Równanie sześcienne to wielomian stopnia 3, o ogólnej postaci ax³ + bx² + cx + d = 0. W przeciwieństwie do równań kwadratowych, równania sześcienne mogą mieć 1, 2 lub 3 rzeczywiste rozwiązania i nie mają prostego wzoru w formie zamkniętej, którego większość ludzi uczy się w szkole. Można je jednak rozwiązać za pomocą wzoru Cardano lub metod numerycznych.

Formularz ogólny

ax³ + bx² + cx + d = 0

Gdzie a ≠ 0 (w przeciwnym razie nie jest to sześcienny). Równanie może mieć:

  • 3 różne prawdziwe korzenie
  • 1 pierwiastek rzeczywisty i 2 pierwiastki złożone sprzężone
  • Powtórzony pierwiastek (gdy dyskryminator jest równy zero)

Wzór Cardano

Aby skorzystać ze wzoru Cardano, najpierw obniż liczbę sześcienną (wyeliminuj wyraz x²), podstawiając x = t - b/(3a):

t³ + pt + q = 0

Następnie pierwiastki znajdują się za pomocą złożonego wzoru obejmującego dyskryminator:

Δ = -4p³ - 27q²

Jeżeli Δ > 0: trzy różne pierwiastki rzeczywiste Jeśli Δ = 0: co najmniej dwa równe pierwiastki rzeczywiste Jeżeli Δ < 0: jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa pierwiastki sprzężone zespolone

Sprawdzony przykład

Rozwiąż x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

Poprzez inspekcję lub próbę możemy przetestować małe liczby całkowite. Testowanie x = 1:

1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓

Zatem x = 1 jest pierwiastkiem. Rozliczenie na czynniki (x - 1):

(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

Trzy pierwiastki to x = 1, 2, 3.

Znajdowanie pierwiastków bez faktoringu

W przypadku równań sześciennych, które nie uwzględniają dobrze współczynnika, użyj:

  1. Wzór Cardano (dokładny algebraicznie, ale skomplikowany)
  2. Metody numeryczne typu Newtona-Raphsona (iteracyjne, wyszukujące jeden pierwiastek na raz)
  3. Wykresy w celu oszacowania pierwiastków i udoskonalenia za pomocą Newtona-Raphsona

Aplikacje

Równania sześcienne pojawiają się w:

  • Inżynieria (analiza naprężeń i odkształceń, dynamika płynów)
  • Fizyka (ruch pocisku w ośrodku oporowym, materiały sześcienne)
  • Ekonomia (problemy optymalizacji, krzywe kosztów produkcji)
  • Grafika komputerowa (sześcienne krzywe Béziera)

Porady

Jeśli podejrzewasz pierwiastki wymierne, użyj twierdzenia o pierwiastkach wymiernych: każdy pierwiastek wymierny p/q ma p dzielące d i q dzielące a. To znacznie zawęża liczbę kandydatów do testów. Zawsze sprawdzaj korzenie przez podstawienie.

Skorzystaj z naszego [rozwiązywania równań sześciennych](/en/math/calculus/rozwiązywania-równań sześciennych), aby natychmiast znaleźć wszystkie pierwiastki, zarówno rzeczywiste, jak i złożone.