Wat is Kelly Criterion Calculator?
▾
Het Kelly Criterium is een wiskundige formule die bepaalt welk deel van een bankroll of portefeuille optimaal is om aan een gunstige weddenschap of investering toe te wijzen, om zo de logaritmische groei van rijkdom op lange termijn te maximaliseren. Ontwikkeld door John L. Kelly Jr. bij Bell Labs in 1956 in de context van de informatietheorie, en onafhankelijk toegepast op gokken en beleggen, produceert de Kelly-formule het hoogste samengestelde groeipercentage op lange termijn van alle gokstrategieën met vaste fracties, terwijl ervoor wordt gezorgd dat de kans op ondergang theoretisch nul is (met continu wedden op gunstige kansen). Voor een eenvoudige binaire weddenschap met de kans p om te winnen (en de kans q = 1−p om te verliezen), waarbij een overwinning odds b oplevert (winst b dollar voor elke dollarinzet), is de optimale Kelly-fractie: f* = (bp − q) / b = p − q/b. Deze fractie is de verwachte waarde van de weddenschap, uitgedrukt als een fractie van de bankroll. Meer inzetten dan f* (overbetten) vermindert de samengestelde groei en vergroot het risico op ruïneren; minder inzetten dan f* (onderbetting) is veilig, maar vanuit een groeiperspectief op de lange termijn niet optimaal. Voor continue beleggingen (aandelen, portefeuilles) strekt de Kelly-formule zich uit tot: f* = (μ − r) / σ², waarbij μ het verwachte rendement is, r de risicovrije rente is en σ² de rendementsvariantie is. Dit resultaat houdt rechtstreeks verband met de Sharpe-ratio: f* = Sharpe-ratio / σ, wat betekent dat de optimale hefboomwerking van Kelly de Sharpe-ratio is gedeeld door de volatiliteit. Voor een typische gediversifieerde aandelenportefeuille met Sharpe=0,5 en σ=15% suggereert Kelly een allocatie van 0,5/0,15 = 333% – ver boven de 100%, wat wijst op een theoretische hefboomwerking. In de praktijk wordt de volledige Kelly-fractie zelden gebruikt omdat: (1) real-world edge- en waarschijnlijkheidsschattingen aanzienlijke onzekerheid bevatten, waardoor de werkelijke edge kleiner is dan geschat (fractionele Kelly van 25-50% is gebruikelijk); (2) volledige Kelly leidt tot ernstige opnames – de verwachte maximale opname vóór verdubbeling bedraagt ongeveer 50% van de rijkdom; (3) de meeste beleggers beschikken over nutsfuncties die grote verliezen meer benadelen dan logaritmisch nut impliceert. Half-Kelly- of kwart-Kelly-strategieën bereiken 75% of 50% van Kelly's groeipercentage op de lange termijn, terwijl de drawdown en variantie van de uitkomsten dramatisch worden verminderd. Het Kelly Criterion wordt veel gebruikt bij sportweddenschappen, poker (professionele spelers gebruiken het expliciet voor bankrollbeheer), grondstoffenhandel en kwantitatief beleggingsbeheer. Legendarische investeerders Warren Buffett en Charlie Munger hebben beleggingsbenaderingen beschreven die consistent zijn met de Kelly-principes, en het criterium ligt ten grondslag aan het baanbrekende werk van Edward Thorp op het gebied van zowel het tellen van blackjackkaarten als het kwantitatieve beheer van hedgefondsen.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Formule
▾
Kelly-fractie (binair): f* = (b×p − q) / b = p − (1−p)/b
Kelly-fractie (continu): f* = (μ − r) / σ²
Groeisnelheid: g = p × ln(1 + b×f*) + (1−p) × ln(1 − f*)Variabele uitleg
▾
| Symbool | Naam | Eenheid | Beschrijving |
|---|---|---|---|
| f* | Kelly-fractie | % | Optimaal deel van de bankroll om in te zetten of te investeren; maximaliseert logaritmische welvaartsgroei op lange termijn. |
| p | Kans op winst | % | Geschatte waarschijnlijkheid van een gunstig resultaat; moet de break-even-waarschijnlijkheid (1/(1+b)) voor een positieve flank overschrijden. |
| b | Netto oddsratio | ratio | Nettowinst per ingezette eenheid bij winst: als u €3 per inzet van €1 wint, b=3. Moet positief zijn voor een potentiële weddenschap. |
| EV | Verwachte waarde | USD | Verwachte winst per eenheid: EV = (p × b) − (1−p). Positieve EV is noodzakelijk (maar niet voldoende) voor Kelly om een weddenschap aan te bevelen. |
| g | Groeisnelheid | %/round | Samengestelde groeisnelheid op lange termijn per inzetronde bij Kelly-fractie: g = p × ln(1+b×f*) + (1−p) × ln(1−f*). |
Hoe Kelly Criterion Calculator
▾
- 1Schat de waarschijnlijkheid p van een gunstig resultaat (op basis van historische gegevens, modellen of randanalyses).
- 2Bepaal de odds b: nettowinst per ingezette eenheid bij succes.
- 3Controleer de positieve verwachte waarde: EV = b×p − (1−p) > 0. Als EV ≤ 0, gok dan niet (f* ≤ 0 betekent dat Kelly geen weddenschap aanbeveelt).
- 4Bereken de Kelly-fractie: f* = (b×p − (1−p)) / b.
- 5Pas indien gewenst fractionele Kelly toe: doorgaans f = 0,25 × f* tot 0,5 × f* voor conservatiever kapitaalbeheer.
- 6Grootte van de weddenschap: Inzetbedrag = f* × Totale bankroll.
- 7Herbereken na elke weddenschap naarmate de bankrollgrootte verandert. Kelly is een dynamische strategie waarbij weddenschappen evenredig zijn aan de huidige rijkdom.
Uitgewerkte voorbeelden
▾
Slechts 10% van de bankroll ondanks een winstpercentage van 55% – Kelly is conservatief
f* = (1,0 × 0,55 − 0,45) / 1,0 = (0,55 − 0,45) = 0,10 = 10%. Inzetbedrag = 10% × €10.000 = €1.000. Verwachte waarde per weddenschap = (0,55 × $1.000) − (0,45 × $1.000) = $550 − $450 = $100. Deze relatief kleine fractie (10%), ondanks een ogenschijnlijk grote voorsprong (55% versus een redelijke 50%) weerspiegelt Kelly's conservatisme. Door de volledige $10.000 (100%) in te zetten zou de verwachte waarde per weddenschap worden gemaximaliseerd, maar zou het risico lopen dat de weddenschap wordt geruïneerd; een reeks van tien opeenvolgende verliezen (waarschijnlijkheid ≈ 0,3%) zou de bankroll wegvagen. Kelly's fractie van 10% maakt de groei op de lange termijn optimaal, terwijl een ondergang buitengewoon onwaarschijnlijk wordt gemaakt.
Een hoge variantie van poker vereist veel buy-ins, zelfs met een positief voordeel
Bij poker is de Kelly-gerelateerde formule voor ruïneringsrisico: P(ruïne) = e^(−2×W×B/V), waarbij W=winstpercentage per hand, B=bankroll bij grote blinds, V=variantie per hand. Met een winstpercentage van 55bb/100 = 0,55bb/hand, variantie = 100²/100 = 100 bb²/hand, en bankroll B = 30 buy-ins × 100bb = 3.000bb: P(ruïne) = e^(−2×0,0055×3000/100) = e^(−0,33) = 72% — verschrikkelijk! Professionele pokerspelers gebruiken minimaal 30-50 buy-ins. Bij 50 buy-ins (5.000bb): P(ruïne) = e^(−0,55) = 58% — nog steeds hoog. Kelly's analyse laat zien dat de hoge variantie van poker zeer grote bankrolls vereist, zelfs voor winnende spelers.
Full Kelly is extreem agressief; de meeste beoefenaars gebruiken 25-50% Kelly
f* = (μ − r) / σ² = (0,10 − 0,05) / (0,20²) = 0,05 / 0,04 = 1,25 = 125%. Full Kelly beveelt een aandelenallocatie van 125% aan (25% lenen om te investeren). Dit is de optimale portefeuillefractie van Merton onder logaritmisch nut. In de praktijk zijn de werkelijke Sharpe-ratio en σ onzeker (schattingsfout), dus de werkelijke voorsprong is kleiner dan geschat. Het gebruik van een halve Kelly-fractie van 62,5% zou grofweg 75% van het maximale groeipercentage bereiken, terwijl het risico op kredietverlies dramatisch zou worden verminderd. Professionele kwantitatieve fondsen gebruiken doorgaans 20-50% van de theoretische Kelly om rekening te houden met schattingsonzekerheden.
Multi-asset Kelly gebruikt matrixbewerkingen op de covariantiematrix
Kelly met meerdere activa: f* = Σ⁻¹ × α (alfavector), waarbij Σ de covariantiematrix is en α de vector van overtollige rendementen. Asset A heeft Sharpe 1.0 en een relatief laag volume: Kelly wijst zwaar toe. Activa B heeft een lagere Sharpe- en een hogere vol- en kleinere Kelly-allocatie. De positieve correlatie vermindert de totale portefeuilleallocatie versus het niet-gecorreleerde geval (waarbij f_total = 55% + 25% = 80%). Praktische implementatierondes en beperkingen: een long-only fonds zou na normalisatie ongeveer 80% A en 20% B op portefeuilleniveau toewijzen. Het multi-asset Kelly maximaliseert het langetermijngroeipercentage van de portefeuille, gezien de gezamenlijke verdeling van de rendementen.
Praktische toepassingen
▾
Bankrollbeheer voor sportweddenschappen voor professionele gokkers
Selectie van pokerspelers en bankrollbeheer
Kwantitatieve modellen voor het bepalen van de positie van hedgefondsen
Allocatie van durfkapitaalportefeuilles over investeringsmogelijkheden
Kapitaalallocatie van handelsalgoritmen over gelijktijdige strategieën
Bijzondere gevallen
▾
In de praktijk vereist dit randgeval een zorgvuldige afweging, omdat standaardaannames mogelijk niet opgaan. Wanneer dit scenario wordt aangetroffen bij berekeningen van de Kelly Criterium Calculator, moeten praktijkmensen de randvoorwaarden verifiëren, controleren op risico's van delen door nul en overwegen of de aannames van het model onder deze extreme omstandigheden geldig blijven.
In de praktijk vereist dit randgeval een zorgvuldige afweging, omdat standaardaannames mogelijk niet opgaan. Wanneer dit scenario wordt aangetroffen bij berekeningen van de Kelly Criterium Calculator, moeten praktijkmensen de randvoorwaarden verifiëren, controleren op risico's van delen door nul en overwegen of de aannames van het model onder deze extreme omstandigheden geldig blijven.
In de praktijk vereist dit randgeval een zorgvuldige afweging, omdat standaardaannames mogelijk niet opgaan. Wanneer dit scenario wordt aangetroffen bij berekeningen van de Kelly Criterium Calculator, moeten praktijkmensen de randvoorwaarden verifiëren, controleren op risico's van delen door nul en overwegen of de aannames van het model onder deze extreme omstandigheden geldig blijven.
Kelly-fractie versus lange termijn groei-afweging
▾
| Kelly Meerdere | Groeipercentage (% van Kelly) | Ernst van de drawdown | Typische gebruiker |
|---|---|---|---|
| Volledige Kelly (1,0×) | 100% | Ernstig (~50% verwachte maximale DD) | Theoretisch optimaal |
| Halve Kelly (0,5×) | 75% | Matig (~25% max. DD) | Agressieve kwantitatieve fondsen |
| Kwart Kelly (0,25×) | 44% | Mild (~12% max. DD) | Conservatieve beoefenaars |
| 10e Kelly (0,1 ×) | 19% | Zeer laag (~5% max. DD) | Risicomijdend risicobeheer |
| 2× Kelly (overbetten) | 0% | Extreem – trend tot ondergang | Gevarenzone – vermijd |
| 3× Kelly (overbetten) | Negatief | Bijna zekere uiteindelijke ondergang | Catastrofaal |
Veelgestelde vragen
▾
Waarom wordt volledige Kelly in de praktijk zelden gebruikt?
Full Kelly maximaliseert de logaritmische groei op lange termijn, maar produceert een zeer agressieve positiebepaling en ernstige drawdowns. De verwachte maximale opname voordat de rijkdom verdubbelt, bedraagt ongeveer 50% van de huidige rijkdom – wat betekent dat u op een bepaald moment de helft van uw geld moet verliezen voordat u verdubbelt. De meeste beleggers hebben nutsfuncties die meer risicomijdend dan logaritmisch zijn, waardoor grote verliezen zwaarder worden bestraft. Bovendien zijn schattingen van de reële voorsprong onzeker: als uw werkelijke voorsprong de helft is van uw geschatte voorsprong, wordt volledige Kelly een aanzienlijke overbetting. Half-Kelly behaalt ongeveer 75% van Kelly's groeipercentage met veel lagere variantie en maximale drawdown. Professionele kwantitatieve fondsen gebruiken doorgaans 20 tot 50% van Kelly.
Wat is de relatie tussen Kelly Criterion en de Sharpe-ratio?
Voor een continue investering met normaal verdeelde rendementen is de optimale hefboomwerking van Kelly: f* = Sharpe Ratio / σ = (μ − r) / σ². Dit betekent dat de Kelly-fractie toeneemt met de Sharpe-ratio (een hogere rand rechtvaardigt een grotere omvang) en afneemt met de volatiliteit (een hogere vola betekent meer variantierisico). Het maximale langetermijngroeipercentage (Kelly-groei) is gelijk aan de risicovrije rente plus (Sharpe²)/2 – dus de Kelly-groei is recht evenredig met het kwadraat van de Sharpe-ratio. Deze relatie is de reden waarom de Sharpe-ratio de allerbelangrijkste maatstaf is voor Kelly-optimale beleggers: een strategie met tweemaal de Sharpe-ratio behaalt vier keer de incrementele groei.
Kan het Kelly-criterium tot een ondergang leiden?
Theoretisch gezien heeft het Kelly-criterium op de lange termijn geen kans op ondergang voor een gunstige weddenschap met continue positieve waarschijnlijkheidsresultaten (de geometrische willekeurige wandeling convergeert vrijwel zeker naar oneindig). In de praktijk bestaat er echter een ruïnerisico als gevolg van: (1) discrete (niet oneindig deelbare) weddenschappen die de Kelly-fractie in relatieve termen kunnen overschrijden; (2) modelfout — de werkelijke waarschijnlijkheid en kansen kunnen minder gunstig zijn dan geschat; (3) streak-risico - met volledige Kelly veroorzaken lange verliezende streaks extreme drawdowns, zelfs zonder ruïne; (4) hefboomwerking – als de Kelly-fractie de 100% overschrijdt (zoals bij aandelenmarkttoepassingen), creëren geleende fondsen een beperkte mogelijkheid tot ondergang. Om al deze risico’s te beheersen, wordt in de praktijk de voorkeur gegeven aan fractionele Kelly-strategieën.
Hoe gaat het Kelly Criterion om met gecorreleerde weddenschappen?
Voor een enkele weddenschap is Kelly eenvoudig. Voor een portefeuille met gelijktijdig actieve weddenschappen of beleggingen gebruikt de multi-asset Kelly matrixalgebra: f* = Σ⁻¹ × α, waarbij Σ de covariantiematrix van rendementen is en α de vector is van verwachte extra rendementen. Positief gecorreleerde weddenschappen verminderen de totale Kelly-allocatie in vergelijking met niet-gecorreleerde weddenschappen. De portefeuillebeheerder moet de omvang verkleinen wanneer weddenschappen gecorreleerd zijn, omdat correlatie het drawdown-risico vergroot. Negatief gecorreleerde weddenschappen maken een grotere totale toewijzing mogelijk. Dit is de wiskundige basis waarom diversificatie (negatieve/lage correlatie tussen posities) een grotere totale kapitaalinzet mogelijk maakt zonder de veiligheid op te offeren.
Wat is de 'fractionele Kelly'-strategie?
Fractionele Kelly zet een vast deel van het volledige Kelly-bedrag in – doorgaans 25% (kwart-Kelly) tot 50% (halve Kelly). Half-Kelly behaalt ongeveer 75% van het maximale langetermijngroeipercentage, terwijl: (1) de portefeuillevariantie wordt teruggebracht tot 25% van de Kelly-variantie; (2) halvering van de maximale verwachte opname; (3) het verschaffen van een substantiële buffer tegen schattingsfouten in rand en waarschijnlijkheid. De relatie is kwadratisch: weddenschappen op fractie c van Kelly bereiken een c(2−c) fractie van Kelly's maximale groeipercentage (altijd minder dan 100%), dus de groeistraf van onderbezetting is veel kleiner dan het voordeel van variantiereductie. Deze asymmetrie verklaart waarom fractionele Kelly de volledige Kelly domineert op het gebied van praktisch risicobeheer.
Wie gebruikt het Kelly Criterium professioneel?
Het Kelly Criterium is expliciet overgenomen of beïnvloed door verschillende legendarische investeringscarrières. Edward Thorp – een wiskundeprofessor die het kaarten tellen bij blackjack uitvond – paste Kelly rigoureus toe op zowel gokken (gedocumenteerd in Beat the Dealer) als zijn hedgefonds Princeton/Newport Partners, dat hij 19 jaar lang leidde met uitzonderlijke, voor risico gecorrigeerde rendementen. De geconcentreerde filosofie van Warren Buffett weerspiegelt de filosofie van Kelly: maak grote weddenschappen als je een hoge overtuigingskracht en een echte voorsprong hebt. Professionele sportgokkers en pokerspelers gebruiken Kelly expliciet voor bankrollbeheer. Kwantitatieve hedgefondsen zoals Renaissance Technologies gebruiken impliciet Kelly-gerelateerde optimale fractie-concepten in hun systematische handelsstrategieën.
Wat is het gevaar van 'overbetten' bij Kelly?
Overinzetten – meer inzetten dan de Kelly-fractie – is slechter dan onderinzetten, zowel vanuit het perspectief van de groeisnelheid als de waarschijnlijkheid van de ondergang. Bij precies 2× Kelly (dubbele Kelly) daalt het groeipercentage op de lange termijn naar nul – de accountwaarde schommelt rond een niveau zonder te groeien. Boven 2x Kelly wordt het groeipercentage negatief: het is vrijwel zeker dat de rekening uiteindelijk alle waarde zal verliezen. Deze grimmige asymmetrie (onderbetting is slechts suboptimaal, overbetting kan catastrofaal zijn) maakt Kelly tot een belangrijke bovengrens voor de positiegrootte. In de praktijk geldt dat wanneer een model een Kelly-fractie suggereert die zeer dicht bij of boven de 100% ligt, dit als een signaal moet worden beschouwd om agressief een fractionele Kelly-factor toe te passen vanwege het verhoogde overbetting-risico.
Veelgemaakte fouten om te vermijden
▾
- !Gebruik volledige Kelly zonder rekening te houden met schattingsonzekerheid in rand en waarschijnlijkheid - pas altijd fractionele Kelly (25-50%) toe in echte toepassingen.
- !Het negeren van de correlatiestructuur bij het bepalen van de grootte van meerdere gelijktijdige posities – gecorreleerde weddenschappen vereisen kleinere individuele Kelly-fracties.
- !Kelly toepassen op weddenschappen met een negatieve verwachte waarde — Kelly levert in deze gevallen correct f* ≤ 0 op (geen weddenschap).
- !Kelly behandelen als een vaste regel voor de omvang van de weddenschappen: deze moet elke keer worden toegepast op de huidige rijkdom, waarbij de weddenschappen proportioneel worden verminderd naarmate de rijkdom daalt.
- !Ervan uitgaande dat Kelly het maximaal verwachte dollarrendement behaalt, maximaliseert dit de logaritmische (geometrische) groei, en niet het rekenkundig verwachte rendement.
Pro Tip
Voer een Monte Carlo-simulatie uit van 1.000 paden over 100 weddenschappen met volledige Kelly, halve Kelly en kwart Kelly. De verdeling van de uiteindelijke welvaartsresultaten demonstreert op visuele wijze zowel de superieure centrale tendens van Kelly als de catastrofale keerzijde van overbetting – veel overtuigender dan formules alleen.
Wist je dat?
John Kelly jr. publiceerde zijn criterium in een artikel uit 1956 in het Bell System Technical Journal met de titel 'A New Interpretation of Information Rate', waarbij hij het resultaat formuleerde in termen van informatietheorie en communicatiekanaalcapaciteit - en niet van gokken. De krant maakte helemaal geen melding van gokken. Ed Thorp herkende de toepassing ervan op blackjack en later op de aandelenmarkt, waardoor Kelly effectief werd vertaald van de informatietheorie naar praktisch beleggingsbeheer.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Referenties
- ›Kelly, JL (1956): Een nieuwe interpretatie van informatiesnelheid, Bell System Technical Journal
- ›Thorp, E.O. (2006): Het Kelly-criterium in blackjack, sportweddenschappen en de aandelenmarkt
- ›MacLean, Thorp & Ziemba: het Kelly Capital Growth-investeringscriterium, World Scientific
- ›Investopedia: Kelly Criteriumdefinitie
Ontvang wekelijkse wiskundetips
Sluit u aan bij 12.000+ abonnees die elke week rekenmachinetips krijgen.