GCD i LCM to podstawowe pojęcia teorii liczb stosowane w upraszczaniu ułamków, rozwiązywaniu równań i planowaniu problemów. Tutaj są jasno wyjaśnione wszystkie metody.

Definicje

GCD (największy wspólny dzielnik) — zwany także GCF (największy wspólny współczynnik) lub HCF (najwyższy wspólny współczynnik) — to największa dodatnia liczba całkowita, która dzieli obie liczby bez reszty.

LCM (najmniejsza wspólna wielokrotność) to najmniejsza dodatnia liczba całkowita, która jest podzielna przez obie liczby.

GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b

Ta zależność oznacza, że ​​gdy już znajdziesz jedną, możesz obliczyć drugą:

LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)

Metoda 1: Faktoryzacja pierwsza

Najlepsze dla: Zrozumienia, mniejszych liczb, wielu liczb na raz.

Kroki dla GCD:

  1. Rozłóż każdą liczbę na czynniki pierwsze
  2. Znajdź wspólne czynniki pierwsze
  3. Pomnóż najniższe potęgi wspólnych czynników

Kroki dla LCM:

  1. Rozłóż każdą liczbę na czynniki pierwsze
  2. Pomnóż najwyższe potęgi wszystkich czynników pierwszych

Przykład: GCD i LCM wynoszące 36 i 48

Rozkład pierwszy:

  • 36 = 2² × 3²
  • 48 = 2⁴ × 3

NWD: Typowe czynniki to 2 i 3. Weź najniższe potęgi:

  • NWD = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12

LCM: Wszystkie czynniki. Weź najwyższe potęgi:

  • LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144

Sprawdź: 36 × 48 = 1728 = 12 × 144 ✓

Metoda 2: Algorytm euklidesowy (GCD)

Najlepsze dla: Większych liczb — znacznie szybszych niż faktoryzacja.

Kluczowy spostrzeżenie: NWD(a, b) = NWD(b, a mod b), powtarzanie, aż reszta będzie równa 0.

GCD(a, b):
  while b ≠ 0:
    r = a mod b
    a = b
    b = r
  return a

Przykład: NWD(252, 105)

Krok A B r = mod b
1 252 105 42
2 105 42 21
3 42 21 0

NWD = 21 (ostatnia reszta niezerowa)

Przykład: NWD(1071, 462)

Krok A B R
1 1071 462 147
2 462 147 21
3 147 21 0

NWD = 21

Metoda 3: Metoda podziału/drabiny

Najlepsze dla: Wzrokowców, znajdujących jednocześnie GCD i LCM.

Podziel obie liczby przez ich najmniejszy wspólny czynnik pierwszy:

Przykład: GCD i LCM wynoszące 12 i 18

2 | 12   18
3 |  6    9
  |  2    3

NWD = iloczyn zastosowanych dzielników = 2 × 3 = 6 LCM = iloczyn dzielników × pozostałe liczby = 2 × 3 × 2 × 3 = 36

LCM dla więcej niż dwóch liczb

Przykład: LCM(4, 6, 10)

Rozkład pierwszy:

  • 4 = 2²
  • 6 = 2 × 3
  • 10 = 2 × 5

Weź najwyższą potęgę każdej liczby pierwszej: 2² × 3 × 5 = 60

Sprawdź: 60 ÷ 4 = 15 ✓, 60 ÷ 6 = 10 ✓, 60 ÷ 10 = 6 ✓

Aplikacje w świecie rzeczywistym

Ułamki upraszczające: Podziel licznik i mianownik przez ich NWD.

  • 24/36: NWD(24,36) = 12 → 24/36 = 2/3

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach: Znajdź LCM mianowników.

  • 1/4 + 1/6: LCM(4,6) = 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12

Problemy z rozkładem jazdy: „Dwa autobusy odjeżdżają w tym samym czasie. Jeden kursuje co 12 minut, drugi co 18 minut. Kiedy znowu odjeżdżają razem?”

  • LCM(12, 18) = 36 → co 36 minut

Materiały do ​​cięcia: „Deska ma 36 cm, druga 48 cm. Jaki jest najdłuższy element o tej samej długości, który można wyciąć z obu bez odpadów?”

  • NWD(36, 48) = 12 cm

Szybkie testy mentalne

GCD jest zawsze ≤ mniejszą liczbą LCM jest zawsze ≥ większą liczbą Jeśli GCD(a,b) = 1, liczby są względnie pierwsze — LCM(a,b) = a × b

Przykład: NWD(7, 13) = 1 (obie liczby pierwsze, brak wspólnych czynników) → LCM = 7 × 13 = 91