Powierzchnia mierzy ilość dwuwymiarowej przestrzeni wewnątrz kształtu. W tym przewodniku omówiono formuły dla każdego popularnego kształtu — z praktycznymi przykładami i uzasadnieniem każdego wzoru.

Co to jest obszar?

Powierzchnię mierzy się w jednostkach kwadratowych: cm², m², in², ft² itd. Jeśli ułożysz podłogę płytkami o wymiarach 1 cm × 1 cm i potrzeba 500 płytek, powierzchnia podłogi wyniesie 500 cm².

Prostokąt

A = l × w

Najbardziej podstawowy wzór na pole. Pomnóż długość przez szerokość.

Przykład: Pokój 5m × 4m: A = 5 × 4 = 20 m²

Kwadrat

A = s^2

Specjalny prostokąt, w którym wszystkie boki są równe.

Przykład: Kwadratowa płytka o bokach 30 cm: A = 30² = 900 cm²

Trójkąt

A = (1) / (2) × b × h

Połowa podstawy razy wysokość. Wysokość musi być prostopadła do podstawy, a nie do skośnej strony.

Przykład: Trójkąt o podstawie 8cm i wysokości 5cm: A = ½ × 8 × 5 = 20 cm²

Dlaczego ½? Trójkąt to dokładnie połowa prostokąta o tej samej podstawie i wysokości. Narysuj dowolny trójkąt, zduplikuj go, odwróć kopię – zawsze tworzą prostokąt.

Formuła Herona (gdy znasz wszystkie trzy strony)

A = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Gdzie s = (a + b + c)/2 jest półobwodem.

Przykład: Trójkąt o bokach 3, 4, 5:

  • s = (3+4+5)/2 = 6
  • A = √(6×3×2×1) = √36 = 6 cm²

Koło

A = π r^2

Gdzie r jest promieniem (połową średnicy).

Przykład: Okrąg o średnicy 10 cm (promień 5 cm): A = π × 5² = 25π ≈ 78,54 cm²

Dlaczego πr²? Wyobraź sobie, że przecinasz okrąg na wiele cienkich plasterków pizzy, a następnie układasz je naprzemiennie w górę i w dół, tak aby uzyskać kształt zbliżony do prostokąta. „Szerokość” zbliża się do πr (połowa obwodu), a „wysokość” zbliża się do r. Powierzchnia = πr × r = πr².

Elipsa

A = π × a × b

Gdzie aib to osie półduże i półmniejsze.

Przykład: Elipsa o osiach 6cm i 4cm: A = π × 3 × 2 = 6π ≈ 18,85 cm²

Trapez (trapez)

A = ((a + b)) / (2) × h

Gdzie a i b to boki równoległe, a h to wysokość prostopadła.

Przykład: Trapez o bokach równoległych 8cm i 5cm, wysokość 4cm: A = (8+5)/2 × 4 = 6,5 × 4 = 26 cm²

Równoległobok

A = b × h

Podstawa razy wysokość prostopadła (nie strona ukośna).

Przykład: Równoległobok o podstawie 7 cm i wysokości 3 cm: A = 7 × 3 = 21 cm²

Romb (z przekątnych)

A = (d_1 × d_2) / (2)

Gdzie d₁ i d₂ to dwie przekątne.

Przykład: Romb o przekątnych 10 cm i 6 cm: A = (10 × 6)/2 = 30 cm²

Wielokąt foremny (n równych boków)

A = (1) / (4) n s^2 cot((π) / (n))

Gdzie n = liczba boków i s = długość boku.

Przykład: Sześciokąt foremny (n=6) o boku 4cm: A = ¼ × 6 × 16 × łóżko (π/6) = 24 × √3 ≈ 41,57 cm²

Sektor koła

A = (θ) / (360°) × π r^2

„Kawałek pizzy” koła, gdzie θ to kąt w stopniach.

Przykład: Sektor o promieniu 5 cm i kącie 90°: A = (90/360) × π × 25 = 25π/4 ≈ 19,63 cm²

Pierścień (Pierścień)

A = π(R^2 - r^2)

Obszar pomiędzy dwoma koncentrycznymi okręgami, gdzie R jest promieniem zewnętrznym, a r jest promieniem wewnętrznym.

Przykład: Pierścień o promieniu zewnętrznym 8 cm i promieniu wewnętrznym 5 cm: A = π(64 − 25) = 39π ≈ 122,52 cm²

Kształty złożone

W przypadku nieregularnych kształtów podziel je na prostsze części:

Przykład: Pokój w kształcie litery L.

Traktuj to jako duży prostokąt minus mniejszy prostokąt:

  • Duży prostokąt: 8m × 6m = 48 m²
  • Brakujący narożnik: 3m × 2m = 6 m²
  • Powierzchnia w kształcie litery L: 48 − 6 = 42 m²

Konwersja jednostek dla obszaru

Ponieważ pole jest dwuwymiarowe, konwersje jednostek są kwadratowe:

Z Do Pomnóż przez
1 m² cm² 10,000
1 stopa² w² 144
1 akr ft² 43,560
1 hektar m² 10,000
1 mila² włości 640

Oblicz teraz powierzchnię

Nasze kalkulatory kształtów obsługują wszystkie powyższe — wprowadź swoje pomiary i natychmiast oblicz powierzchnię, pracując krok po kroku.