Okres półtrwania to czas, w którym połowa substancji ulega rozkładowi lub przemianie. Pojawia się w fizyce nuklearnej, farmakologii, chemii i archeologii – wszędzie tam, gdzie coś maleje wykładniczo.
Formuła półtrwania
N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)
Lub równoważnie:
N(t) = N₀ × e^(−λt)
Gdzie:
- N(t) = ilość pozostała w chwili t
- N₀ = ilość początkowa
- t½ = okres półtrwania
- λ = stała zaniku = ln(2) ÷ t½ ≈ 0,693 ÷ t½
- e = liczba Eulera (2,718...)
Podstawowe obliczenia okresu półtrwania
Ile pozostaje po n okresach półtrwania?
Remaining fraction = (½)^n = 1 ÷ 2^n
| Upłynął okres półtrwania | Pozostała frakcja | Procent |
|---|---|---|
| 1 | 1/2 | 50% |
| 2 | 1/4 | 25% |
| 3 | 1/8 | 12.5% |
| 4 | 1/16 | 6.25% |
| 5 | 1/32 | 3.125% |
| 7 | 1/128 | 0.78% |
| 10 | 1/1024 | 0.098% |
Przykład: 200 g substancji o 10-dniowym okresie półtrwania, po 30 dniach:
- Liczba okresów półtrwania = 30 ÷ 10 = 3
- Pozostało = 200 × (½)³ = 200 × 0,125 = 25 g
Znajdowanie pozostałej kwoty w dowolnym momencie
N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)
Przykład: 500 mg substancji, okres półtrwania = 8 godzin. Ile pozostało po 20 godzinach?
- N(20) = 500 × (½)^(20/8)
- N(20) = 500 × (0,5)^2,5
- N(20) = 500 × 0,1768 = 88,4 mg
Znajdowanie czasu, który upłynął na podstawie pozostałej kwoty
t = t½ × log(N(t)/N₀) ÷ log(½)
Lub: t = t½ × ln(N₀/N(t)) ÷ ln(2)
Przykład: Zacznij od 1000 g, okres półtrwania = 5 lat. Kiedy pozostaje 62,5 g?
- 62,5/1000 = 0,0625 = (½)^n → n = 4 okresy półtrwania
- t = 4 × 5 = 20 lat
Stała zaniku
λ = ln(2) ÷ t½ ≈ 0.693 ÷ t½
Stała rozpadu λ to prawdopodobieństwo rozpadu jądra na jednostkę czasu. Jest używany we wzorze na rozkład wykładniczy:
N(t) = N₀ × e^(−λt)
Przykład: Okres półtrwania = 20 minut:
- λ = 0,693 ÷ 20 = 0,03466 na minutę
- Po 60 minutach: N = N₀ × e^(−0,03466 × 60) = N₀ × e^(−2,079) = N₀ × 0,125
Potwierdza to: 60 minut = 3 okresy półtrwania → pozostałe 12,5% ✓
Okresy półtrwania izotopów promieniotwórczych
| Izotop | Pół-życie | Używać |
|---|---|---|
| Węgiel-14 | 5730 lat | Datowanie radiowęglowe |
| Uran-238 | 4,47 miliarda lat | Datowanie wieku geologicznego |
| Jod-131 | 8,02 dnia | Leczenie raka tarczycy |
| Technet-99m | 6,01 godz | Obrazowanie medyczne |
| Polon-210 | 138,4 dni | — |
| Stront-90 | 28,8 lat | Obawy związane z opadem jądrowym |
Datowanie metodą węglową: zastosowanie praktyczne
Węgiel-14 ma okres półtrwania wynoszący 5730 lat i występuje we wszystkich żywych organizmach. Kiedy organizm umiera, przestaje wchłaniać nowy C-14, więc stosunek C-14 do C-12 maleje w przewidywalny sposób.
Age = t½ ÷ ln(2) × ln(N₀/N)
Przykład: w próbce pozostało 25% pierwotnego C-14:
- 25% = (½)^n → n = 2 okresy półtrwania
- Wiek = 2 × 5730 = 11 460 lat
Datowanie węglowe jest wiarygodne w przypadku próbek mających do ~50 000 lat (około 8–9 okresów półtrwania, po których pozostaje tak mało C-14, że pomiar staje się niewiarygodny).
Okres półtrwania w farmakologii
Okres półtrwania leku określa częstotliwość dawkowania. Po 4–5 okresach półtrwania około 94–97% leku zostało wyeliminowane:
| Lek | Pół-życie | Częstotliwość dawkowania |
|---|---|---|
| Ibuprofen | 2 godziny | Co 4–6 godzin |
| Aspiryna | 15–20 minut* | Codziennie na działanie przeciwpłytkowe |
| Kofeina | 5–6 godzin | Efekty ~8–10 godzin |
| Diazepam (Valium) | 20–100 godzin | Raz dziennie lub rzadziej |
*Działanie aspiryny na płytki krwi utrzymuje się znacznie dłużej niż jej okres półtrwania ze względu na nieodwracalne wiązanie.
Skorzystaj z naszego kalkulatora wykładników, aby szybko obliczyć (½)^n dla dowolnej liczby okresów półtrwania.