Standardavvik er det mest brukte spredningsmålet i statistikk. Den forteller deg hvor spredte verdier er rundt gjennomsnittet. Denne veiledningen forklarer det fra de første prinsippene med utførte eksempler.
Hva standardavvik forteller deg
Middelet forteller deg midten av et datasett. Standardavvik forteller deg hvor langt verdier vanligvis avviker fra det senteret.
Lavt standardavvik → verdier samlet tett rundt gjennomsnittet Høyt standardavvik → verdier spredt mye fra gjennomsnittet
To eksamensklasser har begge et gjennomsnitt på 70 %, men:
- Klasse A: score på 68, 69, 70, 71, 72 - SD ≈ 1,4 (veldig konsekvent)
- Klasse B: score på 40, 55, 70, 85, 100 – SD ≈ 22,4 (svært variabel)
Samme gjennomsnitt, veldig forskjellige distribusjoner.
Formelen
Det er to versjoner avhengig av om du har hele populasjonen eller et utvalg.
Populasjonsstandardavvik (σ)
Bruk når du har data for hvert medlem av gruppen.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
Eksempel på standardavvik (er)
Bruk når dataene dine er et utvalg fra en større populasjon (det vanligste tilfellet).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
Nevneren er n − 1 (ikke n) for å korrigere for skjevheten som kommer fra å estimere en populasjonsparameter fra et utvalg. Dette kalles Bessels korreksjon.
Trinn-for-trinn-beregning
Datasett: Testresultater for 6 elever: 72, 85, 68, 91, 74, 80
Trinn 1: Finn gjennomsnittet
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
Trinn 2: Finn hvert avvik fra gjennomsnittet
| Score | Avvik (x − x̄) | Kvadratavvik |
|---|---|---|
| 72 | −6.33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −10.33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | −4.33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
Trinn 3: Sum de kvadrerte avvikene
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
Trinn 4: Del med n − 1 (eksempel)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
Trinn 5: Ta kvadratroten
s = √(74.67) = 8.64
Standardavviket er 8,64 poeng. En typisk studentpoengsum er omtrent 8–9 poeng unna klassegjennomsnittet.
68-95-99.7-regelen
For normalfordelte data (klokkekurve) har standardavvik et forutsigbart forhold til spredningen:
- 68 % av verdiene faller innenfor 1 SD av gjennomsnittet
- 95 % av verdiene faller innenfor 2 SD av gjennomsnittet
- 99,7 % av verdiene faller innenfor 3 SD av gjennomsnittet
Anvendt på vårt eksempel (gjennomsnitt = 78,33, SD = 8,64):
- 68 % av poengsummene: 78,33 ± 8,64 → 69,7 til 86,97
- 95 % av poengsummene: 78,33 ± 17,28 → 61,05 til 95,61
- 99,7 % av skårene: 78,33 ± 25,92 → 52,41 til 104,25
Varians vs standardavvik
Varians er kvadratisk standardavvik: s² = 74,67 i vårt eksempel.
Hvorfor bruke standardavvik i stedet for varians?
- Standardavvik er i samme enheter som dataene dine (poeng, dollar, meter)
- Varians er i kvadratiske enheter - vanskeligere å tolke praktisk
- "Den gjennomsnittlige poengsummen avvek med 8,64 poeng" er meningsfylt; "variansen var 74,67 poeng²" er det ikke
Virkelige bruksområder
Finans: En aksje med daglig avkastning på gjennomsnittlig 0,05 % og SD på 1,2 % er mye mer risikofylt enn en aksje med samme gjennomsnittlige avkastning og SD på 0,3 %. Standardavvik er grunnlaget for volatilitetsmåling.
Produksjon: En fabrikk som produserer bolter med en måldiameter på 10 mm og SD på 0,02 mm er langt mer konsistent enn en med SD på 0,5 mm. Kvalitetskontroll er avhengig av SD.
Medisin: Kliniske studier rapporterer SD sammen med midler for å vise hvor konsekvent en behandling fungerte på tvers av pasienter.
Vær: «Gjennomsnittstemperatur 18°C med SD 4°C» forteller deg mye mer enn gjennomsnittet alene – du vet hva du skal pakke.
Z-score
En z-score konverterer enhver verdi til standardavviksenheter, noe som muliggjør sammenligning på tvers av forskjellige datasett:
z = /x - x̄s
En student som scoret 91 i vårt eksempel:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
Denne poengsummen er 1,47 standardavvik over gjennomsnittet - bedre enn omtrent 93% av klassen.
Beregn standardavvik nå
Statistikkkalkulatoren vår beregner standardavvik, varians, gjennomsnitt, median, modus og mer fra ethvert datasett du legger inn. Lim inn tallene dine og få fulle resultater umiddelbart.