„Średnia” to jedno z najczęściej używanych i najczęściej nadużywanych słów w matematyce. W języku potocznym oznacza to zazwyczaj jedną konkretną rzecz — dodawanie liczb i dzielenie. Jednak w statystyce istnieją trzy różne typy średnich, każdy odpowiedni do różnych sytuacji. Wybór niewłaściwego prowadzi do błędnych wniosków.

Trzy typy średniej

1. Średnia (średnia arytmetyczna)

Średnia to to, co większość ludzi ma na myśli mówiąc „średnia”. Dodaj wszystkie wartości i podziel przez ich liczbę.

Mean = Sum of all values / Number of values

Przykład: Wyniki testu: 72, 85, 91, 68, 77, 95, 82

Suma = 72 + 85 + 91 + 68 + 77 + 95 + 82 = 570 Liczba = 7 Średnia = 570 / 7 = 81,4

Kiedy go używać: Gdy dane są w przybliżeniu symetryczne i nie ma skrajnych wartości odstających. Działa dobrze w przypadku wzrostu, wyników testów i temperatury.

Kiedy NIE stosować: Kiedy istnieją wartości odstające. Jeden miliarder w pomieszczeniu, w którym żyją przeciętnie zarabiający, oznacza, że ​​średni dochód jest niezwykle mylący.

2. Mediana (wartość środkowa)

Mediana jest wartością środkową, gdy dane są sortowane w kolejności. Połowa wartości jest powyżej, połowa poniżej.

Dla nieparzystej liczby wartości: posortuj i weź środkową. W przypadku liczby parzystej: posortuj i weź średnią z dwóch środkowych wartości.

Przykład (nieparzysty): 72, 68, 85, 91, 77, 95, 82 Sortuj: 68, 72, 77, 82, 85, 91, 95 Mediana = 82

Przykład (parzysty): 68, 72, 77, 82, 85, 91 Środkowe dwa: 77 i 82 Mediana = (77 + 82) / 2 = 79,5

Kiedy go używać: Gdy dane mają wartości odstające lub są wypaczone. Ceny domów, wynagrodzenia i rozkłady dochodów zawsze opierają się na medianie, ponieważ kilka skrajnych wartości zniekształciłoby średnią.

3. Tryb (najczęstsza wartość)

Tryb to wartość, która pojawia się najczęściej. Zbiór danych może mieć jeden tryb (unimodalny), dwa (bimodalny) lub więcej (multimodalny). Jeśli żadna wartość się nie powtórzy, nie ma trybu.

Przykład: Rozmiary butów sprzedawane w tygodniu: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10 Tryb = 8 (pojawia się 3 razy)

Kiedy go używać: Dane kategoryczne, odpowiedzi z ankiet lub gdy potrzebna jest najczęstsza wartość, a nie środek matematyczny. Producentowi obuwia zależy na trybie, a nie na średnim rozmiarze buta.

Średnia ważona

Jeśli niektóre wartości liczą się bardziej niż inne, użyj średniej ważonej:

Weighted mean = Σ(value × weight) / Σ(weights)

Przykład: oceny z modułów uniwersyteckich z różnymi wagami punktów:

Moduł Stopień Kredyty
Matematyka 72 30
angielski 85 15
Historia 68 15
Nauka 91 40

Średnia ważona = (72×30 + 85×15 + 68×15 + 91×40) / (30+15+15+40) = (2160 + 1275 + 1020 + 3640) / 100 = 8095 / 100 = 80,95

Różni się to od prostej średniej wynoszącej 79,0 — wyższa waga punktów w module Nauka podnosi średnią.

Obliczenia GPA, zwroty z portfela inwestycyjnego i ocena z egzaminów wykorzystują średnie ważone.

Średnia geometryczna

W przypadku wielkości, które się sumują lub mnożą (tempo wzrostu, zwrot z inwestycji), należy zastosować średnią geometryczną:

Geometric mean = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n)

Przykład: Roczny zwrot z inwestycji +50%, −30%, +20%

Prosta średnia = (+50 − 30 + 20) / 3 = +13,3% — mylnie optymistyczna

Średnia geometryczna = (1,50 × 0,70 × 1,20)^(1/3) - 1 = (1,26)^(1/3) - 1 = 1,0797 - 1 = +7,97% rocznie

Odzwierciedla to rzeczywistą sumę: 1000 funtów → 1500 funtów → 1050 funtów → 1260 funtów, co daje 7,97% rocznego wzrostu, a nie 13,3%.

Której średniej należy użyć?

Sytuacja Najlepsza średnia
Dane symetryczne, bez wartości odstających Mieć na myśli
Występują wypaczone dane lub wartości odstające Mediana
Najczęściej wymagana wartość Tryb
Wartości mają różne znaczenie Średnia ważona
Stawki, współczynniki lub składanie Średnia geometryczna
Porównania wynagrodzeń / dochodów Mediana
Statystyki cen domów Mediana
Średnie odbijania w sporcie Średnia (lub konkretny wzór)
Zwrot inwestycji na przestrzeni lat Średnia geometryczna

Typowe błędy

Zakładając, że „średnia” zawsze oznacza średnią. Kiedy w doniesieniach prasowych widzisz „przeciętną pensję”, zapytaj, czy jest to średnia, czy mediana. Średnia jest zazwyczaj o 20–30% wyższa od mediany ze względu na wypaczanie danych przez osoby o wysokich dochodach.

Uśrednianie wartości procentowych bez ważenia. Jeśli Twój portfel zawiera 1000 GBP w funduszu A (+10%) i 9000 GBP w funduszu B (+2%), średni zwrot NIE wynosi 6%. To (100 GBP + 180 GBP) / 10 000 GBP = 2,8%.

Ignorując rozkład. Średnia może być taka sama dla bardzo różnych zbiorów danych. Klasa, w której wszyscy uzyskują 70%, i klasa, w której połowa osiąga 40%, a połowa 100%, mają tę samą średnią, ale bardzo różne efekty uczenia się.

Skorzystaj z naszego Kalkulatora średniej, mediany, trybu i [Kalkulatora średniej ważonej](/en/math/statistics/średnia ważona), aby obliczyć dowolny typ średniej na podstawie własnych danych.