzicht van alle toekomstige kasstromen van de obligatie met hun timing: couponbetalingen (coupon = nominale waarde x couponrente / m) in elke periode en de nominale waardeaflossing op de vervaldag.
- 2Verdisconteer elke cashflow naar de huidige waarde met behulp van het rendement tot de vervaldatum: PV_t = CF_t / (1 + y/m)^t, waarbij t het periodenummer is.
- 3Tel alle huidige waarden op om de prijs van de obligatie te verkrijgen: P = Σ PV_t.
- 4Bereken de Macaulay-duur: D_Mac = Σ [t × PV_t] / P — de gewogen gemiddelde tijd (in perioden), en deel deze vervolgens door m om deze om te zetten in jaren.
- 5Bereken de gewijzigde duur: D_mod = D_Mac / (1 + j/m). Dit is de prijsgevoeligheid van de eerste orde van de obligatie – vermenigvuldig met −1 en de rendementsverandering om de procentuele prijsverandering te schatten.
- 6Bereken de convexiteit: C = [Σ t(t+1) × PV_t / (1+y/m)²] / (P × m²). Deze term van de tweede orde past de schatting van de duur aan voor de kromming van de koers-rendementscurve.
- 7Voor een gegeven opbrengstverandering Δy: schat ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)². Voor kleine Δy (< 25 bps) is alleen de duurtermijn meestal voldoende; voor grotere veranderingen wordt convexiteit materieel.
Uitgewerkte voorbeelden
▾
At-par-obligatie: prijs = $ 1.000. Een rentestijging van 100 basispunten → ca. -7,93% prijsverandering.
Wanneer de couponrente van een obligatie gelijk is aan het rendement tot de vervaldag, wordt deze tegen pari ($1.000) verhandeld. De Macaulay Duration van 8,11 jaar weerspiegelt de gewogen gemiddelde tijd voor het ontvangen van kasstromen over een periode van 10 jaar aan halfjaarlijkse coupons plus de uiteindelijke hoofdsom. De Modified Duration van 7,93 betekent dat de obligatie ongeveer 7,93% in prijs verliest voor elke stijging van de rente met 1%. Voor een rendementsstijging van 100 basispunten: ΔP/P ≈ −7,93% × 1% + 0,5 × 79,5 × (0,01)² ≈ −7,93% + 0,40% = −7,53%, wat laat zien hoe convexiteit de daling van de looptijd gedeeltelijk compenseert.
Nulcoupon: Duur is gelijk aan looptijd. Hoogste looptijd voor een bepaalde looptijd — maximale rentegevoeligheid.
Een nulcouponobligatie betaalt geen tussentijdse coupons; alle cashflow komt op de vervaldag aan. Daarom is de Macaulay-duur precies gelijk aan de looptijd (20 jaar). Met een Modified Duration van 19,05 veroorzaakt een rendementsstijging van 1% een prijsdaling van ongeveer 19,05%, waardoor deze obligatie extreem gevoelig is voor renteveranderingen. De zeer hoge convexiteit van 399,7 biedt substantiële bescherming tegen grote rendementsbewegingen, maar de obligatie blijft gedurende de looptijd ervan het meest rentegevoelige instrument. Nulcouponobligaties worden op grote schaal gebruikt in op verplichtingen gebaseerde beleggingsstrategieën om langlopende verplichtingen nauwkeurig af te stemmen.
Hoge coupon in verhouding tot rendement – transacties boven pari (premiumobligaties). Lage tariefgevoeligheid.
Met een coupon van 6% en een YTM van 5% wordt deze obligatie boven pari verhandeld (premiumobligatie, prijs ≈ $1.027,23). De hoge coupon versnelt de ontvangst van de cashflow, waardoor de Macaulay Duration wordt teruggebracht tot 2,74 jaar, ondanks een looptijd van drie jaar. De Modified Duration van 2,67 betekent slechts een prijsverandering van 2,67% per rentebeweging van 1%, waardoor deze obligatie veel minder rentegevoelig is dan de 10-jarige staatsobligatie of nulcouponobligatie. Bedrijfsobligaties met een korte looptijd worden gebruikt om het renterisico te verminderen, terwijl ze nog steeds kredietspreads opleveren die boven de rente op staatsobligaties liggen.
De portefeuilleduur is het waardegewogen gemiddelde van de componentduur.
Portefeuilleduration = 0,40 × 4,3 + 0,60 × 11,2 = 1,72 + 6,72 = 8,44. Deze obligatieladder, die korte en lange obligaties combineert, bereikt een gemiddelde looptijd van 8,44 jaar – vergelijkbaar met een staatsobligatie met een looptijd van 10 jaar – zonder ook maar één enkele obligatie met een looptijd van 10 jaar aan te houden. Laddering biedt liquiditeitsvoordelen (obligaties vervallen periodiek) en maakt nauwkeurige targeting van de looptijd mogelijk. Een portefeuillebeheerder die zich richt op een looptijd van 8,0 zou de wegingen tussen Bond A en Bond B kunnen aanpassen om het exacte doel te bereiken met behulp van eenvoudige lineaire algebra.
Praktische toepassingen
▾
Immunisatie van obligatieportefeuilles: het afstemmen van de looptijd van activa op de duur van verplichtingen voor pensioenfondsen en verzekeringsmaatschappijen. Deze applicatie wordt vaak gebruikt door professionals die nauwkeurige kwantitatieve analyses nodig hebben ter ondersteuning van de besluitvorming, budgettering en strategische planning op hun respectieve vakgebieden
Renteafdekking: berekening van treasuryfutures of renteswapsafdekkingsratio's met behulp van DV01. Beoefenaars uit de sector vertrouwen op deze berekening om de prestaties te benchmarken, alternatieven te vergelijken en de naleving van gevestigde normen en wettelijke vereisten te garanderen
Risicobeheer voor vastrentende waarden: berekening van de portefeuilleduur en DV01-limieten voor handelsdesks. Academische onderzoekers en studenten gebruiken deze berekening om theoretische modellen te valideren, cursusopdrachten te voltooien en een dieper inzicht in de onderliggende wiskundige principes te ontwikkelen
Constructie van een Liability-Driven Investment (LDI)-strategie voor activa van toegezegde pensioenregelingen. Financiële analisten en planners integreren deze berekening in hun workflow om nauwkeurige voorspellingen te doen, risicoscenario’s te evalueren en datagestuurde aanbevelingen aan belanghebbenden te presenteren
Toezichthoudend kapitaal: kapitaalberekeningen op basis van renterisico op basis van de looptijd volgens de Bazel III Pijler 1- en IRRBB-normen. Deze applicatie wordt vaak gebruikt door professionals die nauwkeurige kwantitatieve analyses nodig hebben ter ondersteuning van de besluitvorming, budgettering en strategische planning op hun respectieve vakgebieden
Bijzondere gevallen
▾
In de praktijk vereist dit randgeval een zorgvuldige afweging, omdat standaardaannames mogelijk niet opgaan. Wanneer dit scenario wordt aangetroffen bij berekeningen van de obligatieduur- en convexiteitscalculator, moeten praktijkmensen de randvoorwaarden verifiëren, controleren op risico's op basis van deling door nul, en overwegen of de aannames van het model onder deze extreme omstandigheden geldig blijven.
In de praktijk vereist dit randgeval een zorgvuldige afweging, omdat standaardaannames mogelijk niet opgaan. Wanneer dit scenario wordt aangetroffen bij berekeningen van de obligatieduur- en convexiteitscalculator, moeten praktijkmensen de randvoorwaarden verifiëren, controleren op risico's op basis van deling door nul, en overwegen of de aannames van het model onder deze extreme omstandigheden geldig blijven.
In de praktijk vereist dit randgeval een zorgvuldige afweging, omdat standaardaannames mogelijk niet opgaan. Wanneer dit scenario wordt aangetroffen bij berekeningen van de obligatieduur- en convexiteitscalculator, moeten praktijkmensen de randvoorwaarden verifiëren, controleren op risico's op basis van deling door nul, en overwegen of de aannames van het model onder deze extreme omstandigheden geldig blijven.
Typische duur en convexiteit per obligatietype (bij benadering, tariefomgeving 2024)
▾
| Obligatietype | Volwassenheid | Gewijzigde duur | Convexiteit | Prijsgevoeligheid tot +100bps |
|---|---|---|---|---|
| T-factuur van 3 maanden | 3 maanden | 0.25 | 0.06 | −0,25% |
| Schatkistbon met een looptijd van 2 jaar | 2 jaar | 1.85 | 3.9 | −1,85% |
| Schatkistbon met een looptijd van 5 jaar | 5 jaar | 4.40 | 21.0 | −4,40% |
| Staatsobligaties met een looptijd van 10 jaar | 10 jaar | 7.95 | 79.5 | −7,55% |
| Staatsobligaties met een looptijd van 30 jaar | 30 jaar | 16.50 | 367.0 | −14,66% |
| 10-jarige nulcouponobligatie | 10 jaar | 9.52 | 98.0 | −9,05% |
| IG Bedrijfsobligatie (10 jaar) | 10 jaar | 7.40 | 72.0 | −7,04% |
| Hoogrentende obligaties (5 jaar) | 5 jaar | 3.80 | 16.5 | −3,61% |
| MBS-doorvoer | ~30 jaar nominaal | 3,0 – 5,0 | Negatief | −3% tot −5% |
Veelgestelde vragen
▾
Wat is het praktische verschil tussen Macaulay en Modified Duration?
Macaulay Duration wordt uitgedrukt in jaren en vertegenwoordigt de gewogen gemiddelde tijd om de kasstromen van de obligatie te ontvangen. Het is een maatstaf voor de tijd en niet direct een prijsgevoeligheidsmaatstaf. Modified Duration is de eerste afgeleide van de obligatiekoers met betrekking tot de rendementsverandering (gedeeld door de prijs) en meet direct de procentuele prijsverandering voor een verandering van 1% in het rendement. Voor praktische toepassingen – het schatten van hoeveel de waarde van een obligatie zal veranderen als de rente verandert – is Modified Duration de relevante maatstaf. Macaulay Duration is conceptueel nuttiger (inzicht in de timing van kasstromen) en voor het samenstellen van geïmmuniseerde portefeuilles (het afstemmen van de activaduur op de passivaduur in jaren).
Waarom is convexiteit belangrijk en wanneer wordt het belangrijk?
Convexiteit geeft de kromming weer in de prijs-opbrengstrelatie. Alleen de duur geeft een lineaire benadering van prijsveranderingen, maar de werkelijke koers-rendementcurve is convex: hij buigt naar boven. Voor kleine rendementsveranderingen (minder dan 25 basispunten) is de looptijd doorgaans voldoende. Bij grotere rendementsbewegingen (50–200+ basispunten) wordt convexiteit steeds belangrijker. Tijdens de dramatische rentebewegingen van 2022 (de Federal Reserve verhoogde de rente met 425 basispunten in één jaar) waren beleggers met een goed berekende convexiteit veel nauwkeuriger in het inschatten van portefeuilleverliezen dan beleggers die alleen op de looptijd vertrouwden. Een hogere convexiteit is over het algemeen wenselijk, omdat dit betekent dat de obligatie minder verliest als de rente stijgt en meer wint als de rente daalt.
Wat is negatieve convexiteit en welke obligaties vertonen dit?
De meeste standaardobligaties hebben een positieve convexiteit: koerswinsten versnellen wanneer de rente daalt en prijsverliezen vertragen wanneer de rente stijgt. Negatieve convexiteit is het tegenovergestelde: de koerswinsten vertragen wanneer de rendementen dalen en de prijsverliezen versnellen wanneer de rendementen stijgen. Dit gebeurt bij opvraagbare obligaties (de emittent roept de obligatie op als de rente daalt, waardoor de prijsstijging wordt beperkt) en door hypotheek gedekte waardepapieren (huiseigenaren betalen hypotheken vervroegd af als de rente daalt, waardoor de looptijd van het effect wordt verkort, precies wanneer u het lang wilt hebben). Inverse floaters kunnen ook een negatieve convexiteit vertonen. Effecten met een negatieve convexiteit bieden doorgaans hogere rendementen om beleggers voor dit ongunstige kenmerk te compenseren.
Hoe wordt de looptijd gebruikt bij de immunisatie van obligatieportefeuilles?
Immunisatie is de strategie waarbij de looptijd van een portefeuille wordt afgestemd op de looptijd van de beoogde verplichtingen, zodat veranderingen in de rentetarieven zowel de activa als de verplichtingen in gelijke mate beïnvloeden, waardoor het financieringsoverschot ongewijzigd blijft. Een pensioenfonds met verplichtingen met een effectieve looptijd van twaalf jaar zou zich richten op een obligatieportefeuille met een gewijzigde looptijd van twaalf jaar. Wanneer de rente stijgt, dalen zowel de contante waarden van de activa als de contante waarden van de verplichtingen proportioneel, waardoor de dekkingsgraad ongeveer onveranderd blijft. Volledige immunisatie vereist ook een passende convexiteit: als de convexiteit van de activa groter is dan de convexiteit van de verplichtingen, is de portefeuille positief gepositioneerd (winst uit elke rendementsverandering). Liability-Driven Investment (LDI)-strategieën die door pensioenfondsen en verzekeringsmaatschappijen worden gebruikt, zijn op dit raamwerk gebouwd.
Wat is Dollar Duration (DV01) en hoe wordt het gebruikt?
Dollar Duration, gewoonlijk uitgedrukt als DV01 (Dollarwaarde van een Basispunt) of PVBP (Prijswaarde van een Basispunt), meet de verandering in de prijs van een obligatie in dollartermen voor een verandering van 1 basispunt (0,01%) in het rendement. DV01 = Gewijzigde looptijd × Obligatieprijs × 0,0001. Een obligatie met een gewijzigde looptijd van 8 en een prijs van $1.000.000 heeft bijvoorbeeld DV01 = 8 × $1.000.000 × 0,0001 = $800. DV01 wordt veelvuldig gebruikt door vastrentende handelaren en portefeuillebeheerders om posities te bepalen, hedgeratio's te berekenen en risico's in dollartermen te communiceren in plaats van in percentages - wat intuïtiever is voor grote portefeuilles en tradingdesks.
Hoe beïnvloedt de couponrente de looptijd?
Hogere couponrentes zorgen voor een kortere looptijd, en lagere (of nul) couponrentes zorgen voor een langere looptijd voor obligaties met dezelfde looptijd. Dit komt omdat hogere coupons betekenen dat de belegger een groter deel van de totale kasstromen eerder ontvangt (als tussentijdse couponbetalingen), waardoor de gewogen gemiddelde tijd tot kasstroomontvangst (Macaulay-duur) wordt verkort. Een obligatie met een hoge coupon is dus minder rentegevoelig dan een obligatie met een lage coupon en dezelfde looptijd. Deze relatie verklaart waarom nulcouponobligaties de maximaal mogelijke looptijd (gelijk aan de looptijd) hebben voor een gegeven looptijd en rendementsniveau.
Hoe beïnvloedt het rendementsniveau de duur en convexiteit?
Duur en convexiteit zijn beide gevoelig voor het heersende opbrengstniveau. Wanneer de rendementen laag zijn, is de looptijd over het algemeen hoger (omdat de discontovoeten laag zijn, waardoor kasstromen op afstand waardevoller worden) en is de convexiteit ook hoger. Wanneer de opbrengsten hoog zijn, is de looptijd lager en de convexiteit lager. Dit is met name relevant in de huidige omgeving waarin de rente aanzienlijk is gestegen vanaf een niveau van bijna nul. Portefeuilles die in de periode 2020-2021 een hoog looptijdrisico leken te hebben, hebben nu een lagere effectieve looptijd bij hogere rendementsniveaus. Deze rendementsafhankelijkheid betekent dat de looptijd opnieuw moet worden berekend wanneer de rendementen aanzienlijk veranderen, en dat statische duurschattingen snel verouderd kunnen raken in omgevingen met volatiele rentetarieven.
Veelgemaakte fouten om te vermijden
▾
- !Macaulay-duur (in jaren, op tijd gebaseerd) verwarren met gewijzigde duur (in jaren, maar eigenlijk een prijsgevoeligheidsmaatstaf) - ze hebben verschillende interpretaties en toepassingen.
- !Wanneer convexiteit bij grote rendementsbewegingen wordt genegeerd, wordt bij rendementsveranderingen van meer dan 50 basispunten de term convexiteit van wezenlijk belang en moet deze worden opgenomen in de schattingen van prijsveranderingen.
- !Ervan uitgaande dat de duur constant is: de duur verandert naarmate de rente verandert, de tijd verstrijkt en de kasstromen worden ontvangen; het moet regelmatig opnieuw worden berekend voor nauwkeurige monitoring van het portefeuillerisico.
- !Toepassing van Modified Duration op obligaties met ingebouwde opties (opvraagbaar, putbaar, door hypotheek gedekt) — voor deze effecten moet optie-aangepaste duur (OAD) of effectieve duur worden gebruikt.
- !Door alleen de looptijd te gebruiken om obligatieportefeuilles met verschillende convexiteitsprofielen te vergelijken: twee portefeuilles met een gelijke looptijd maar zeer verschillende convexiteit hebben aanzienlijk verschillende risicoprofielen in niet-lineaire renteomgevingen.
Pro Tip
Voor praktisch vastrentend risicobeheer kunt u Dollar Duration (DV01) gebruiken om risico's in monetaire termen weer te geven in plaats van in procenten. Een portefeuille met $5.000 DV01 verandert in waarde met $5.000 voor elke basispuntverandering in de rente – onmiddellijk interpreteerbaar door handelaars, risicomanagers en portefeuillemanagers.
Wist je dat?
Het artikel uit 1938 van Frederick Macaulay, waarin Macaulay Duration werd geïntroduceerd, maakte deel uit van een baanbrekend onderzoek in opdracht van het National Bureau of Economic Research naar de Amerikaanse rentetarieven die meer dan een eeuw besloeg. Het duurconcept werd bijna drie decennia lang grotendeels genegeerd, totdat de immunisatietheorie in de jaren zestig en zeventig de belangstelling ervoor deed herleven.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Referenties
- ›Macaulay, FR (1938). Enkele theoretische problemen die worden gesuggereerd door de bewegingen van de rentetarieven. NBER.
- ›Investopedia: duurdefinitie en typen
- ›CFA Institute: Risico en rendement op vastrentende waarden
- ›Fabozzi, FJ (2012). Obligatiemarkten, analyse en strategieën (8e ed.). Prentice Hall.
Ontvang wekelijkse wiskundetips
Sluit u aan bij 12.000+ abonnees die elke week rekenmachinetips krijgen.