Czym jest Ruin Probability Calculator?
▾
Prawdopodobieństwo ruiny (zwane także prawdopodobieństwem ruiny, ruiną hazardzisty lub ryzykiem ruiny) to prawdopodobieństwo, że gracz, handlarz lub firma wyczerpie cały swój kapitał, zanim osiągnie określony cel bogactwa. Jest to podstawowa koncepcja teorii prawdopodobieństwa, nauk aktuarialnych i zarządzania ryzykiem handlowym, odpowiadająca na pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo bankructwa przed osiągnięciem celu, biorąc pod uwagę kapitał początkowy, przewagę na zakład lub transakcję oraz docelowy poziom majątku? Klasyczny problem ruiny hazardzisty, sformalizowany przez matematyków, w tym Blaise'a Pascala i Christiaana Huygensa w XVII wieku, dotyczy gracza z kapitałem startowym $k, który gra z przeciwnikiem z kapitałem $N-k (całkowite stawki przy stole = N $). Przy prawdopodobieństwie p wygrania każdego zakładu (i q=1-p przegranej) prawdopodobieństwo ruiny (strata wszystkich k $ przed osiągnięciem N $) ma eleganckie rozwiązanie w formie zamkniętej. Gdy p = q = 0,5 (uczciwa gra), prawdopodobieństwo porażki = (N-k)/N. W przypadku niekorzystnej gry (q > p) porażka jest prawie pewna w przypadku dużego N. W handlu prawdopodobieństwo ruiny oblicza się zazwyczaj jako prawdopodobieństwo utraty całego kapitału przed osiągnięciem wielokrotności kapitału początkowego. Stosując przybliżenie ciągłe: P(ruina) = e^(−2× Krawędź × Kapitał / Wariancja), gdzie Krawędź = średni zwrot na transakcję (lub okres), Kapitał = kapitał początkowy i Wariancja = wariancja zwrotów na transakcję. Wzór ten pokazuje, że prawdopodobieństwo ruiny maleje wykładniczo wraz z: (1) większym kapitałem początkowym w stosunku do wielkości zakładu; (2) wyższa krawędź; oraz (3) niższa wariancja. Właśnie dlatego zasada 1% w handlu – ryzykując tylko 1% kapitału na transakcję – radykalnie zmniejsza prawdopodobieństwo ruiny w porównaniu z ryzykiem wynoszącym 5% lub 10% na transakcję. W ubezpieczeniach i naukach aktuarialnych teoria ruiny (model Craméra-Lundberga) bada, czy nadwyżka ubezpieczyciela (rezerwa kapitału) kiedykolwiek stanie się ujemna, biorąc pod uwagę dochód ze składek, zwrot z inwestycji i losowe wypłaty roszczeń. Nierówność Craméra-Lundberga wyznacza górną granicę prawdopodobieństwa ruiny portfeli ubezpieczeniowych. Analizę prawdopodobieństwa ruiny wykorzystuje się także w finansach przedsiębiorstw, aby ocenić, jak długo startup lub firma może przetrwać przy obecnym saldzie środków pieniężnych, biorąc pod uwagę tempo spalania i trajektorię przychodów, oraz w finansach osobistych, aby ocenić prawdopodobieństwo, że emeryt wyczerpie swój portfel przed śmiercią w ramach różnych scenariuszy wydatków i zwrotów.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Wzór
▾
Dyskretny (p ≠ 0,5): P(ruina) = [(q/p)^N − (q/p)^k] / [(q/p)^N − 1]
Uczciwa gra (p=0,5): P(ruina) = 1 − k/N
Ciągłe w przybliżeniu: P(ruina) = exp(-2 × μ × k / σ²)Opis zmiennych
▾
| Symbol | Imię | Jednostka | Opis |
|---|---|---|---|
| k | Kapitał początkowy | USD | Początkowe bogactwo lub bankroll; mierzone w jednostkach wielkości zakładu dla wzoru na ruinę dyskretnego hazardzisty. |
| p | Prawdopodobieństwo wygranej | % | Prawdopodobieństwo wygrania każdego zakładu lub transakcji; jeśli p > 0,5 (lub p > próg rentowności), występuje dodatnie zbocze. |
| N | Kapitał docelowy | USD | Cel bogactwa; w klasycznej ruinie hazardzisty, stawka stołu (punkt, w którym zamiast tego przeciwnik zostaje zrujnowany). |
| P_ruin | Prawdopodobieństwo ruiny | % | Prawdopodobieństwo utraty całego kapitału przed osiągnięciem celu N. Zbliża się do 1,0 dla niekorzystnych gier (p < 0,5). |
| E_dur | Oczekiwany czas trwania | bets/trades | Oczekiwana liczba zakładów/transakcji przed zniszczeniem lub osiągnięciem celu N; odzwierciedla czas trwania gry. |
Jak Ruin Probability Calculator
▾
- 1Zdefiniuj kapitał początkowy k (w jednostkach minimalnego ryzyka zakładu lub transakcji), kapitał docelowy N i kwotę zakładu/ryzyka na grę.
- 2Oszacuj przewagę (p = prawdopodobieństwo wygranej każdego zakładu). Do handlu użyj współczynnika wygranych skorygowanego o stosunek wielkości wygranej do straty.
- 3Zastosuj odpowiednią formułę ruiny: ruina dyskretnego hazardzisty w przypadku zakładów binarnych; ciągłe przybliżenie dla handlu ze zmiennymi stopami zwrotu.
- 4Do handlu: P(ruina) = exp(-2 × średni zysk × kapitał_początkowy / wariancja_na_trade).
- 5Przeanalizuj wrażliwość: jak zmienia się prawdopodobieństwo ruiny, jeśli kapitał początkowy podwoi się? Jeśli krawędź zostanie zmniejszona o połowę? Jeśli wariancja wzrasta?
- 6Oblicz oczekiwany czas trwania (ile rund przed ustaleniem wyniku): E = k × (N−k) / |2p−1| × 1/(p-0,5) dla p≠0,5.
- 7Użyj prawdopodobieństwa ruiny, aby ustawić minimalne wymagania kapitałowe, maksymalne wielkości zakładów i odpowiednie wartości procentowe ryzyka na transakcję.
Rozwiązane przykłady
▾
Nawet przy „tylko” 2,63% przewagi kasyna na tym poziomie ruina jest prawie pewna
q/p = (1-0,4737)/0,4737 = 0,5263/0,4737 = 1,1111. P(ruina) = [(1,1111)^200 - (1,1111)^100] / [(1,1111)^200 - 1]. Wyraz (1,1111)^200 jest astronomicznie duży, dominujący w liczniku i mianowniku: P(ruina) ≈ 1 − (1,1111)^(−100) = 1 − e^(−100 × ln1,1111) ≈ 1 − e^(−10,54) ≈ 88,6%. Aby podwoić 100 dolarów w ruletce, masz tylko 11,4% szans. To ilustruje, dlaczego kasyna wygrywają: niewielka przewaga kasyna, złożona z wielu zakładów, powoduje niemal pewną ruinę dla gracza.
Dodatnia krawędź przy kontrolowanym rozmiarze = bardzo niskie prawdopodobieństwo zniszczenia
Na transakcję: oczekiwany zysk = 0,55 × 300 USD - 0,45 × 200 USD = 165 USD - 90 USD = 75 USD (zauważ wypłatę: zysk z wygranej 1,5 × 200 USD = 300 USD). Średnia = 75 USD, Wariancja = E[X²] - E[X]² = (0,55 × 300 USD² + 0,45 × 200 USD²) - 75 USD² = (49 500 + 18 000) - 5625 = 61 875 USD. P(ruina) ≈ exp(−2 × 75 $ × 10 000 $ / 61 875 $) = exp(−24,24) ≈ 0,0000000036 — zasadniczo zero! Nawet przy zaledwie 2% ryzyku na transakcję i niewielkiej przewadze prawdopodobieństwo ruiny jest znikome. Porównaj z ryzykiem 10% na transakcję (1000 USD): P(ruina) ≈ exp(−2 × 75 × 10 000 USD / 61 875 USD), gdzie kapitał wynosi teraz tylko 10 jednostek: exp(−2×75×10/61875) — wciąż nieistotne, ponieważ skalowaliśmy prawidłowo.
Ruina start-upu jest tutaj deterministyczna — wymaga wzrostu przychodów lub nowego finansowania
Spalanie netto = 50 000 USD miesięcznie. Runway = 500 000 USD / 50 000 USD = 10 miesięcy — startupowi zabraknie pieniędzy w ciągu 10 miesięcy bez zmian. Aby przetrwać 18 miesięcy do docelowej zbiórki funduszy w ramach Serii A (N = 18 miesięcy gotówki przy początkowej stopie wykorzystania = potrzebne 900 000 USD), startup potrzebuje albo 80% wzrostu przychodów, aby zmniejszyć spalanie netto do 0 USD, albo dodatkowego finansowania. To pokazuje, dlaczego inwestorzy tak bardzo dbają o tempo wypalania startupów i pas startowy: ruina (wypłata środków przed kolejnym finansowaniem) to dosłownie koniec firmy.
20% bezpiecznego ładowania z nadwyżką 1 miliona dolarów daje prawie zerowe prawdopodobieństwo zniszczenia
W modelu Craméra-Lundberga górna granica prawdopodobieństwa ruiny wynosi P(ruina|nadwyżka=u) ≤ e^(−Ru), gdzie R jest współczynnikiem dostosowawczym (dodatnim pierwiastkiem równania Lundberga). Przy 20% obciążeniu bezpieczeństwa i roszczeniach wykładniczych ze średnią 10 000 USD: R = θ/(μ(1+θ)) = 0,20/(10 000 × 1,20) ≈ 1,67 × 10⁻⁵. P(ruina) ≤ e^(−1,67×10⁻⁵×1 000 000) = e^(−16,7) ≈ 5,6×10⁻⁸ — zasadniczo zero. Potwierdza to, że odpowiednia nadwyżka i obciążenie składką zapewnia niemal idealną stabilność finansową dla firmy ubezpieczeniowej przy typowych założeniach dotyczących roszczeń.
Zastosowania praktyczne
▾
Zarządzanie ryzykiem systemu transakcyjnego i minimalne wymogi kapitałowe, stanowiące ważny obszar zastosowań Prawdopodobieństwa ruiny w kontekstach zawodowych i analitycznych, gdzie dokładne obliczenia prawdopodobieństwa ruiny bezpośrednio wspierają podejmowanie świadomych decyzji, planowanie strategiczne i optymalizację wydajności
Analiza pasa startowego start-upów i planowanie kluczowych etapów finansowania, reprezentujące ważny obszar zastosowań Prawdopodobieństwa ruiny w kontekstach zawodowych i analitycznych, gdzie dokładne obliczenia prawdopodobieństwa ruiny bezpośrednio wspierają świadome podejmowanie decyzji, planowanie strategiczne i optymalizację wydajności
Regulacja adekwatności i wypłacalności nadwyżki firmy ubezpieczeniowej, stanowiąca ważny obszar zastosowań prawdopodobieństwa ruiny w kontekstach zawodowych i analitycznych, gdzie dokładne obliczenia prawdopodobieństwa ruiny bezpośrednio wspierają świadome podejmowanie decyzji, planowanie strategiczne i optymalizację wydajności
Prawdopodobieństwo wyczerpania portfela emerytalnego (ryzyko sekwencji zwrotów), reprezentujące ważny obszar zastosowań prawdopodobieństwa ruiny w kontekstach zawodowych i analitycznych, gdzie dokładne obliczenia prawdopodobieństwa ruiny bezpośrednio wspierają świadome podejmowanie decyzji, planowanie strategiczne i optymalizację wydajności
Specjaliści z branży korzystają z narzędzia Probability Ruin do obliczeń prawdopodobieństwa ruiny operacyjnej, wyników klientów, raportowania zgodności z przepisami i planowania strategicznego w kontekstach biznesowych, w których dokładność prawdopodobieństwa ruiny ma bezpośredni wpływ na wyniki finansowe i wydajność organizacyjną
Przypadki szczególne
▾
{'case': 'Strategia Martingale', 'explanation': 'Zakłady Martingale (podwajanie po każdej przegranej) mają w teorii zerowe prawdopodobieństwo ruiny (biorąc pod uwagę nieskończony kapitał), ale prawie pewne ruiny w praktyce ze względu na skończone limity stołu i kapitału. Seria porażek wynosząca zaledwie 10 wymaga 2^10 = 1024-krotności początkowego zakładu — szybko przekraczając jakąkolwiek realistyczną bazę kapitałową.'}
{'case': 'Infinite Horizon Ruin', 'explanation': 'W przypadku niekorzystnej gry (ujemna przewaga) prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym horyzoncie czasowym wynosi dokładnie 1,0 — pewna ruina. W przypadku korzystnej gry prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym horyzoncie wynosi zero w przypadku stałych zakładów ułamkowych (przypadek ciągły). W przypadku ustalonej wielkości zakładu, nawet przy dodatniej przewadze, prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym horyzoncie jest dodatnie w przypadku dyskretnego losowego spaceru z niezerową szansą na natychmiastową ruinę.'}
Kiedy wartości wejściowe prawdopodobieństwa ruiny zbliżają się do zera lub stają się ujemne w Ruinie
Kiedy wartości wejściowe prawdopodobieństwa zniszczenia zbliżają się do zera lub stają się ujemne w Prawdopodobieństwie zniszczenia, zachowanie matematyczne zmienia się znacząco. Wartości zerowe mogą powodować błędy dzielenia przez zero lub trywialnie zerowe wyniki, podczas gdy ujemne dane wejściowe mogą dawać matematycznie poprawne, ale praktycznie bezsensowne wyniki w kontekście prawdopodobieństwa ruiny. Przed interpretacją wyników użytkownicy profesjonalni powinni sprawdzić, czy wszystkie dane wejściowe mieszczą się w zakresach znaczących pod względem fizycznym lub finansowym. Wartości ujemne lub zerowe często wskazują na błędy we wprowadzaniu danych lub wyjątkowe okoliczności związane z prawdopodobieństwem zniszczenia, wymagające osobnego traktowania analitycznego.
Prawdopodobieństwo zniszczenia według kapitału początkowego (jednostki zakładu) i przewagi
▾
| Kapitał (jednostki) | Krawędź=0% | Krawędź=1% | Krawędź=3% | Krawędź=5% | Krawędź=10% |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 jednostek | 100% | 82% | 55% | 37% | 14% |
| 20 jednostek | 100% | 67% | 30% | 14% | 2% |
| 50 jednostek | 100% | 37% | 5% | 0,7% | 0,006% |
| 100 jednostek | 100% | 14% | 0,25% | 0,05% | ~0% |
| 200 jednostek | 100% | 2% | ~0% | ~0% | ~0% |
| 500 jednostek | 100% | <0,1% | ~0% | ~0% | ~0% |
Często zadawane pytania
▾
Na czym polega problem ruiny hazardzisty?
Klasyczny problem ruiny hazardzisty: gracz posiadający tysiąc dolarów gra uczciwie przeciwko nieskończenie bogatemu przeciwnikowi, stawiając 1 dolara na rundę. Prawdopodobieństwo utraty wszystkich k $, zanim przeciwnik zostanie zrujnowany (co w przypadku nieskończonego przeciwnika oznacza prawdopodobieństwo ostatecznej ruiny) wynosi 1,0 — pewna ruina. W przypadku skończonego przeciwnika z całkowitym kapitałem $N (gracz ma $ k, przeciwnik ma N-k $), prawdopodobieństwo porażki wynosi 1-k/N dla uczciwej gry. Wynik ten ma głębokie implikacje: nawet przy zerowej przewadze kasyna gracz z mniejszym kapitałem niż „dom” ostatecznie straci wszystkie swoje pieniądze. Wyjaśnia matematycznie, dlaczego kasyno zawsze wygrywa — ma większy kapitał i może przetrwać każdego indywidualnego gracza.
Jak wielkość zakładu wpływa na prawdopodobieństwo ruiny?
Wielkość zakładu ma dramatyczny wpływ na prawdopodobieństwo ruiny. W przypadku stałego kapitału początkowego i dodatniej przewagi prawdopodobieństwo ruiny wynosi w przybliżeniu P(ruina) ≈ e^(−2×edge×capital_in_units_of_bet). Podwojenie kapitału początkowego (lub równoważnie zmniejszenie wielkości zakładu o połowę) podnosi prawdopodobieństwo ruiny do kwadratu: jeśli P(ruina) wynosiło 10%, wynosi ono (w przybliżeniu) 1%. Ta wykładnicza wrażliwość na stosunek wielkości zakładu do kapitału jest matematyczną podstawą zasady 1% ryzyka w handlu. Ryzykowanie 1% na transakcję oznacza 100 jednostek kapitału; prawdopodobieństwo ruiny ≈ e^(−200×edge) — przy dowolnej dodatniej krawędzi jest to w zasadzie zero. Ryzykowanie 10% na transakcję oznacza tylko 10 jednostek; prawdopodobieństwo ruiny ≈ e^(−20×edge) — znacznie większe.
Czy prawdopodobieństwo ruiny może wynosić zero?
Teoretycznie w przypadku punktu początkowego z nieskończonym kapitałem lub gry, w której nigdy nie możesz stracić wszystkich pieniędzy (stałe zakłady ułamkowe zapewniające, że zakład spadnie do zera, gdy bogactwo zbliża się do zera), prawdopodobieństwo ruiny może osiągnąć zero. W przybliżeniu ciągłym dla handlu ułamkowego, prawdopodobieństwo ruiny technicznie wynosi zero, ponieważ wielkość zakładów zmniejsza się proporcjonalnie do konta — wartość konta może asymptotycznie zbliżać się do zera, ale w rzeczywistości nigdy go nie osiąga. W praktyce minimalne wielkości pozycji, koszty transakcji i dyskretna struktura zakładów oznaczają, że zawsze istnieje pewne dodatnie prawdopodobieństwo ruiny, nawet w przypadku strategii o dodatniej krawędzi. Praktycznym celem jest zmniejszenie prawdopodobieństwa ruiny do akceptowalnie niskiego poziomu (< 1%), a nie jego eliminacja.
Jaki jest związek między prawdopodobieństwem ruiny a kryterium Kelly'ego?
Kryterium Kelly'ego i prawdopodobieństwo ruiny są ze sobą ściśle powiązane: ułamek Kelly'ego to dokładnie wielkość zakładu, która minimalizuje tempo spadku prawdopodobieństwa ruiny w miarę wzrostu kapitału. We frakcji Kelly’ego geometryczne tempo wzrostu kapitału jest zmaksymalizowane, co oznacza, że bogactwo rośnie najszybciej w kierunku dowolnego celu, jednocześnie minimalizując prawdopodobieństwo ruiny. Overbetting (powyżej Kelly) znacznie zwiększa prawdopodobieństwo ruiny — przy 2× Kelly ruina staje się pewna na dłuższą metę. Underbetting (ułamkowy Kelly) zmniejsza prawdopodobieństwo ruiny poniżej poziomu Kelly'ego, ale kosztem wolniejszego wzrostu kapitału. Kryterium Kelly'ego można wyprowadzić minimalizując prawdopodobieństwo ruiny pod warunkiem maksymalizacji długoterminowego wzrostu.
W jaki sposób prawdopodobieństwo ruiny jest wykorzystywane w planowaniu emerytury?
W finansach osobistych i planowaniu emerytalnym prawdopodobieństwo ruiny określa się mianem „prawdopodobieństwa wyczerpania portfela”: szansy, że portfel emeryta spadnie do zera przed śmiercią. Szacuje się to za pomocą symulacji Monte Carlo: wygeneruj tysiące scenariuszy zwrotów z inwestycji, inflacji i wydatków oraz policz, w jakim ułamku wyczerpany jest portfel. „Zasada 4%” (wycofywanie 4% początkowego portfela rocznie, z uwzględnieniem inflacji) wyłoniła się z historycznych badań symulacyjnych (Bengen 1994, Trinity Study 1998), które wykazały około 95% wskaźnika sukcesu (5% prawdopodobieństwo ruiny) w ciągu 30-letnich okresów emerytalnych dla portfela 60/40 akcji/obligacji.
Jakie czynniki najsilniej wpływają na prawdopodobieństwo ruiny?
W malejącej kolejności wpływu: (1) Wysokość zakładu jako ułamek kapitału — pojedyncza najpotężniejsza zmienna; zmniejszenie wielkości zakładu o połowę radykalnie zmniejsza straty; (2) Krawędź — dodatnia krawędź jest konieczna, jeśli prawdopodobieństwo zniszczenia jest mniejsze niż 50%; zero lub ujemna krawędź zawsze prowadzi do prawdopodobieństwa ruiny zbliżającego się do 1; (3) Wariancja wyników — większa wariancja zwiększa prawdopodobieństwo ruiny nawet przy tej samej krawędzi (odzwierciedla wzór Kelly'ego: ryzyko ruiny ∝ 1/krawędź × wariancja); (4) Kapitał początkowy w jednostkach wielkości zakładu — więcej jednostek kapitału oznacza mniejszą ruinę; (5) Kapitał docelowy — większy wymagany zysk (wyższe N) zwiększa prawdopodobieństwo ruiny. Praktyczny wniosek: trzymaj mały zakład, miej dodatnią przewagę i zacznij od odpowiedniego kapitału.
Jak prawdopodobieństwo ruiny ma się do wypłacalności przedsiębiorstwa?
W kontekście biznesowym prawdopodobieństwo ruiny to prawdopodobieństwo niewypłacalności – ujemnego kapitału własnego lub niemożności wywiązania się ze zobowiązań. W przypadku przedsiębiorstw „zakładem” jest przepływ środków pieniężnych w każdym okresie operacyjnym, który ma wartość oczekiwaną (zysk operacyjny) i wariancję (zmienność przepływów pieniężnych). Kapitał początkowy stanowi kapitał zapasowy i linia kredytowa. Celem jest przetrwanie do rentowności lub następnej rundy finansowania. Przy stabilnych dodatnich przepływach pieniężnych (dodatnia przewaga, niska wariancja) prawdopodobieństwo ruiny jest niskie. W przypadku przedsiębiorstw cyklicznych zróżnicowanie przepływów pieniężnych jest duże i wymaga większych rezerw kapitałowych. Właśnie dlatego banki wymagają minimalnych współczynników kapitałowych – w sposób dorozumiany ustalają maksymalne prawdopodobieństwo ruiny akceptowalne dla regulowanej instytucji finansowej.
Częste błędy do unikania
▾
- !Ignorowanie faktu, że nawet niewielka dodatnia przewaga nie gwarantuje przetrwania bez odpowiedniego kapitału początkowego w stosunku do wielkości zakładu.
- !Stosowanie deterministycznych obliczeń pasa startowego (np. miesięcy środków pieniężnych przy bieżącym zużyciu) bez uwzględnienia niepewności przychodów/kosztów.
- !Zakładanie, że poprzednia passa porażek „wyczerpała” pecha i następna transakcja ma większe szanse na wygraną – błąd hazardzisty.
- !Traktowanie prawdopodobieństwa ruiny jako jednorazowej kalkulacji, a nie aktualizowanie go dynamicznie w miarę zmiany kapitału, parametrów strategii i warunków rynkowych.
- !Mylenie prawdopodobieństwa ruiny z oczekiwaną stratą – prawdopodobieństwo ruiny mierzy przetrwanie, a nie średnią wielkość straty.
Wskazówka Pro
Przeprowadź symulację Monte Carlo obejmującą 10 000 ścieżek swojego systemu transakcyjnego w ciągu 252 dni handlowych. Narysuj rozkład wartości kont terminali i zidentyfikuj część ścieżek kończących się poniżej progu „zniszczenia”. To empiryczne prawdopodobieństwo ruiny jest dokładniejsze niż wzory analityczne dla rzeczywistych systemów handlowych z nietypowymi rozkładami zysków.
Czy wiedziałeś?
Problem ruiny hazardzisty został po raz pierwszy formalnie postawiony przez Blaise'a Pascala (znanego z Trójkąta Pascala) i Christiaana Huygensa w ich XVII-wiecznej korespondencji na temat teorii prawdopodobieństwa. Huygens opublikował rozwiązanie w 1657 r. w „De Ratiociniis in Ludo Aleae” (O rozumowaniu w grach losowych) – co czyni go jednym z pierwszych problemów prawdopodobieństwa, które miały pełne rozwiązanie matematyczne. Ta sama matematyka stanowi obecnie podstawę nowoczesnych regulacji ubezpieczeniowych, limitów ryzyka handlowego i analizy start-upów.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Źródła
- ›Feller, W.: Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowań, tom. 1 (Wiley, 1968)
- ›Asmussen & Albrecher: Prawdopodobieństwo ruiny (wyd. 2), World Scientific
- ›Bengen, W. (1994): Ustalanie stawek wypłat na podstawie danych historycznych, Journal of Financial Planning
- ›Investopedia: definicja ruiny hazardzisty
Read the full guide on how to use this calculator effectively
Czytaj więcej →Otrzymuj cotygodniowe porady matematyczne
Dołącz do subskrybentów 12 000+, którzy co tydzień otrzymują wskazówki dotyczące kalkulatora.