Czym jest Yield to Maturity Calculator?
▾
Yield to Maturity (YTM) to całkowity roczny zwrot, jaki uzyskałby inwestor, gdyby kupił obligację po aktualnej cenie rynkowej i trzymał ją do terminu zapadalności obligacji, przy założeniu, że wszystkie płatności kuponowe zostaną ponownie zainwestowane z tą samą stopą zwrotu. YTM to odpowiednik wewnętrznej stopy zwrotu (IRR) obligacji – jest to stopa dyskontowa, która sprawia, że wartość bieżąca wszystkich przyszłych przepływów pieniężnych (kuponów plus spłata kapitału) jest równa bieżącej cenie rynkowej obligacji. YTM jest najbardziej wszechstronną miarą rentowności obligacji, ponieważ uwzględnia trzy źródła zwrotu: (1) dochód z kuponów otrzymywany okresowo, (2) wszelkie zyski lub straty kapitałowe pomiędzy ceną zakupu a wartością nominalną otrzymaną w terminie zapadalności (np. jeśli kupujesz obligację po 950 USD, ale w terminie zapadalności otrzymasz 1000 USD, różnica 50 USD dodaje się do zwrotu) oraz (3) dochód z reinwestycji uzyskany dzięki inwestowaniu otrzymanych kuponów po stawce YTM. Ponieważ YTM zakłada reinwestycję kuponów przy tej samej stopie zwrotu, jest to miara hipotetyczna – rzeczywisty zrealizowany zwrot będzie się różnić, jeśli stopy reinwestycji zmienią się w ciągu życia obligacji. YTM jest zawsze kwotowany w ujęciu rocznym, nawet jeśli obligacje wypłacają kupony częściej. W przypadku półrocznych obligacji kuponowych (konwencja amerykańska) YTM jest kwotowany jako rentowność ekwiwalentu obligacji (BEY) – dwukrotność półrocznej stopy okresowej. Umożliwia to bezpośrednie porównanie obligacji o różnych częstotliwościach kuponów. Zależność między ceną a YTM jest odwrotna: gdy cena rynkowa obligacji wzrasta powyżej jej wartości nominalnej (obligacja premium), jej YTM jest poniżej stopy kuponu; gdy cena spadnie poniżej wartości nominalnej (bon dyskontowy), YTM przekracza stopę kuponu. Przy wartości nominalnej YTM jest dokładnie równy stopie kuponu. Ta odwrotna zależność jest podstawową zasadą inwestowania w instrumenty o stałym dochodzie i wyjaśnia, dlaczego ceny obligacji spadają wraz ze wzrostem stóp procentowych i odwrotnie. YTM służy jako podstawa do: wyceny i porównania obligacji, konstrukcji krzywej dochodowości, analizy spreadu kredytowego (YTM minus YTM Treasury), obliczenia duracji i szacowania kosztu długu w finansach przedsiębiorstw (stosowanego w obliczeniach WACC). Zrozumienie YTM jest niezbędne dla wszystkich uczestników rynków instrumentów o stałym dochodzie.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Wzór
▾
P = Σ [C / (1 + YTM/m)^t] + F / (1 + YTM/m)^n
(Rozwiązywane iteracyjnie dla YTM; przybliżenie: YTM ≈ [C + (F−P)/n] / [(F+P)/2])Opis zmiennych
▾
| Symbol | Imię | Jednostka | Opis |
|---|---|---|---|
| YTM | Poddaj się dojrzałości | % per year | Roczna stopa dyskontowa, która zrównuje bieżącą wartość wszystkich przyszłych przepływów pieniężnych z bieżącą ceną rynkową obligacji. |
| P | Aktualna cena obligacji | currency | Dzisiejsza cena rynkowa obligacji (co inwestor płaci za zakup obligacji). |
| C | Płatność kuponem | currency per period | Okresowa wypłata odsetek: C = wartość nominalna × roczna stopa kuponu / częstotliwość kuponu. |
| F | Wartość nominalna (wartość nominalna) | currency | Kwota główna spłacana w terminie zapadalności, zazwyczaj 1000 USD w przypadku amerykańskich obligacji skarbowych i korporacyjnych. |
| n | Liczba okresów | count | Całkowita liczba okresów kuponowych pozostałych do terminu zapadalności (np. 20 okresów w przypadku 10-letniej obligacji półrocznej). |
| t | Numer okresu | count | Indeks czasowy każdej płatności kuponowej, od 1 do n; użyte we wzorze na sumowanie wartości bieżącej. |
Jak Yield to Maturity Calculator
▾
- 1Zidentyfikuj kluczowe parametry obligacji: aktualna cena rynkowa (P), wartość nominalna (F), roczna stopa kuponu, częstotliwość kuponu (m) i lata pozostałe do zapadalności.
- 2Oblicz okresową wypłatę kuponu: C = F × (Roczna stopa kuponu / m). W przypadku obligacji o wartości 1000 USD z 5% kuponem rocznym płatnym co pół roku: C = 1000 USD × 0,05/2 = 25 USD za okres.
- 3Określ całkowitą liczbę okresów kuponu: n = lata do terminu zapadalności × m. Obligacja półroczna 10-letnia ma n = 20 okresów.
- 4Ułóż równanie YTM: P = Σ [C / (1+r)^t] dla t=1 do n plus F/(1+r)^n, gdzie r = YTM/m (wydajność okresowa). Równanie to nie ma rozwiązania zamkniętego i należy je rozwiązać numerycznie.
- 5Użyj metody iteracyjnej (Newtona-Raphsona, bisekcji lub kalkulatora finansowego), aby znaleźć wartość r spełniającą równanie. Zacznij od wstępnego przypuszczenia (np. stopy kuponu), oblicz cenę implikowaną, porównaj z ceną rzeczywistą i odpowiednio dostosuj r aż do uzyskania zbieżności.
- 6Przelicz rentowność okresową na roczną YTM: YTM = r × m (konwencja dotycząca rentowności ekwiwalentu obligacji dla rynku amerykańskiego). Dla okresów miesięcznych (m=12) YTM = r × 12.
- 7Zinterpretuj YTM: porównaj z dominującą rentownością obligacji skarbowych (w celu obliczenia spreadu kredytowego), stopą kuponu (czy obrót obligacjami odbywa się z premią, dyskontem czy wartością nominalną?) oraz z rentownością porównywalnych obligacji (w celu analizy wartości względnej).
Rozwiązane przykłady
▾
Gdy cena jest równa cenie nominalnej, YTM zawsze jest równe stopie kuponu.
Kiedy obligacja jest przedmiotem obrotu po jej wartości nominalnej (par), w terminie zapadalności nie występuje żaden zysk ani strata kapitałowa – jedynie dochód z kuponów. Dlatego YTM jest dokładnie równe stopie kuponu wynoszącej 4,50%. Jest to tożsamość matematyczna: wstawienie P = F do wzoru YTM zawsze daje YTM = stopa kuponu. Inwestor kupujący ten 10-letni papier skarbowy po cenie nominalnej uzyskuje 4,50% rocznego zwrotu z samego dochodu z kuponów, przy założeniu reinwestycji na poziomie 4,50%. Ta zależność jest najprostszym przypadkiem i zapewnia intuicyjną kontrolę wszelkich obliczeń YTM.
Obligacja dyskontowa: YTM przekracza stopę kuponu ze względu na zysk kapitałowy w terminie zapadalności.
Wartość tej obligacji korporacyjnej wynosi 920 USD, czyli poniżej jej wartości nominalnej wynoszącej 1000 USD (obligacja dyskontowa). Inwestor otrzymuje półroczne kupony o wartości 25 USD plus zysk kapitałowy w wysokości 80 USD w terminie zapadalności (1000–920 USD). Zarówno dochód kuponowy, jak i zysk kapitałowy przyczyniają się do YTM, spychając go powyżej stopy kuponowej wynoszącej 5,0%. YTM wynoszący 6,22% oznacza całkowity roczny zwrot z połączenia obu źródeł. Dyskonto prawdopodobnie odzwierciedla albo wzrost rynkowych stóp procentowych od czasu emisji obligacji, albo pogorszenie jakości kredytowej emitenta, albo jedno i drugie. Spread kredytowy w porównaniu do porównywalnego instrumentu skarbowego wynosi około 6,22% − 4,50% = 172 punkty bazowe.
Obligacja premium: YTM poniżej stopy kuponu ze względu na stratę kapitału w terminie zapadalności.
Obrót obligacjami komunalnymi po cenie 1080 USD spowoduje stratę kapitałową w wysokości 80 USD (1080–1000 USD) w terminie zapadalności. Ta strata kapitałowa częściowo kompensuje wyższy kupon wynoszący 6%, co daje YTM na poziomie 4,28% – poniżej stopy kuponu. Obligacje premium notowane są powyżej wartości nominalnej, gdy dominujące rentowności rynkowe spadły od czasu emisji obligacji lub gdy obligacja ma wyższą jakość kredytową. W przypadku obligacji komunalnych ekwiwalent podatkowy YTM jest wyższy niż nominalny YTM: dla inwestora w przedziale podatkowym 32%, 4,28% wolne od podatku ≈ 6,29% równoważnego dochodu podlegającego opodatkowaniu, co czyni tę obligację konkurencyjną w stosunku do obligacji podlegających opodatkowaniu o wyższej stopie zwrotu.
Cały zwrot pochodzi ze wzrostu wartości kapitału – bez ryzyka reinwestycji.
Obligacja zerokuponowa nie daje kuponów – cały zwrot pochodzi z różnicy między ceną zakupu (620,92 USD) a wartością nominalną (1000 USD) otrzymaną w terminie zapadalności. YTM wynoszący 4,77% oblicza się bezpośrednio: (1000/620,92)^(1/10) - 1 = 4,77% rocznie. Obligacje zerokuponowe nie wiążą się z ryzykiem reinwestycji – to kluczowa zaleta – ponieważ nie ma pośrednich przepływów pieniężnych do reinwestycji. YTM obligacji zerokuponowej to gwarantowany roczny zwrot w przypadku utrzymywania obligacji do terminu zapadalności, niezależnie od tego, gdzie zmienią się stopy reinwestycji w okresie utrzymywania. Dzięki temu idealnie nadają się do zaspokajania konkretnych przyszłych potrzeb w zakresie przepływów pieniężnych.
Zastosowania praktyczne
▾
Wycena obligacji i wybór inwestycji: porównywanie YTM różnych obligacji w celu określenia możliwości względnej wartości, gdzie dokładna analiza rentowności do terminu zapadalności za pomocą Yield To Maturity wspiera podejmowanie decyzji w oparciu o dowody i rygor ilościowy w profesjonalnych przepływach pracy
Finanse przedsiębiorstw: szacowanie kosztów zadłużenia przy użyciu YTM pozostających do spłaty obligacji jako danych wejściowych do WACC, gdzie dokładna analiza rentowności do terminu zapadalności za pomocą Yield To Maturity wspiera podejmowanie decyzji w oparciu o dowody i rygor ilościowy w profesjonalnych przepływach pracy
Konstrukcja krzywej dochodowości: pobieranie rentowności zerokuponowych z YTM obligacji kuponowych na potrzeby wyceny instrumentów pochodnych, gdzie dokładna analiza rentowności do terminu zapadalności za pomocą Yield To Maturity wspiera podejmowanie decyzji w oparciu o dowody i rygor ilościowy w profesjonalnych przepływach pracy
Analiza kredytowa: obliczanie spreadów kredytowych dla obligacji skarbowych w celu oceny względnej rekompensaty za ryzyko kredytowe, przy czym dokładna analiza rentowności do terminu zapadalności za pomocą rentowności do terminu zapadalności wspiera podejmowanie decyzji w oparciu o dowody i rygor ilościowy w profesjonalnych przepływach pracy
Zarządzanie portfelem instrumentów stałodochodowych: monitorowanie rentowności portfela i porównywanie z rentownością referencyjną
Przypadki szczególne
▾
W praktyce ten skrajny przypadek wymaga dokładnego rozważenia, ponieważ standardowe założenia mogą nie obowiązywać. W przypadku napotkania tego scenariusza w obliczeniach kalkulatora rentowności do terminu zapadalności praktycy powinni zweryfikować warunki brzegowe, sprawdzić ryzyko dzielenia przez zero i rozważyć, czy założenia modelu pozostaną ważne w tych ekstremalnych warunkach.
W praktyce ten skrajny przypadek wymaga dokładnego rozważenia, ponieważ standardowe założenia mogą nie obowiązywać. W przypadku napotkania tego scenariusza w obliczeniach kalkulatora rentowności do terminu zapadalności praktycy powinni zweryfikować warunki brzegowe, sprawdzić ryzyko dzielenia przez zero i rozważyć, czy założenia modelu pozostaną ważne w tych ekstremalnych warunkach.
W praktyce ten skrajny przypadek wymaga dokładnego rozważenia, ponieważ standardowe założenia mogą nie obowiązywać. W przypadku napotkania tego scenariusza w obliczeniach kalkulatora rentowności do terminu zapadalności praktycy powinni zweryfikować warunki brzegowe, sprawdzić ryzyko dzielenia przez zero i rozważyć, czy założenia modelu pozostaną ważne w tych ekstremalnych warunkach.
Punkty odniesienia krzywej dochodowości obligacji skarbowych Stanów Zjednoczonych (przybliżone średnie historyczne)
▾
| Dojrzałość | Średni YTM przed 2008 r | Niski poziom po 2008 r. (2020–2021) | Poziom 2023–2024 |
|---|---|---|---|
| 3-miesięczny rachunek T | 4,5 – 5,5% | 0,05 – 0,10% | 5,0 – 5,5% |
| 2-letni skarbiec | 4,5 – 5,5% | 0,10 – 0,25% | 4,5 – 5,0% |
| 5-letni skarbiec | 4,5 – 5,5% | 0,30 – 0,80% | 4,2 – 4,7% |
| 10-letni skarbiec | 4,5 – 5,5% | 0,50 – 1,50% | 4,0 – 4,7% |
| Skarbiec 30-letni | 5,0 – 6,0% | 1,20 – 2,30% | 4,2 – 5,0% |
| Korpus klasy inwestycyjnej (10 lat) | 5,5 – 7,0% | 2,0 – 3,5% | 5,5 – 6,5% |
| Korpus Wysokowydajny (5 lat) | 8,0 – 12,0% | 5,0 – 7,0% | 8,0 – 10,0% |
Często zadawane pytania
▾
Jaka jest różnica między YTM, bieżącym zyskiem i zyskiem kuponowym?
Rentowność kuponu (lub rentowność nominalna) to po prostu roczny kupon podzielony przez wartość nominalną — nie zmienia się niezależnie od ceny rynkowej obligacji. Bieżąca stopa zwrotu to kupon roczny podzielony przez aktualną cenę rynkową — odzwierciedla zwrot dochodu z bieżącej kwoty inwestycji, ale ignoruje zyski/straty kapitałowe w terminie zapadalności i dochód z reinwestycji. YTM jest najbardziej wszechstronną miarą, obejmującą dochód z kuponów, zysk lub stratę kapitałową w terminie zapadalności oraz wartość pieniądza w czasie poprzez dyskontowanie wartości bieżącej. W przypadku podejmowania decyzji inwestycyjnych YTM jest na ogół najodpowiedniejszą miarą rentowności, ponieważ reprezentuje całkowity zwrot w ujęciu rocznym, jeśli obligacja jest utrzymywana do terminu zapadalności.
Dlaczego YTM zakłada reinwestycję kuponową po tej samej stopie?
YTM oblicza się jako wewnętrzną stopę zwrotu – pojedynczą stopę, która przyrównuje wszystkie przepływy pieniężne do bieżącej ceny. Zgodnie z konstrukcją matematyczną obliczenia te zakładają, że każdy otrzymany kupon jest natychmiast ponownie inwestowany po tej samej stopie procentowej (YTM) przez pozostały okres obowiązywania obligacji. W rzeczywistości stopy reinwestycji są zmienne: jeśli stopy spadną po zakupie, kupony są ponownie inwestowane po niższych stopach (co zmniejsza całkowity zwrot poniżej YTM); jeśli stopy wzrosną, kupony zarobią więcej (zwiększając całkowity zwrot powyżej YTM). Ta niepewność dotycząca stopy reinwestycji nazywana jest ryzykiem reinwestycji i jest głównym powodem, dla którego zrealizowany zwrot może różnić się od YTM obliczonego w momencie zakupu. Obligacje zerokuponowe to jedyne obligacje, które nie wiążą się z ryzykiem reinwestycji.
W jaki sposób YTM jest powiązany z ceną obligacji – i dlaczego porusza się w przeciwnych kierunkach?
Cena obligacji i YTM są ze sobą odwrotnie powiązane, ponieważ YTM jest stopą dyskontową stosowaną do przyszłych przepływów pieniężnych. Kiedy YTM rośnie (odzwierciedlając wyższe rynkowe stopy procentowe lub zwiększone postrzegane ryzyko kredytowe), wartość bieżąca stałych przyszłych przepływów pieniężnych maleje, a więc cena obligacji spada. I odwrotnie, gdy YTM spada, przyszłe przepływy pieniężne są dyskontowane według niższej stopy, zwiększając ich obecną wartość i powodując wyższą cenę obligacji. Jest to podstawowy mechanizm: istniejące obligacje o stałym kuponie stają się mniej wartościowe, gdy nowe obligacje oferują wyższą rentowność, a bardziej wartościowe, gdy nowe obligacje oferują niższą rentowność. Wielkość tej wrażliwości cenowej mierzy się czasem trwania.
Co to jest YTC (Yield to Call) i kiedy ma to znaczenie?
Yield to call (YTC) to zysk uzyskany w przypadku, gdy obligacja zostanie wykupiona (przedterminowo wykupiona przez emitenta) w pierwszym dniu wykupu, a nie utrzymana do terminu zapadalności. Oblicza się go podobnie do YTM, ale przy użyciu ceny wywołania (zwykle równej lub nieco wyższej od wartości nominalnej) jako końcowego przepływu pieniężnego i czasu do pierwszego dnia wezwania jako n. YTC ma znaczenie w przypadku obligacji z opcją kupna – gdy rentowność rynkowa jest znacznie niższa od stopy kuponu, emitent prawdopodobnie zażąda refinansowania obligacji po niższych kosztach, a YTC stanowi lepszy szacunek zrealizowanej stopy zwrotu przez inwestora niż YTM. Oceniając obligacje z opcją kupna, inwestorzy powinni wziąć pod uwagę rentowność najgorszego (YTW) – minimum YTM, YTC i rentowność do dowolnej innej daty kupna/sprzedaży – jako najbardziej konserwatywne oszacowanie zwrotu.
Jakie jest znaczenie krzywej YTM (krzywej dochodowości)?
Krzywa dochodowości przedstawia YTM porównywalnych obligacji (o tej samej jakości kredytowej, zazwyczaj obligacji rządowych) dla różnych okresów zapadalności, od 1 miesiąca do ponad 30 lat. Normalna krzywa dochodowości nachyla się w górę (dłuższe terminy zapadalności mają wyższe YTM), co odzwierciedla premię za ryzyko wymaganą do zablokowania kapitału na dłuższe okresy. Odwrócona krzywa dochodowości (krótkoterminowe YTM przewyższają długoterminowe YTM) w przeszłości była wiarygodnym prognostykiem recesji — miała miejsce w latach 2006, 2019 i 2022. Płaska krzywa dochodowości zapewnia niewielki dodatkowy zwrot w przypadku wydłużenia terminu zapadalności. Krzywa dochodowości jest podstawą wyceny instrumentów o stałym dochodzie, analizy polityki pieniężnej i prognoz gospodarczych.
Jak podatki wpływają na efektywny YTM dla inwestora?
Sposób opodatkowania może znacząco zmienić efektywny YTM po opodatkowaniu. W USA dochód kuponowy z obligacji korporacyjnych i skarbowych jest opodatkowany jak zwykły dochód, natomiast zyski kapitałowe (z obligacji dyskontowych) mogą być opodatkowane według niższych stawek zysków kapitałowych. Oprocentowanie obligacji komunalnych jest zazwyczaj zwolnione z federalnego podatku dochodowego, a często z podatków stanowych, co sprawia, że równoważny podatkowi YTM = Municipal YTM / (1 - stawka podatku) jest właściwym porównaniem. Obligacje z rabatem oryginalnej emisji (OID) jeszcze bardziej komplikują opodatkowanie: dyskonto narasta co roku i jest opodatkowane jak zwykły dochód każdego roku, nawet bez otrzymania gotówki. Inwestorzy w wysokich przedziałach podatkowych powinni zawsze obliczać YTM po opodatkowaniu przy porównywaniu obligacji podlegających różnym opodatkowaniu.
Czy YTM może być ujemny i co to oznacza?
Tak — ujemne YTM mają miejsce, gdy inwestorzy płacą za obligację więcej niż suma wszystkich przyszłych przepływów pieniężnych, które otrzymają. Miało to miejsce powszechnie na europejskich i japońskich rynkach obligacji rządowych w latach 2015–2022, gdzie programy skupu obligacji banku centralnego spowodowały, że ceny były tak wysokie, że rentowności spadły do wartości ujemnych. Inwestor akceptujący ujemny YTM zasadniczo płaci za bezpieczeństwo, płynność lub korzyści regulacyjne wynikające z posiadania obligacji rządowych – mają gwarancję nominalnej straty pieniędzy, jeśli będą utrzymywane do terminu zapadalności. Ujemne rentowności mogą również odzwierciedlać oczekiwania deflacyjne: jeśli ceny spadają, ujemna rentowność nominalna może nadal oznaczać dodatnią rentowność realną. W USA podczas paniki rynkowej w latach 2008 i 2020 rentowność krótkoterminowych bonów skarbowych na krótko osiągnęła wartość ujemną.
Częste błędy do unikania
▾
- !Używanie stopy kuponu obligacji jako wskaźnika zastępczego dla YTM – jest to dokładne tylko wtedy, gdy obligacja jest notowana dokładnie po cenie nominalnej.
- !Zapominając o uwzględnieniu konwencji dotyczącej kuponów półrocznych obowiązującej w USA – w przypadku obligacji półrocznych roczna stopa kuponu musi zostać zmniejszona o połowę, a liczba okresów podwojona.
- !Używanie ceny czystej zamiast ceny brudnej przy obliczaniu YTM dla obligacji zakupionych pomiędzy datami kuponu — zawyża to YTM.
- !Ignorując założenie YTM dotyczące reinwestycji — YTM to obiecany zysk, a nie gwarantowany zrealizowany zwrot, ponieważ stopy reinwestycji kuponów zmieniają się w czasie.
- !Porównanie YTM dla obligacji o różnej jakości kredytowej, częstotliwości kuponów lub traktowaniu podatkowym bez odpowiednich korekt.
Wskazówka Pro
Porównując obligacje pod kątem decyzji inwestycyjnych, zawsze obliczaj spread kredytowy (YTM minus YTM skarbu państwa o porównywalnym terminie zapadalności) wraz z YTM. Wysoki YTM może po prostu odzwierciedlać wysokie ryzyko niewypłacalności – spread kredytowy informuje, ile dodatkowego zysku zarobisz za poniesienie tego dodatkowego ryzyka.
Czy wiedziałeś?
Matematyczna niemożność rozwiązania YTM w postaci zamkniętej (wymaga rozwiązania wielomianu stopnia n, który nie ma rozwiązania analitycznego dla n > 4 na podstawie twierdzenia Abela-Ruffiniego) oznacza, że każde obliczenie YTM, które widzisz - w Excelu, Bloombergu, w kalkulatorze finansowym - wykorzystuje iteracyjny algorytm numeryczny. Dzieje się tak od czasu pierwszej standaryzacji obliczeń plonów w XIX wieku.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Źródła
Otrzymuj cotygodniowe porady matematyczne
Dołącz do subskrybentów 12 000+, którzy co tydzień otrzymują wskazówki dotyczące kalkulatora.